KOMPLEKSNE ŠTEVILKE

Kliknite ali se dotaknite spodnjih vzorčnih vezij, da pokličete TINACloud in izberite način Interactive DC za analizo na spletu.
Pridobite poceni dostop do TINACloud, da uredite primere ali ustvarite lastna vezja

METODE IN TEKOČE METODE

NAČELA ALTERNATIVNE TEKOČINE

V tem in naslednjih poglavjih bomo predstavili zelo pomembno temo: AC ali izmenični tok. Naziv izmenični tok ni zelo natančen in običajno pokriva kroge z sinusno napetostjo in tokovi; izmenični tok lahko pomeni tudi poljubno trenutno valovno obliko. Pomen AC napetosti je, da se ta vrsta napetosti uporablja za glavni vir električne energije v domovih in industriji po vsem svetu. Prav tako je osnova za številne elektronike, telekomunikacije in industrijske aplikacije.

Za ravnanje s sinusoidnimi valovnimi oblikami in z njimi povezanimi vezji bomo uporabili preprosto in elegantno metodo, imenovano metoda fazorjev. Fazorji temeljijo na lastnostih kompleksnih števil, ki so idealne za predstavljanje sinusnih veličin. V tem poglavju bomo povzeli glavna dejstva o kompleksnih številkah in njihovem delovanju. Pokazali bomo tudi, kako TINA-ov Interpreter olajša izračune s kompleksnimi številkami.

Kompleksna števila so sestavljena iz dveh delov: a pravi del (x), ki je resnično število, in tako imenovano imaginarni del (y), ki je realno število, pomnoženo z , namišljene enote. Kompleksno število zzato lahko opišemo kot:

z = x + jy

Kje .

Primeri kompleksnih števil:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Kompleksne številke so bile prvotno uvedene v sedemnajstem stoletju, da bi predstavljale korenine polinomov, ki jih ni bilo mogoče predstavljati samo z dejanskimi številkami. Na primer, korenine enačbe x²+ 2x + 2 = 0 lahko opišemo le kot in ali z uporabo zapisa , z₁= 1 + j in z₂= 1- j. S pomočjo novega zapisa za raziskovanje lastnosti izrazov so matematiki lahko dokazali teoreme in rešili težave, ki so jih do takrat težko, če ne nemogoče rešiti. To je privedlo do izdelave kompleksne algebre in kompleksnih funkcij, ki se danes široko uporabljajo v matematiki in tehniki.

Geometrična predstavitev kompleksnih števil

Pravokotna oblika

Ker je kompleksno število vedno mogoče ločiti na njegove resnične in zapletene dele, lahko kompleksno število predstavljamo kot točko na dvodimenzionalni ravnini. Realni del kompleksnega števila je projekcija točke na stvarno os, imaginarni del števila pa projekcija na namišljeno os. Ko je kompleksno število predstavljeno kot vsota resničnih in namišljenih delov, rečemo, da je v pravokotne or algebraična oblika.

Naslednja slika prikazuje kompleksno število z = 2 + 4j

Polarna in eksponentna oblika

Kot je razvidno iz zgornje slike, bi lahko točko A predstavljali tudi dolžino puščice, r (imenovano tudi absolutna vrednost, velikost ali amplituda) in njen kot (ali faza), φ relativno v nasprotni smeri urinega kazalca do pozitivne vodoravne osi. To je polar obliki kompleksnega števila. Označuje se kot r ∠ φ.

Naslednji korak je zelo pomemben. V polarno obliko lahko zapišemo tudi kompleksno število eksponentna obrazec:

Ta preprost izraz je značilen po tem, da ima namizno število v eksponentu namesto običajnega realnega števila. Ta zapletena eksponenca se z dejanskim argumentom obnaša zelo drugače kot eksponentna funkcija. Medtem ko e^x hitro narašča v obsegu za povečanje x> 0 in zmanjšanje za x <0, funkcija ima enako velikost (z = 1) za kateri koli φ. Poleg tega so njegove kompleksne vrednosti na krogu enote.

Eulerova formula zagotavlja povezovalno povezavo med pravokotnimi, polarnimi in eksponentnimi oblikami kompleksnih števil:

z = x + jy = ponovno ^jφ = r (cos φ + j greh φ )

Kje

in φ = tan^-1(y / x).

