Kliknite ali se dotaknite spodnjih vzorčnih vezij, da pokličete TINACloud in izberite način Interactive DC za analizo na spletu.
Pridobite poceni dostop do TINACloud, da uredite primere ali ustvarite lastna vezja

O Fourierjev izrek navaja, da lahko vsako periodično valovno obliko sintetiziramo z dodajanjem primerno tehtanih sinusnih in kosinusnih izrazov različnih frekvenc. Izrek je dobro zajet v drugih učbenikih, zato bomo le povzeli rezultate in pokazali nekaj primerov.

Naj bo naša periodična funkcija f (t) = f (t ±nT) kjer je T čas enega obdobja in n celo število.

w₀= 2p/ T osnovna kotna frekvenca.

Z Fourierjev izrek, periodično funkcijo lahko zapišemo kot naslednji seštevek:

Kje

A_n in B_n sta Fourierjevi koeficienti in vsota je Fourierove vrste.

Druga oblika, verjetno nekoliko bolj praktična:

Kje

A₀ = C₀ je DC ali povprečna vrednost, A₁, B₁ in C₁ so temeljne sestavine, ostale pa so harmonični izrazi.

Medtem ko je za približevanje nekaterih valovnih oblik morda potrebnih le nekaj izrazov, bodo drugi zahtevali veliko izrazov.

Na splošno, več vključenih izrazov je boljši približek, toda za valovne oblike, ki vsebujejo korake, kot so pravokotni impulzi, Gibbsov pojav stopi v igro. Ko se število izrazov povečuje, se čezmerni skok koncentrira v čedalje manjšem časovnem obdobju.

An funkcijo f (t) = f (-t) (simetrija osi) zahteva le kosinusne izraze.

An funkcijo f (t) = - f (-t) (simetrija točke) zahteva samo sinusne izraze.

S valovno obliko zrcalna ali polvalovna simetrija ima samo čudno harmoniki v njegovi predstavitvi Fourier.

Tu se ne bomo ukvarjali s širitvijo serije Fourier, temveč bomo uporabili samo dano vsoto sinusov in kosinusov kot vzbujanje za vezje.

V prejšnjih poglavjih te knjige smo obravnavali sinusno vzbujanje. Če je vezje linearno, je teorem superpozicije velja. Pri mreži z nesinusoidnim periodičnim vzbujanjem nam superpozicija omogoča izračunajte tokove in napetosti zaradi posameznega Fourierovega sinusoidnega izraza posebej. Ko so vsi izračunani, na koncu povzamemo harmonične komponente odziva.

Nekoliko zapleteno je določiti različne izraze periodičnih napetosti in tokov in dejansko lahko povzroči preobremenitev informacij. V praksi bi radi preprosto izvedli meritve. Različne harmonične izraze lahko merimo s pomočjo a harmonični analizator, \ t spektralni analizator, valovni analizator ali Fourierjev analizator. Vse to je zapleteno in verjetno prinese več podatkov, kot je potrebno. Včasih je dovolj, da periodični signal opišemo le s povprečnimi vrednostmi. Vendar obstaja več vrst povprečnih meritev.

POVPREČNA VREDNOTE

Enostavno povprečje or DC izraz je bil v predstavitvi Fourier viden kot A₀

To povprečje je mogoče izmeriti z instrumenti, kot je Deprez DC instrumenti.

Dejanska vrednost or efektivna (korenski povprečni kvadrat) ima naslednjo definicijo:

To je najpomembnejša povprečna vrednost, ker je toplota, ki se razprši v uporih, sorazmerna z efektivno vrednostjo. Številni digitalni in nekateri analogni voltmetri lahko merijo efektivno vrednost napetosti in tokov.

Absolutno povprečje

To povprečje ni več pomembno; prejšnji instrumenti so merili to obliko povprečja.

Če poznamo Fourierjev prikaz napetosti ali trenutne valovne oblike, lahko povprečne vrednosti izračunamo tudi na naslednji način:

Enostavno povprečje or DC izraz je bil v predstavitvi Fourier viden kot A₀ = C₀

Dejanska vrednost or efektivna (korenski povprečni kvadrat) je po integraciji Fourierove serije napetosti:

O Klirr faktor je zelo pomembno razmerje povprečnih vrednosti:

Je razmerje med efektivno vrednostjo višjih harmoničnih izrazov do dejanske vrednosti temeljne harmonike:

Zdi se, da je tu protislovje - mrežo rešujemo v smislu harmonskih komponent, merimo pa povprečne količine.

Metodo ponazorimo s preprostimi primeri:

Primer 1

Poiščite časovno funkcijo in efektivno (rms) vrednost napetosti v_C(T)

Za rešitev težave poskusite uporabiti izrek superpozicije.

Prvi korak je najti funkcijo prenosa kot funkcijo frekvence. Za preprostost uporabite nadomestitev: s = j w

Zdaj nadomestite vrednosti komponent in s = jk w₀kjer je k = 0; 1; 3 v tem primeru in w₀= 30 krad / s. V V, A, ohm, mEnote F in Mrad / s:

Za urejanje korakov numerične rešitve je koristno uporabiti tabelo:

Korake raztopine superpozicije lahko povzamemo v drugi tabeli. Kot smo že videli, bi morali najti kompleksno vršno vrednost sestavine pomnožiti kompleksno vršno vrednost komponente vzbujanja z vrednostjo kompleksne prenosne funkcije:

In končno lahko damo časovno funkcijo ob poznavanju kompleksnih vršnih vrednosti komponent:

v_C(t) = 100 + 110 cos (w₀t - 56.3°) + 6.51 cos (3w₀t - 167.5°) V

Rms (efektivna) vrednost napetosti je:

Kot lahko vidite, TINA-inov merilni instrument meri to efektivno vrednost.

Primer 2

Poiščite časovno funkcijo in efektivno (rms) vrednost trenutne i (t)

Poskusite rešiti težavo z izrekom o superpoziciji.

Zdaj nadomestite številčne vrednosti in s = jk w_0,kjer je k = 0; 1; 3 v tem primeru.

V V, A, ohm, mEnote F in Mrad / s:

Pri numerični rešitvi je koristno uporabiti tabelo:

Korake superpozicije lahko povzamemo v drugi tabeli. Kot smo že videli, bi morali najti največjo vrednost komponente, ki pomnoži kompleksno vršno vrednost te komponente vzbujanja z vrednostjo kompleksne prenosne funkcije. Uporabite kompleksne vršne vrednosti komponent vzbujanja:

In končno, s poznavanjem kompleksnih vršnih vrednosti komponent lahko navedemo časovno funkcijo:

i (t) = 32.4 cos (w₀t + 33.7°) + 5.85 cos (3w₀t - 77.5°) [A]

Ton rms vrednost toka:

Za del rešitve lahko pogosto opravite sanitarno preverjanje. Na primer, kondenzator ima lahko enosmerno napetost, ne pa tudi enosmernega toka.

Primer 3

Pridobite časovno funkcijo napetosti V_ab if R₁= 12 ohm, R₂ = 14 ohm, L = 25 mH in

Prvi korak je iskanje funkcije prenosa:

Zamenjava številskih vrednosti v enotah V, A, ohm, mH, mF, kHz:

Združitev dveh tabel:

k V Sk		V abk
0 50		50
1 80		79.3 in-j66.3
2 30 ej60		29.7 in-j44.7

v_ab(t) = 50 + 79.3 cos (w₁t - 66.3°) + 29.7 cos (2w₁t - 44.7°) [V]

in vrednost RMS: