NAČELA ALTERNATIVNE TEKOČINE

Kliknite ali se dotaknite spodnjih vzorčnih vezij, da pokličete TINACloud in izberite način Interactive DC za analizo na spletu.
Pridobite poceni dostop do TINACloud, da uredite primere ali ustvarite lastna vezja

KOMPLEKSNE ŠTEVILKE

PASIVNE KOMPONENTE V OBMOČJIH AC

Sinusno napetost lahko opišemo z enačbo:

v (t) = V_M sin (ωt + Φ) ali v (t) = V_M cos (ωt + Φ)

Kje	v (t)	Trenutna vrednost napetosti v voltih (V).
	V_M	Največja ali največja vrednost napetosti v voltih (V) \ t
	T	Obdobje: čas, potreben za en cikel, v sekundah
	f	Frekvenca - število obdobij v sekundah 1, v Hz (Hertz) ali 1 / s. f = 1 / T
	ω	Kotna frekvenca, izražena v radianih / s ω = 2 * π * f ali ω = 2 * π / T.
	Φ	Začetna faza v radianih ali stopinjah. Ta količina določa vrednost sinusnega ali kosinusnega vala att = 0.
		Opomba: Amplituda sinusne napetosti je včasih izražena kot V_Eff, efektivna ali RMS vrednost. To je povezano z V_M glede na razmerje V_M= UM2V_Eff,ali približno V_Eff= 0.707 V_M

Tukaj je nekaj primerov za ponazoritev zgoraj navedenih izrazov.

Lastnosti AC napetosti 220 V v gospodinjskih električnih vtičnicah v Evropi:

Dejanska vrednost: V_Eff= 220 V
Najvišja vrednost: V_M= √2 * 220 V = 311 V

Frekvenca: f = 50 1 / s = 50 Hz
Kotna frekvenca: ω = 2 * π * f = 314 1 / s = 314 rad / s
Obdobje: T = 1 / f = 20 ms
Funkcija časa: v (t) = 311 sin (314 t)

Oglejmo si časovno funkcijo s pomočjo ukaza Analysis / AC Analysis / Time Function.

Kliknite / tapnite zgornji krog, da analizirate na spletu ali kliknete to povezavo na Shrani pod Windows

Preverite lahko, da je obdobje T = 20m in da je V_M= 311 V.

Lastnosti izmenične napetosti 120 V v gospodinjski električni vtičnici v ZDA:

Dejanska vrednost: V_Eff= 120 V
Najvišja vrednost: V_M= UM2 120 V = 169.68 V ≈ 170 V
Frekvenca: f = 60 1 / s = 60 Hz
Kotna frekvenca: ω = 2 * π * f = 376.8 rad / s ≈ 377 rad / s
Obdobje: T = 1 / f = 16.7 ms
Funkcija časa: v (t) = 170 sin (377 t)

Upoštevajte, da je v tem primeru časovna funkcija lahko podana bodisi kot v (t) = 311 sin (314 t + Φ) ali v (t) = 311 cos (314 t + Φ), ker v primeru izhodne napetosti ne poznamo začetne faze.

Začetna faza ima pomembno vlogo, kadar je hkrati prisotnih več napetosti. Dober praktični primer je trifazni sistem, v katerem so prisotne tri napetosti iste vršne vrednosti, oblike in frekvence, od katerih ima vsaka fazna sprememba 120 ° glede na druge. V omrežju 60 Hz so časovne funkcije:

v_A(t) = 170 sin (377 t)

v_B(t) = 170 grehov (377 t - 120 °)

v_C(t) = 170 sin (377 t + 120 °)

Naslednja slika s TINA-om prikazuje vezje s temi časovnimi funkcijami kot TINA-jevi generatorji napetosti.

Kliknite / tapnite zgornji krog, da analizirate na spletu ali kliknete to povezavo na Shrani pod Windows

Razlika napetosti v_AB= v_A(t) - v_B(t) je prikazan kot rešen z ukazom TINA za analizo / analizo / časovno funkcijo.