Za naš zgornji primer, z = 2 + 4j:

φ = tan^-1(4 / 2) = 63.4 °

zato .

Ali obratno:

Pri uporabi obeh obrazcev boste morali biti spretni, odvisno od aplikacije. Na primer, seštevanje ali odštevanje je očitno lažje narediti, če so številke v pravokotni obliki, medtem ko je množenje in deljenje lažje storiti, če so števila v eksponentni obliki.

Operacije s kompleksnimi številkami

Operacije, ki jih lahko izvedemo s kompleksnimi števili, so podobne operacijam za realna števila. Spodaj so povzeta pravila in nekatere nove definicije.

Operacije z j

Operacije z j izhaja iz opredelitve imaginarne enote,

Če želite delati hitro in natančno, si morate zapomniti ta pravila:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

Dokaz:

j² = -1 preprosto izhaja iz definicije , od

Za 1 /j, pomnožimo 1 /jby j / j = 1 in dobite j/ (jj) = j / (- 1) = -j.

Kompleksni konjugat

Kompleksno konjugat kompleksnega števila je enostavno izpeljati in je zelo pomemben. Za pridobitev kompleksnega konjugata kompleksnega števila v pravokotni obliki preprosto spremenite znak imaginarnega dela. Če želite to narediti za številko v eksponentni obliki, spremenite znak kota kompleksnega števila in hkrati ohranite njegovo absolutno vrednost.

Kompleksna konjugata kompleksnega števila z pogosto označuje z^*.

Glede na kompleksno število z= a + jb, njegovo kompleksno konjugat je z^*= a– jb.

If z je podana v eksponentni obliki, njegova kompleksna konjugata je

Z uporabo zgornjih definicij je enostavno videti, da kompleksno število, pomnoženo s kompleksnim konjugatom, daje kvadrat absolutne vrednosti kompleksnega števila:

zz^* = r²= a^{2 +}b²

Tudi z dodajanjem ali odštevanjem kompleksnega števila in njegovega konjugata dobimo naslednje relacije:

z + z ^* = 2a

zato

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

Podobno:

z - z ^* =j2b

zato

Sem(z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

Dokaz:

ali pomnožitev realnega in namišljenega dela in uporabo j²= -1

zz^* = (a + jb) (a - jb) = a²+a jb - a jb - jbjb = a²j2 = a^{2 +}b²

z + z^* = a + jb + a - jb = 2a

z - z^*= a + jb - a + jb =j2b

Številčni primeri:

V pravokotni obliki:

z = 3 + j4

z^* = 3– j4

zz ^* = 9 + 16 = 25

V polarni obliki

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ∠ - 53.13 °

V eksponentni obliki:

Seštevanje in odštevanje

Seštevanje in odštevanje zapletenih števil je enostavno - resnične in namišljene dele moramo le sešteti ločeno. Na primer, če

z₁ = 3 - 4j in z₂= 2 + 3j

POTEM

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Očitno bi morali za te operacije uporabiti pravokotno obliko. Če so številke podane v eksponentni ali polarni obliki, jih moramo najprej spremeniti v pravokotno obliko po Eulerjevi formuli, kot je bila navedena prej.

Množenje

Obstajata dve metodi za množenje kompleksnih števil -

Množenje kompleksnih števil v pravokotni obliki

Če želite izvesti operacijo, preprosto pomnožite resnične in namišljene dele ene številke s stvarnimi in namišljenimi deli druge številke in uporabite identiteto j²= -1.

z₁z₂ = (a₁ + jb₁) (a₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - b₁b₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Če so kompleksna števila podana numerično, ni treba uporabiti zgornje formule. Na primer, pustite

z₁ = 3 - 4j in z₂= 2 + 3j

Z neposrednim množenjem komponent:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6-8j +9j + 12 = 18 + j

ali z uporabo formule: z₁z₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ b₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Menimo, da je večja verjetnost napake, če uporabite formulo, kot če neposredno pomnožite komponente.

{Rešitev TINA-jevega tolmača}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]

#Rešitev Pythona:
uvozi matematiko kot m
uvozite cmath kot c

z1=kompleks('3-4j')
z2=kompleks('2+3j')
print(“z1*z2=”,z1*z2)

Množenje kompleksnih števil v polarni ali eksponentni obliki

Za izvedbo te operacije pomnožite absolutne vrednosti in dodajte kote dveh kompleksnih števil. Naj:

Potem z uporabo pravila množenja eksponentnih funkcij:

ali v polarni obliki

z₁ z₂ = r₁ r₂ ∠ φ₁+ φ₂

Opomba: To pravilo smo že uporabili, ko smo izračunali zz ^*nad. Ker ima kot konjugata nasprotni znak prvotnega kota, je kompleksno število, pomnoženo z lastnim veznikom, vedno resnično število; in sicer kvadrat njegove absolutne vrednosti: zz ^*= r²

Na primer:

z₁ = 5 ∠ 30 ° in z₂ = 4 ∠ -60 °

POTEM

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

ali v eksponentni obliki

Množenje je očitno preprostejše, če so številke v polarni ali eksponentni obliki.

Če pa so zapletena števila navedena v pravokotni obliki, morate razmisliti o izvedbi množenja neposredno, kot je prikazano zgoraj, saj obstajajo dodatni koraki, če številke pretvorite v polarno obliko, preden jih pomnožite. Drugi dejavnik, ki ga je treba upoštevati, je, ali želite, da so odgovori v pravokotni obliki ali v polarni / eksponentni obliki. Na primer, če sta obe številki v pravokotni obliki, vendar želite, da je njihov izdelek v polarni obliki, jih je smiselno takoj pretvoriti in nato pomnožiti.

delitev

Obstajata dve metodi za delitev kompleksnih števil -

Delitev kompleksnih števil v pravokotni obliki

Za izvedbo operacije pomnožite števec in imenovalec s konjuktorjem imenovalca. Imenovalec postane resnično število in delitev se zmanjša na množenje dveh kompleksnih števil in delitev z dejanskim številom, kvadratom absolutne vrednosti imenovalca.

Na primer:

z₁ = 3 - 4j in z₂= 2 + 3j

Preverimo ta rezultat s tolmačem TINA:

{Rešitev TINA-jevega tolmača}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]

#Rešitev Pythona:
uvozi matematiko kot m
uvozite cmath kot c

z1=kompleks('3-4j')
z2=kompleks('2+3j')
natisni(“z1/z2=”,z1/z2)

Delitev kompleksnih števil v polarni ali eksponentni obliki

Za izvedbo operacije razdelite absolutne vrednosti (magnitude) in od kota števca odštejte kot imenovalca. Naj:

nato uporabimo pravilo delitve eksponentnih funkcij

ali v polarni obliki

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

Na primer:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° in z ₂ = 2 ∠ -60 °

POTEM

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

ali v eksponentnih in pravokotnih oblikah

Preverimo ta rezultat s tolmačem TINA:

{Rešitev TINA-jevega tolmača}
z1: = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]

#Rešitev Pythona:
uvozi matematiko kot m
uvozite cmath kot c

z1=5*(c.exp(kompleksno(0,m.radianov(30))))
z2=2*(c.exp(kompleks(0,m.radiani(-60))))
natisni(“z1/z2=”,z1/z2)

Delitev je očitno preprostejša, če so številke v polarni ali eksponentni obliki.

Če pa so kompleksna števila navedena v pravokotni obliki, morate razmisliti o izvedbi delitve neposredno z uporabo metode zapletenega konjugata, kot je prikazano zgoraj, saj obstajajo dodatni koraki, če številke pretvorite v polarno obliko, preden jih delite. Drugi dejavnik, ki ga je treba upoštevati, je, ali želite, da so odgovori v pravokotni obliki ali v polarni / eksponentni obliki. Na primer, če sta obe številki v pravokotni obliki, vendar želite, da je njihov količnik v polarni obliki, je smiselno, da jih takoj pretvorite in nato razdelite.

Sedaj ponazorimo uporabo kompleksnih števil z več numeričnimi problemi. Kot ponavadi bomo preverili naše rešitve s pomočjo TINA-jevega tolmača. Interpreter deluje z radiani, vendar ima standardne funkcije za pretvorbo radianov v stopnje ali obratno.

Primer 1 Poišči polarno predstavitev:

z = 12 - j 48

ali 49.48 ∠ - 75.96 °

{Rešitev TINA-jevega tolmača}
z: = 12-j * 48;
abs (z) = [49.4773]
arc (z) = [- 1.3258]
radtodeg (arc (z)) = [- 75.9638]

#Rešitev Pythona:
uvozi matematiko kot m
uvozite cmath kot c

z=12-kompleks(48j)
natisni ("abs(z)=",abs(z))
natisni("lok(z)=",c.faza(z))
print(“stopinj(lok(z))=”,m.stopinj(c.faza(z)))

Primer 2 Poiščite pravokotno predstavitev:

z = 25 e ^j¹²⁵ ^°

{Rešitev TINA-jevega tolmača}
z: = 25 * exp (j * (degtorad (125)));
z = [- 14.3394 + 20.4788 * j]
Re (z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]

#Rešitev Pythona:
uvozi matematiko kot m
uvozite cmath kot c

z=25*c.exp(kompleksno(0,m.radianov(125)))
natisni(“z=”,z)
natisni(“real(z)=”,z.real)
print(“imag(z)=”,z.imag)

Primer 3 Poišči polarno predstavitev naslednjih kompleksnih števil:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

Absolutne vrednosti vseh štirih števil so enake, ker je absolutna vrednost neodvisna od znakov. Samo koti so različni.

{Rešitev TINA-jevega tolmača}
z1: = 12 + j * 48;
abs (z1) = [49.4773]
arc (z1) = [1.3258]
radtodeg (arc (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-j * 48;
abs (z2) = [49.4773]
arc (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (arc (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + j * 48;
abs (z3) = [49.4773]
arc (z3) = [1.8158]
radtodeg (arc (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-j * 48:
abs (z4) = [49.4773]
arc (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (arc (z4)) = [- 104.0362]

#Rešitev Pythona:
uvozi matematiko kot m
uvozite cmath kot c

z1=kompleks('12+48j')
print("abs(z1)=",abs(z1))
natisni("lok(z1)=",c.faza(z1))
print(“stopinj(lok(z1))=”,m.stopinj(c.faza(z1)))

z2=kompleks('12-48j')
print("abs(z2)=",abs(z2))
natisni("lok(z2)=",c.faza(z2))
print(“stopinj(lok(z2))=”,m.stopinj(c.faza(z2)))

z3=kompleks('-12+48j')
print("abs(z3)=",abs(z3))
natisni("lok(z3)=",c.faza(z3))
print(“stopinj(lok(z3))=”,m.stopinj(c.faza(z3)))

z4=kompleks('-12-48j')
print("abs(z4)=",abs(z4))
natisni("lok(z4)=",c.faza(z4))
print(“stopinj(lok(z4))=”,m.stopinj(c.faza(z4)))

TINA funkcija lok () določa kot katerega koli kompleksnega števila in ga samodejno pravilno postavi v enega od štirih kvadrantov.

Bodite previdni, vendar s tan^-1 funkcija za iskanje kota, saj je omejena na povratne kote samo v prvem in četrtem kvadrantu (–90 °φ<90 °).

Od leta z₁se nahaja v prvem kvadrantu koordinatnega sistema, izračun je:

α₁ = tan^-1(48 / 12) = tan^-1(4) = 75.96 °

Od leta z₄se nahaja v tretjem kvadrantu koordinatnega sistema, tan^-1ne vrne pravilno kota. Izračun kota je:

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° ali -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, kar je enako, kot je izračunala TINA.

z₂se nahaja v četrtem kvadrantu koordinatnega sistema. Izračun kota je:

α₂ = tan^-1(-48 / 12) = tan^-1(-4) = -75.96 °

z_3,Vendar pa je v kvadrantu 2nd koordinatnega sistema, tako tan^-1ne vrne pravilno kota. Izračun kota je:

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Primer 4 Imamo dve kompleksni številki: z₁= 4 - j 6 in z₂ = 5 e^j⁴⁵ ^° .

Najdi z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Najprej rešimo problem s pomočjo TINA-jevega tolmača

{Rešitev TINA-jevega tolmača}
z1: = 4-j * 6;
z2: = 5 * exp (j * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

Opazite, kako TINA brez težav ravna z dvema kompleksnima številkama v različnih oblikah.

Rešitev je brez tolmača bolj zapletena. Da bomo lahko primerjali različne metode množenja in delitve, bomo najprej določili polarno obliko z₁ in pravokotno obliko z₂.

Nato najdemo štiri rešitve, pri čemer najprej uporabimo najlažje oblike: pravokotne za seštevanje in odštevanje ter eksponentno za množenje in deljenje: