שיטות ושיטות לולאה

לחץ או הקש על מעגלי הדוגמה שלהלן כדי להפעיל את TINACloud ובחר במצב DC אינטראקטיבי כדי לנתח אותם באופן מקוון.
קבל גישה נמוכה עלות TINACloud כדי לערוך את הדוגמאות או ליצור מעגלים משלך

שיטה פוטנציאלית של הצמח

מספרים מסובכים

דרך נוספת לפשט את מערך המשוואות של קירקהוף היא שיטת זרם הרשת או הלולאה. בשיטה זו החוק הנוכחי של קירקהוף מסתפק באופן אוטומטי, ומשוואות הלולאה שאנו כותבים עונות גם על חוק המתח של קירשוף. שביעות רצון של החוק הנוכחי של קירקהוף מושגת על ידי הקצאת לולאות זרם סגורות הנקראות זרמי רשת או לולאה לכל לולאה עצמאית של המעגל ושימוש בזרמים אלה לביטוי כל הכמויות האחרות של המעגל. מכיוון שזרמי הלולאה סגורים, הזרם הזורם לצומת חייב גם לזרום מהצומת; כך שכתיבת משוואות צומת עם זרמים אלה מובילה לזהות.

הבה נבחן תחילה את שיטת זרמי הרשת.

ראשית נציין כי השיטה הנוכחית ברשת חלה רק על מעגלים "מישוריים". למעגלים מישוריים אין חוטים חוצים כאשר הם נמשכים במטוס. לעתים קרובות, על ידי רישום מחדש של מעגל שנראה שאינו מישור, אתה יכול לקבוע שהוא למעשה מישורי. עבור מעגלים לא מישוריים, השתמש ב - שיטת זרם לולאה תיאר בהמשך פרק זה.

כדי להסביר את הרעיון של זרמי רשת, דמיין את ענפי המעגל כ"רשת דיג "והקצה זרם רשת לכל רשת של רשת. (לפעמים אומרים שמוקצים לולאת זרם סגורה בכל "חלון" במעגל.)

התרשים הסכימטי

"רשת דיג" או גרף המעגל

הטכניקה של ייצוג המעגל על ידי רישום פשוט, המכונה א גרף, הוא די חזק. מאז החוקים של קירשהוף אינם תלויים באופי הרכיבים, ניתן להתעלם מרכיבי הבטון ולהחליף בהם קטעי קו פשוטים, הנקראים ענפים של הגרף. ייצוג מעגלים באמצעות גרפים מאפשר לנו להשתמש בטכניקות המתמטיות תורת הגרפים. זה עוזר לנו לחקור את האופי הטופולוגי של מעגל ולקבוע את הלולאות העצמאיות. חזור מאוחר יותר לאתר זה כדי לקרוא עוד על נושא זה.

השלבים של ניתוח רשת שינוי:

הקצה זרם רשת לכל רשת. למרות שהכיוון שרירותי, נהוג להשתמש בכיוון השעון.
יש ליישם את חוק המתח של קירשהוף (KVL) סביב כל רשת, בכיוון זהה לזרמי הרשת. אם בפני הנגד יש שני זרמי רשת או יותר דרכו, הזרם הכולל דרך הנגד מחושב כסכום האלגברי של זרמי הרשת. במילים אחרות, אם לזרם הזורם בנגד יש אותו כיוון כמו זרם הרשת של הלולאה, יש לו סימן חיובי, אחרת סימן שלילי בסכום. מקורות מתח נלקחים בחשבון כרגיל, אם הכיוון שלהם זהה לזרם הרשת, מתח שלהם נחשב לחיובי, אחרת שלילי, במשוואות ה- KVL. בדרך כלל, עבור מקורות זרם, זרם רשת אחד בלבד זורם במקור, ולזרם זה יש אותו כיוון כמו זרם המקור. אם זה לא המקרה, השתמש בשיטה הנוכחית יותר של לולאה המתוארת בהמשך בפסקה זו. אין צורך לכתוב משוואות KVL עבור לולאות המכילות זרמי רשת שהוקצו למקורות הנוכחיים.
לפתור את משוואות לולאה וכתוצאה מכך זרמי רשת.
קבע את הזרם או המתח המבוקש במעגל באמצעות זרמי הרשת.

תן לנו להמחיש השיטה בדוגמה הבאה:

מצא את הנוכחי אני במעגל להלן.

לחץ / הקש על המעגל שלמעלה כדי לנתח באינטרנט או לחץ על קישור זה כדי לשמור תחת Windows

אנו רואים שיש שני רשתות (או חלון שמאלי וימני) במעגל זה. בואו להקצות את זרמי הרשת עם כיוון השעון J₁וג '₂ לרשתות. ואז אנו כותבים את משוואות ה- KVL, ומביעים את המתח על הנגדים על פי החוק של אוהם:

-V₁ + J₁* (R_i1+R₁) - י₂*R₁ = 0

V₂ - י₁*R₁ + J₂* (R + R₁) = 0

מבחינה מספרית:

-12 + J₁* 17 - J₂* 2 = 0

6 - י₁* 2 + J₂* 14 = 0

אקספרס J₁ מן המשוואה הראשונה: J₁ = ואז תחליף למשוואה השנייה: 6 - 2 * + 14 * J₂ = 0

כפל ב 17: 102 - 24 + 4 * י₂ + 238 * י₂ = 0 ומכאן J₂ =

וג '₁ =

לבסוף, הזרם הנדרש:

{פתרון באמצעות המתורגמן של TINA}
{השיטה הנוכחית של Mesh}
Sys J1, J2
J1*(Ri1+R1)-J2*R1-V1=0
J1*R1+J2*(R1+R)+V2=0
הסוף;
J1 = [666.6667m]
J2 = [- 333.3333m]
I: = J1-J2;
I = [1]

#פתרון מאת פייתון!
ייבוא numpy בתור n
#השתמש בשיטה הנוכחית של רשת!
#יש לנו מערכת משוואות ליניארית שאנו רוצים לפתור
#עבור I1,I2:
#I1*(Ri1+R1)+I2*Ri1-V1=0
#-V1+I1*Ri1+I2*(Ri1+R)+V2=0
#כתוב את המטריצה של המקדמים:
A=n.array([[Ri1+R1,Ri1],[Ri1,Ri1+R]])
#כתוב את המטריצה של הקבועים:
b=n.array([V1,V1-V2])
x=n.linalg.solve(A,b)
I1=x[0]
I2=x[1]
print("I1= %.3f"%I1)
print("I2= %.3f"%I2)
I=I1
print("I= %.3f"%I)

בואו נבדוק את התוצאות עם TINA:

לחץ / הקש על המעגל שלמעלה כדי לנתח באינטרנט או לחץ על קישור זה כדי לשמור תחת Windows

בשלב הבא, בואו ונפתור את הדוגמא הקודמת שוב, אך עם הכללי יותר שיטת זרמי לולאה. בשיטה זו, לולאות הנוכחי סגור, שנקרא זרמי לולאה, מוקצים לאו דווקא לרשת המעגל, אלא לשרירותיים לולאות עצמאיות. אתה יכול להבטיח שהלולאות יהיו עצמאיות על ידי כך שיש לפחות רכיב אחד בכל לולאה שאינו כלול בלולאה אחרת. במעגלים מישוריים מספר הלולאות העצמאיות זהה למספר הרשתות, שקל לראות זאת.

דרך מדויקת יותר לקבוע את מספר הלולאות העצמאיות היא כדלקמן.

ניתן מעגל עם b סני N צמתים. מספר הלולאות העצמאיות l היא:

l = b - N + 1

זה נובע מהעובדה שמספר המשוואות העצמאיות של קירכהוף חייב להיות שווה לענפים במעגל, ו- אנחנו כבר יודעים שיש רק N-1 משוואות צומת עצמאיות. לפיכך המספר הכולל של משוואות קירשוף הוא

b = N-1 + l ולכן l = b - N + 1

משוואה זו נובעת גם מהמשפט הבסיסי של תורת הגרפים שתואר בהמשך באתר זה.

כעת בואו ונפתור את הדוגמא הקודמת שוב, אך ביתר קלות, באמצעות השיטה הנוכחית של הלולאה בשיטה זו אנו חופשיים להשתמש בלולאות ברשתות או בכל לולאות אחרות, אך בואו ונשמור על הלולאה עם J₁ברשת השמאלית של המעגל. עם זאת, עבור הלולאה השנייה אנו בוחרים את הלולאה עם J_2, כפי שמוצג באיור למטה. היתרון בבחירה זו הוא שג'יי₁יהיה שווה לזרם I המבוקש, מכיוון שהוא זרם הלולאה היחיד שעובר דרך R1. המשמעות היא שאיננו צריכים לחשב את J2בכלל.שימו לב שבניגוד לזרמים "אמיתיים", המשמעות הפיזית של זרמי לולאה תלויה באופן שבו אנו מקצים אותם למעגל.

לחץ / הקש על המעגל שלמעלה כדי לנתח באינטרנט או לחץ על קישור זה כדי לשמור תחת Windows

משוואות KVL:

J1 * (R₁+R_i1) + J2 * R _i1 - V₁ = 0

-V₁+ J1 * R_i1+ J2 * (R + R_i) Map אשר₂ = 0

ואת הזרם הנדרש: I = J₁

Numerically: J1*(15+2)+J2*15-12 = 0

12 + 1) 15 = 2

אקספרס J2 מן המשוואה השנייה:

תחליף למשוואה הראשונה:

לפיכך: J1 = I = 1 A

דוגמאות נוספות.

דוגמה 1

מצא את הנוכחי אני במעגל להלן.

לחץ / הקש על המעגל שלמעלה כדי לנתח באינטרנט או לחץ על קישור זה כדי לשמור תחת Windows

במעגל זה אנו משתמשים בשיטת זרמי לולאה. בחלון השמאלי של המעגל אנו לוקחים זרם לולאה שאנו מציינים איתו I מכיוון שהוא שווה לזרם המבוקש. זרם הלולאה האחר שווה לזרם המקור של Is1, ולכן אנו מציינים אותו ישירות כ I_S1.

שים לב כי הכיוון של זרם לולאה זה הוא לֹא עם כיוון השעון מכיוון שכיוונו נקבע על ידי המקור הנוכחי. עם זאת, מכיוון שזרם לולאה זה כבר ידוע, אין צורך לכתוב את משוואת ה- KVL עבור הלולאה היכן I_S1 תפוס.

לכן המשוואה היחידה לפתור היא:

-V₁ + I * R₂ + R₁ * (אני - אני_S1) = 0

ומכאן

I = (V₁ + R₁ *I_S1) / (R₁ + R₂)

מבחינה מספרית

I=(10+20*4)/(20+10)=3 A

באפשרותך גם ליצור תוצאה זו שקוראת לניתוח הסמלי של TINA מהתפריט ניתוח / ניתוח סמלי / DC:

או שאתה יכול לפתור את משוואת KVL על ידי המתורגמן:

{פיתרון על ידי המתורגמן של טינה}
{השתמש בשיטה הנוכחית ברשת}
Sys I
-V1 + I * R2 + R1 * (I - IS1) = 0
הסוף;
I = [3]

בדוגמה הבאה יש 3 מקורות נוכחיים וקל מאוד לפיתרון בשיטת זרמי לולאה.

דוגמה 2

מצא את V. המתח

בדוגמה זו אנו יכולים לבחור שלושה זרמי לולאה כך שכל אחד יעבור רק דרך מקור זרם אחד. לכן, כל שלושת זרמי הלולאה ידועים, ואנחנו רק צריכים לבטא את המתח הלא ידוע, V, באמצעותם.

מה שהופך את הסכום האלגברי של הזרמים דרך R₃:

אשר 49_S3אני -_S2) * R₃= (10-5) * 30 = 150 V. אתה יכול לאמת זאת באמצעות TINA:.

לחץ / הקש על המעגל שלמעלה כדי לנתח באינטרנט או לחץ על קישור זה כדי לשמור תחת Windows

בשלב הבא, נתמודד שוב עם בעיה שכבר פתרנו ב החוקים של קירכהוף ו צומת שיטה פוטנציאלית פרקים.

דוגמה 3

מצא את המתח V של הנגד R₄.

לחץ / הקש על המעגל שלמעלה כדי לנתח באינטרנט או לחץ על קישור זה כדי לשמור תחת Windows

R₁ = R₃ = 100 ohm, R₂ = R₄ = 50 ohm, R₅ = 20 ohm, R₆ = 40 ohm, R₇ = 75 אוהם.

בעיה זו נדרשה לפחות 4 משוואות כדי לפתור בפרקים הקודמים.

בפתרון בעיה זו בשיטת זרמי לולאה, יש לנו ארבעה לולאות עצמאיות, אך עם הבחירה הנכונה של זרמי לולאה, אחד מזרמי הלולאה יהיה שווה לזרם המקור הוא.

בהתבסס על זרמי הלולאה המוצגים באיור לעיל, משוואות הלולאה הן:

V_S1+I₄* (R₅+R₆+R₇) - אני_S*R₆-אני₃* (R₅ + R₆) = 0

V_S2אני -₃* (R₁+R₂) - אני_S*R₂ + אני₂* (R₁ + R₂) = 0

-V_S1 + אני₃* (R₁+ R₂ + R₃ + R₄ + R₅ + R₆) + אני_S* (R₂ +R₄ + R₆) - אני₄* (R₅ + R₆) אני -₂* (R₁ + R₂) = 0

המתח הלא ידוע V יכול לבוא לידי ביטוי בזרמי הלולאה:

אשר 49₄ * (אני₂ + אני₃)

מבחינה מספרית:

100 + I₄* 135-2 * 40-I₃* 60 = 0

150 + I₂* 150-2 * 50-I₃* 150 = 0

-100 + I₃* 360 + 2 * 140-I₄* 60-I₂* 150 = 0

V = 50 * (2 + I₃)

אנו יכולים להשתמש בכלל של Cramer כדי לפתור מערכת משוואות זו:

I₄ = D₃/D

כאשר D הוא הקובע של המערכת. D_4, הקובע עבורי_4, נוצר על ידי החלפת הצד הימני של המערכת ממוקם לעמודה של I₄מקדמים.

מערכת המשוואות בצורה מסודרת:

- 60 * אני₃ + 135 * I₄= -20

150 * I₂-150 * I₃ = - 50

-150 * I₂+ 360 * I₃ - 60 * I₄= - 180

אז ה הקובע D:

הפתרון של מערכת משוואות זו הוא:

אשר 49₄* (2 + I₃) = 34.8485 V

אתה יכול לאשר את התשובה באמצעות התוצאה שחושבה על ידי TINA.

לחץ / הקש על המעגל שלמעלה כדי לנתח באינטרנט או לחץ על קישור זה כדי לשמור תחת Windows

{פתרון באמצעות המתורגמן של TINA}
Sys I2, I3, I4
Vs2+I2*(R1+R2)-R2*Is-I3*(R1+R2)=0
-Vs1+I3*(R1+R2+R3+R4+R5+R6)+Is*(R2+R4+R6)-I2*(R1+R2)-I4*(R5+R6)=0
Vs1+I4*(R5+R6+R7)-Is*R6-I3*(R5+R6)=0
הסוף;
I2 = [- 1.6364]
I3 = [- 1.303]
I4 = [- 727.2727m]
V: = R4 * (האם + I3);
V = [34.8485]

#פתרון מאת פייתון!
ייבוא numpy בתור n
#יש לנו מערכת משוואות ליניארית שאנו רוצים לפתור
#for I1,I2,I3,I4:
#I1=האם
#Vs2+I2*(R1+R2)-R2*I1-I3*(R1+R2)=0
#-Vs1+I3*(R1+R2+R3+R4+R5+R6)+I1*(R2+R4+R6)-I2*(R1+R2)-I4*(R5+R6)=0
#Vs1+I4*(R5+R6+R7)-I1*R6-I3*(R5+R6)=0
#כתוב את המטריצה של המקדמים:
A=n.array([[1,0,0,0],[-R2,R1+R2,-(R1+R2),0],[R2+R4+R6,-(R1+R2),R1+R2+R3+R4+R5+R6,-(R5+R6)],[-R6,0,-(R5+R6),R5+R6+R7]])
#כתוב את המטריצה של הקבועים:
b=n.array([Is,-Vs2,Vs1,-Vs1])
x=n.linalg.solve(A,b)
I1,I2,I3,I4=x[0],x[1],x[2],x[3]
print(“I1= %.5f”%I1) #x[0]=I1
print(“I2= %.5f”%I2) #x[1]=I2
print(“I3= %.5f”%I3) #x[2]=I1
print(“I4= %.5f”%I4) #x[3]=I2
V=R4*(I1+I3)
print("V= %.5f"%V)

בדוגמה זו, כל זרם לולאה לא ידוע הוא זרם ענף (I1, I3 ו- I4); כך שקל לבדוק את התוצאה בהשוואה לתוצאות ניתוח DC של TINA.

שיטה פוטנציאלית של הצמח

מספרים מסובכים