Upoštevajte, da je vrh v_AB (t) je približno 294 V, večji od 170 V vrha v_A(t) ali v_B(t) napetosti, pa tudi ne samo vsota njihovih maksimalnih napetosti. To je posledica fazne razlike. Razpravljali bomo o tem, kako izračunati nastalo napetost (ki je Ö* 3 170 @ 294 v tem primeru) pozneje v tem poglavju in tudi v ločenem Trifazni sistemi poglavju.

Značilne vrednosti sinusnih signalov

Čeprav se izmenični signal med obdobjem nenehno spreminja, je enostavno določiti nekaj karakterističnih vrednosti za primerjavo enega vala z drugim: To so vrednosti vrhov, povprečij in srednje vrednosti kvadratov (rms).

Največjo vrednost smo že dosegli V_M , ki je preprosto največja vrednost časovne funkcije, amplituda sinusnega vala.

Včasih se uporabi vrednost od vrha do vrha (pp). Za sinusoidne napetosti in tokove je vrednost od vrha do vrha dvojna največja vrednost.

O Povprečna vrednost sinusnega vala je aritmetično povprečje vrednosti za pozitivni pol cikel. Imenuje se tudi absolutno povprečje ker je enako povprečju absolutne vrednosti valovne oblike. V praksi se s to valovno obliko srečamo popravljanje sinusni val s tokokrogom, imenovanim polni valovni usmernik.

Pokazalo se je, da je absolutno povprečje sinusnega vala:

V_AV= 2 / π V_M N 0.637 V_M

Upoštevajte, da je povprečje celotnega cikla nič.
Dejanska ali efektivna vrednost sinusne napetosti ali toka ustreza enakovredni DC vrednosti, ki proizvaja enako toplotno moč. Na primer, napetost z efektivno vrednostjo 120 V proizvaja enako ogrevalno in svetlobno moč v žarnici, kot 120 V iz enosmernega napetostnega vira. Dokazano je lahko, da je efektivna ali efektivna vrednost sinusnega vala:

V_efektivna = V_M/ UM2 N 0.707 V_M

Te vrednosti se lahko izračunajo na enak način za napetosti in tokove.

RMS je v praksi zelo pomembna. Če ni drugače navedeno, so napetostne napetosti napajalnega voda (npr. 110V ali 220V) podane v efektivnih vrednostih. Večina merilnikov AC je kalibrirana v rms in označuje efektivno raven.

Primer 1 Poiščite najvišjo vrednost sinusne napetosti v električnem omrežju z 220 V efektivno vrednostjo.

V_M = 220 / 0.707 = V 311.17

Primer 2 Poiščite najvišjo vrednost sinusne napetosti v električnem omrežju z 110 V efektivno vrednostjo.

V_M = 110 / 0.707 = V 155.58

Primer 3 Poiščite (absolutno) povprečje sinusne napetosti, če je njena efektivna vrednost 220 V.

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 311.17 = V 198.26

Primer 4 Poiščite absolutno povprečje sinusne napetosti, če je njena efektivna vrednost 110 V.

Vrhunec napetosti iz Primera 2 je 155.58 V in s tem:

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 155.58 = V 99.13

Primer 5 Poiščite razmerje med absolutnim povprečjem (V_a) in vrednosti rms (V) za sinusno valovno obliko.

V / V_a = 0.707 / 0.637 = 1.11

Upoštevajte, da ne morete dodati povprečnih vrednosti v tokokrogu izmeničnega toka, ker povzroča nepravilne rezultate.

FAZORI

Kot smo že videli v prejšnjem oddelku, je pogosto potrebno, da v tokokrogih izmeničnega toka dodate sinusne napetosti in tokove enake frekvence. Čeprav je mogoče s pomočjo TINA ali z uporabo trigonometričnih odnosov dodati številčne signale, je bolj primerno uporabiti ti phasor Metoda. Fazor je kompleksno število, ki predstavlja amplitudo in fazo sinusnega signala. Pomembno je omeniti, da fazor ne predstavlja frekvence, ki mora biti enaka za vse fazorje.

Fazor se lahko obravnava kot kompleksno število ali grafično predstavi kot ravninska puščica v kompleksni ravnini. Grafična predstavitev se imenuje fazni diagram. S pomočjo diagramov fazorjev lahko dodate ali odštejete fazorje v kompleksni ravnini s trikotnim ali paralelogramskim pravilom.

Obstajata dve obliki kompleksnih števil: pravokotne in polar.

Pravokotna predstavitev je v formi + jb, kje j = Ö-1 je namišljena enota.

Polarna reprezentacija je v obliki Ae^j ^j , kjer je A absolutna vrednost (amplituda) in. \ t f je kot fazorja od pozitivne realne osi v nasprotni smeri urinega kazalca.

Uporabili bomo krepko črk za zapletene količine.

Zdaj pa poglejmo, kako iz ustrezne časovne funkcije izvesti ustrezen fazor.

Najprej predpostavimo, da so vse napetosti v tokokrogu izražene v obliki kosinusnih funkcij. (Vse napetosti se lahko pretvorijo v to obliko.) Nato phasor ustreza napetosti v (t) = V_M cos ( w t+f) je: V_M= V_Me ^jf, ki se imenuje tudi kompleksna vrhovna vrednost.

Na primer upoštevajte napetost: v (t) = 10 cos ( w t + 30°)

Ustrezni kazalnik je: V

Na enak način lahko izračunamo časovno funkcijo iz fazorja. Najprej napišemo fazor v polarni obliki, npr V_M= V_Me ^j^rin potem je ustrezna časovna funkcija

v (t) = V_M (cos (wt+r).

Na primer, upoštevajte fazor V_M= 10 - jV 20

Prilagajanje polarni obliki:

Zato je časovna funkcija: v (t) = 22.36 cos (wt - 63.5^°) V

Za definiranje kompleksne efektivne ali efektivne vrednosti napetosti in tokov v izmeničnih tokokrogih se pogosto uporabljajo fazorji. Glede na v (t) = V_Mcos (wt+r) = 10cos (wt + 30°)

Številčno:

v (t) = 10 * cos (wt-30°)

Kompleksna efektivna (rms) vrednost: V = 0.707 * 10 * e^{- j30}^°= 7.07 e^{- j30}^° = 6.13 - j 3.535

Nasprotno: če je kompleksna efektivna vrednost napetosti:

V = - 10 + j 20 = 22.36 e^{j 116.5}^°

potem kompleksna vrhovna vrednost:

in časovna funkcija: v (t) = 31.63 cos ( wt + 116.5° ) V

Kratka utemeljitev zgornjih tehnik je naslednja. Glede na časovno funkcijo
V_M (cos ( w t+r), določimo kompleksna časovna funkcija kot:

v (t) = V_M e^j^r e ^j^wt = V_Me ^j^wt = V_M (cos (r) + j sin (r)) e ^j^wt

Kje V_M =V_M e^j ^r ^t = V_M (cos (r) + j sin (r)) je zgolj zgoraj predstavljen kazalec.

Na primer, kompleksna časovna funkcija v (t) = 10 cos (wt + 30°)

v (t) = V_Me ^j^wt = 10 e^j30 e ^j^wt = 10e ^j^wt (cos (30) + j sin (30)) = e ^j^wt (8.66 +j5)

Z uvajanjem kompleksne časovne funkcije imamo predstavitev z realnim delom in imaginarnim delom. Prvotno realno funkcijo časa lahko vedno obnovimo tako, da vzamemo realni del našega rezultata: v (t) = Re {v(t)}

Vendar ima kompleksna časovna funkcija veliko prednost, da imajo vse kompleksne časovne funkcije v obravnavanih izmeničnih tokokrogih enako e^j^w^tmultiplikator, lahko to ugotovimo in samo delamo s fazorji. Poleg tega v praksi ne uporabljamo e^j^w^tsploh del - samo preobrazbe iz časovnih funkcij v fazorje in nazaj.

Da bi prikazali prednosti uporabe fazorjev, si oglejmo naslednji primer.

Primer 6 Poišči vsoto in razliko napetosti:

v₁ = 100 cos (314 * t) in v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Najprej napišite fazorje obeh napetosti:

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

Zato:

V_dodajte = V_1M + V_2M = 135.35 - j 35.35 = 139.89 e^{- j 14.63}^°

V_spodaj = V_1M - V_2M = 64.65 + j35.35 = 73.68 in ^{j 28.67}^°

in nato časovne funkcije:

v_dodajte(t) = 139.89 * cos (wt - 14.63°)

v_spodaj(t) = 73.68 * cos (wt + 28.67°)

Kot je prikazan v tem preprostem primeru, je metoda phasors.si izjemno zmogljivo orodje za reševanje AC problemov.

Rešimo problem z orodji TINA-jevega tolmača.

{Rešitev TINA-jevega tolmača}
{Izračun v1 + v2}
v1: = 100
v2: = 50 * exp (-pi / 4 * j)
v2 = [35.3553-35.3553 * j]
v1add: = v1 + v2
v1add = [135.3553-35.3553 * j]
abs (v1add) = [139.8966]
radtodeg (arc (v1add)) = [- 14.6388]

{Izračun v1-v2}
v1sub: = v1-v2
v1sub = [64.6447 + 35.3553 * j]
abs (v1sub) = [73.6813]
radtodeg (arc (v1sub)) = [28.6751]

#Rešitev Pythona!
#izračun v1+v2
uvozi matematiko kot m
uvozite cmath kot c
v1=100
v2=50*c.exp(kompleks(0,-c.pi/4))
natisni(“v2=”,v2)
vadd=v1+v2
natisni (“vadd=”,vadd)
print(“abs(vadd)=”,abs(vadd))
print(“stopinj(arc(vadd))=”,m.degrees(c.phase(vadd)))
#izračun v1-v2
vsub=v1-v2
natisni ("vsub=",vsub)
natisni ("abs(vsub)=",abs(vsub))
print("stopinj(lok(vsub))=",m.stopinj(c.faza(vsub)))

Rezultati amplitude in faze potrjujejo ročne izračune.

Zdaj pa preverite rezultat z analizo AC TINA.

Pred izvedbo analize se prepričajte, da je Osnovna funkcija za AC nastavljen na kosinus v Možnosti urejevalnika v meniju Pogled / Možnosti. Razložili bomo vlogo tega parametra pri Primer 8.

Tokovi in rezultati:

Kliknite / tapnite zgornji krog, da analizirate na spletu ali kliknete to povezavo na Shrani pod Windows

Tudi rezultat je enak. Tu so grafi časovne funkcije:

Primer 7 Poišči vsoto in razliko napetosti:

v₁ = 100 sin (314 * t) in v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Ta primer odpira novo vprašanje. Doslej smo zahtevali, da se vse časovne funkcije podajajo kot kosinusne funkcije. Kaj bomo počeli s časovno funkcijo, podano kot sinus? Rešitev je pretvoriti sinusno funkcijo v kosinusno funkcijo. Uporaba trigonometričnega razmerja sin (x) = cos (x-p/ 2) = cos (x-90°), naš primer je mogoče preoblikovati na naslednji način:

v₁ = 100 cos (314t - 90°) in v₂ = 50 cos (314 * t - 45°)

Sedaj so fazorji napetosti:

V_1M = 100 e ^{- j 90}^°= -100 j V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

Zato:

V _dodajte = V_1M + V_2M = 35.53 - j 135.35

V _spodaj = V_1M - V_2M = - 35.53 - j 64.47

in nato časovne funkcije:

v_dodajte(t) = 139.8966 cos (wt-75.36°)

v_spodaj(t) = 73.68 cos (wt-118.68°)

Rešimo problem z orodji TINA-jevega tolmača.

{Rešitev TINA-jevega tolmača}
{Izračun v1 + v2}
v1: = - 100 * j
v2: = 50 * exp (-pi / 4 * j)
v2 = [35.3553 - 35.3553 * j]
v1add: = v1 + v2
v1add = [35.3553-135.3553 * j]
abs (v1add) = [139.8966]
radtodeg (arc (v1add)) = [- 75.3612]

{Izračun v1-v2}
v1sub: = v1-v2
v1sub = [- 35.3553 - 64.6447 * j]
abs (v1sub) = [73.6813]
radtodeg (arc (v1sub)) = [- 118.6751]

Preverimo rezultat z analizo AC TINA

Kliknite / tapnite zgornji krog, da analizirate na spletu ali kliknete to povezavo na Shrani pod Windows

Primer 8

Poišči vsoto in razliko napetosti:

v₁ = Sinus 100 (314 * t) in v₂ = 50 sin (314 * t-45°)

Ta primer odpira še eno vprašanje. Kaj če so vse napetosti podane kot sinusni valovi in želimo videti tudi rezultat kot sinusni val? Seveda bi lahko pretvorili obe napetosti v kosinusne funkcije, izračunali odgovor in nato rezultat pretvorili nazaj v sinusno funkcijo - vendar to ni potrebno. Iz sinusnih valov lahko ustvarimo fazorje na enak način kot iz kosinusnih valov in nato preprosto uporabimo njihovo amplitudo in faze kot amplitudo in fazo sinusnih valov v rezultatu.

To bo očitno imelo enak rezultat kot preoblikovanje sinusnih valov v kosinusne valove. Kot smo lahko videli v prejšnjem primeru, je to enako pomnoževanju z -j in nato z uporabo cos (x) = sin (x-90°) razmerje, da bi ga spremenili nazaj v sinusni val. To je enako množenju z j. Z drugimi besedami, ker -j × j = 1, lahko uporabimo faze, izpeljane neposredno iz amplitud in faz sinusnih valov, da predstavimo funkcijo in se nato neposredno vrnemo k njim. Prav tako lahko na enak način razmišljamo o kompleksnih časovnih funkcijah, zato lahko sinusne valove obravnavamo kot imaginarne dele kompleksnih časovnih funkcij in jih dopolnimo s kosinusno funkcijo, da ustvarimo polno kompleksno funkcijo časa.

Poglejmo rešitev tega primera z uporabo sinusnih funkcij kot osnove fazorjev (transformiranje sin ( w t) na realni enoti (1)).

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

Zato:

V _dodajte = V_1M + V_2M = 135.53 - j 35.35

V _spodaj = V_1M - V_2M = 64.47+ j 35.35

Upoštevajte, da so fazorji popolnoma enaki kot v primeru 6, ne pa tudi časovnih funkcij:

v₃(t) = 139.9sin (wt - 14.64°)

v₄(t) = 73.68sin (wt + 28.68°)

Kot lahko vidite, je zelo enostavno dobiti rezultat z uporabo sinusnih funkcij, še posebej, če so naši začetni podatki sinusni valovi. Mnogi učbeniki raje uporabljajo sinusni val kot osnovno funkcijo fazorjev. V praksi lahko uporabite katero koli metodo, vendar jih ne zamenjajte.

Pri ustvarjanju fazorjev je zelo pomembno, da se vse časovne funkcije najprej pretvorijo v sinus ali kosinus. Če ste začeli s sinusnimi funkcijami, bi morale biti vaše rešitve predstavljene s sinusnimi funkcijami pri vračanju iz fazorjev v časovne funkcije. Enako velja, če začnete s kosinusnimi funkcijami.

Rešimo isti problem z interaktivnim načinom TINA. Ker želimo uporabiti sinusne funkcije kot osnovo za ustvarjanje fazorjev, poskrbite, da bo Osnovna funkcija za AC nastavljena na sinus v Možnosti urejevalnika v meniju Pogled / Možnosti.