Οι νόμοι του KIRCHHOFF

Κάντε κλικ ή επιλέξτε τα παρακάτω κυκλώματα Παράδειγμα για να καλέσετε το TINACloud και επιλέξτε τη λειτουργία Interactive DC to Analyze them Online.
Πάρτε μια χαμηλού κόστους πρόσβαση στο TINACloud για να επεξεργαστείτε τα παραδείγματα ή να δημιουργήσετε τα δικά σας κυκλώματα

SUPERPOSITION THEOREM

ΜΕΘΟΔΟΣ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΝΟΔΕ

Πολλά κυκλώματα είναι πολύ περίπλοκα για να λυθούν χρησιμοποιώντας τους κανόνες για σειρές ή παράλληλα κυκλώματα ή τις τεχνικές μετατροπής σε απλούστερα κυκλώματα που περιγράφονται σε προηγούμενα κεφάλαια. Για αυτά τα κυκλώματα χρειαζόμαστε πιο γενικές μεθόδους λύσης. Η πιο γενική μέθοδος δίνεται από τους νόμους του Kirchhoff, οι οποίοι επιτρέπουν τον υπολογισμό όλων των τάσεων κυκλώματος και των ρευμάτων κυκλωμάτων με μια λύση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων.

Υπάρχουν δύο Νόμοι Kirchhoff, ο νόμος περί τάσης και το ρεύμα νόμος. Αυτοί οι δύο νόμοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό όλων των τάσεων και των ρευμάτων των κυκλωμάτων.

Ο νόμος περί τάσης του Kirchhoff (KVL) αναφέρει ότι το αλγεβρικό άθροισμα της τάσης αυξάνεται και η τάση που πέφτει γύρω από έναν βρόχο πρέπει να είναι μηδέν.

Ένας βρόχος στον παραπάνω ορισμό σημαίνει μια κλειστή διαδρομή στο κύκλωμα. Δηλαδή, μια διαδρομή που αφήνει έναν κόμβο σε μια κατεύθυνση και επιστρέφει στον ίδιο κόμβο από άλλη κατεύθυνση.

Στα παραδείγματα μας, θα χρησιμοποιήσουμε τη φορά των δεικτών του ρολογιού για βρόχους. Ωστόσο, τα ίδια αποτελέσματα θα επιτευχθούν εάν χρησιμοποιείται η αριστερόστροφη κατεύθυνση.

Για να εφαρμόσουμε το KVL χωρίς σφάλμα, πρέπει να καθορίσουμε τη λεγόμενη κατεύθυνση αναφοράς. Η κατεύθυνση αναφοράς των άγνωστων τάσεων δείχνει από το σύμβολο + στο σύμβολο των υποτιθέμενων τάσεων. Φανταστείτε να χρησιμοποιείτε ένα βολτόμετρο. Θα τοποθετούσατε τον θετικό ανιχνευτή βολτόμετρου (συνήθως κόκκινο) στον ακροδέκτη αναφοράς + του εξαρτήματος. Εάν η πραγματική τάση είναι θετική, είναι προς την ίδια κατεύθυνση όπως υποθέσαμε και τόσο η λύση μας όσο και το βολτόμετρο θα δείξουν θετική τιμή.

Κατά την εξαγωγή του αλγεβρικού αθροίσματος των τάσεων, πρέπει να αντιστοιχίσουμε ένα σύμβολο συν σε αυτές τις τάσεις όπου η κατεύθυνση αναφοράς συμφωνεί με την κατεύθυνση του βρόχου και αρνητικά σημάδια στην αντίθετη περίπτωση.

Ένας άλλος τρόπος για να δηλώσετε τον νόμο τάσης του Kirchhoff είναι: η εφαρμοζόμενη τάση ενός κυκλώματος σειράς ισούται με το άθροισμα της πτώσης τάσης στα στοιχεία της σειράς.

Το παρακάτω σύντομο παράδειγμα δείχνει τη χρήση του νόμου περί τάσης του Kirchhoff.

Βρείτε την τάση στην αντίσταση R_2, δεδομένου ότι η τάση πηγή, V_S = 100 V και ότι η τάση απέναντι στην αντίσταση R₁είναι V₁ = 40 V.

Το παρακάτω σχήμα μπορεί να δημιουργηθεί με την έκδοση TINA Pro 6 και άνω, στην οποία διατίθενται εργαλεία σχεδίασης στον σχηματικό επεξεργαστή.

Η λύση χρησιμοποιώντας τον νόμο τάσης του Kirchhoff: -V_S + V₁ + V₂= 0 ή V_S = V₁ + V₂

ως εκ τούτου: V₂ = V_S - V₁ = 100-40 = 60V

Σημειώστε ότι συνήθως δεν γνωρίζουμε τις τάσεις των αντιστάσεων (εκτός αν τις μετρήσουμε) και πρέπει να χρησιμοποιήσουμε και τους δύο νόμους του Kirchhoff για τη λύση.

Ο ισχύων νόμος του Kirchhoff (KCL) αναφέρει ότι το αλγεβρικό άθροισμα όλων των ρευμάτων που εισέρχονται και εξέρχονται από οποιοδήποτε κόμβο σε ένα κύκλωμα είναι μηδέν.

Στη συνέχεια, δίνουμε ένα σύμβολο + στα ρεύματα που αφήνουν έναν κόμβο και ένα σύμβολο για τα ρεύματα που εισέρχονται σε έναν κόμβο.

Εδώ είναι ένα βασικό παράδειγμα που αποδεικνύει τον ισχύοντα νόμο του Kirchhoff.

Βρείτε το τρέχον I₂ αν το ρεύμα πηγής I_S = 12 Α, και I₁ = 8 Α.

Χρησιμοποιώντας τον τρέχοντα νόμο του Kirchhoff στον κόμβο: -I_S + Ι₁ + Ι₂ = 0, επομένως: I₂= Ι_S - Εγώ₁ = 12 - 8 = 4 Α, όπως μπορείτε να ελέγξετε χρησιμοποιώντας το TINA (επόμενο σχήμα).

Στο επόμενο παράδειγμα, θα χρησιμοποιήσουμε τους νόμους του Kirchhoff και τον νόμο του Ohm για να υπολογίσουμε το ρεύμα και την τάση στις αντιστάσεις.

Στο παρακάτω σχήμα, θα σημειώσετε το Βέλος τάσης πάνω αντιστάσεις. Αυτό είναι ένα νέο στοιχείο που διατίθεται στο Έκδοση 6 του TINA και λειτουργεί σαν βολτόμετρο. Εάν το συνδέσετε σε ένα στοιχείο, το βέλος καθορίζει την κατεύθυνση αναφοράς (για σύγκριση με ένα βολτόμετρο, φανταστείτε να τοποθετήσετε τον κόκκινο καθετήρα στην ουρά του βέλους και τον μαύρο ανιχνευτή στην άκρη). Όταν εκτελείτε ανάλυση DC, η πραγματική τάση στο στοιχείο θα εμφανίζεται στο βέλος.

Κάντε κλικ / πατήστε το παραπάνω παράθυρο για να αναλύσετε on-line ή κάντε κλικ σε αυτόν το σύνδεσμο για να Αποθήκευση κάτω από τα Windows

Για να αρχίσουμε να χρησιμοποιούμε τον τρέχοντα νόμο του Kirchhoff, βλέπουμε ότι τα ρεύματα όλων των συνιστωσών είναι τα ίδια, οπότε ας υποδηλώσουμε αυτό το ρεύμα από τον Ι.

Σύμφωνα με τον νόμο περί τάσης του Kirchhoff: V_S = V₁+V₂+V₃

Τώρα χρησιμοποιώντας το νόμο του Ohm: V_S= I * R₁+ Ι * R₂+ Ι * R₃

Και από εδώ το ρεύμα του κυκλώματος:

I = V_S/ (R₁+R₂+R₃) = 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A

Τέλος, οι τάσεις των αντιστάσεων:

V₁= I * R₁ = 2 * 10 = 20 V · V₂ = I * R₂ = 2 * 20 = 40 V · V₃ = I * R₃ = 2 * 30 = 60 V

Τα ίδια αποτελέσματα θα εμφανιστούν στα Βέλη Τάσης απλώς εκτελώντας τη διαδραστική ανάλυση DC της TINA.

Σε αυτό το επόμενο, πιο περίπλοκο κύκλωμα, χρησιμοποιούμε επίσης τους νόμους του Kirchhoff και του νόμου του Ohm, αλλά διαπιστώνουμε ότι λύνουμε περισσότερο ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων.

Ο συνολικός αριθμός ανεξάρτητων εφαρμογών των νόμων του Kirchhoff σε ένα κύκλωμα είναι ο αριθμός των κλάδων κυκλώματος, ενώ ο συνολικός αριθμός των άγνωστων (το ρεύμα και η τάση κάθε κλάδου) είναι διπλάσιος από αυτόν. Ωστόσο, χρησιμοποιώντας επίσης το νόμο του Ohm σε κάθε αντίσταση και τις απλές εξισώσεις που ορίζουν τις εφαρμοζόμενες τάσεις και ρεύματα, έχουμε ένα σύστημα εξίσωσης όπου ο αριθμός των αγνώστων είναι ο ίδιος με τον αριθμό των εξισώσεων.

Βρείτε τα ρεύματα κλάδου I1, I2, I3 στο κύκλωμα παρακάτω.

Κάντε κλικ / πατήστε το παραπάνω παράθυρο για να αναλύσετε on-line ή κάντε κλικ σε αυτόν το σύνδεσμο για να Αποθήκευση κάτω από τα Windows

Το σύνολο των εξισώσεων ακολουθεί:

Η κομβική εξίσωση για τον κυκλικό κόμβο:

- I₁- I₂- Εγώ₃ = 0

ή πολλαπλασιάζοντας με το -1

I₁+ I₂+ Ι₃ = 0

Οι εξισώσεις βρόχου (χρησιμοποιώντας τη φορά των δεικτών του ρολογιού) για τον βρόχο L1, που περιέχει V₁Ε₁ Και R₃

-V₁+I₁*R₁-I₃*R₃ = 0

και για τον βρόχο L2, που περιέχει V₂Ε₂ Και R₃

I₃*R₃ - Εγώ₂*R₂ +V₂ = 0

Αντικαθιστώντας τις τιμές των συστατικών στοιχείων:

I₁+ Ι₂+ Ι₃ = 0 -8 + 40 * Ι₁ - 40 * Ι₃ = 0 40 * I₃ -20 * Ι₂ + 16 = 0

Express I₁ χρησιμοποιώντας την κόμβο εξίσωση: I₁ = -I₂ - Εγώ₃

τότε αντικαταστήστε τη στη δεύτερη εξίσωση:

-V₁- (ΕΓΩ₂ + Ι₃) * R₁ -ΕΓΩ₃*R₃ = 0 or -8- (Ι₂ + Ι₃) * 40 - Ι₃* 40 = 0

Express I₂ και αντικαταστήστε την στην τρίτη εξίσωση, από την οποία μπορείτε ήδη να υπολογίσετε το I₃:

I₂ = - (V₁ + Ι₃* (R₁+R₃)) / R₁ or I₂ = - (8 + Ι₃* 80) / 40

I₃*R₃ + R₂* (V₁ + Ι₃* (R₁+R₃)) / R₁ +V₂ = 0 or I₃* 40 + 20 * (8 + Ι₃* 80) / 40 + 16 = 0

Και: I₃ = - (V₂ + V₁*R₂/R₁) / (R₃+ (R₁+R₃) * R₂/R₁) or I₃ = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

Ως εκ τούτου I₃ = - 0.25 Α; I₂ = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 Α και I₁ = - (0.3-0.25) = - 0.05 Α

Ή: I₁ = -50 mA. I₂ = 300 mA. I₃ = -250 mA.

Τώρα ας λύσουμε τις ίδιες εξισώσεις με τον διερμηνέα της TINA:

{Λύση από τον διερμηνέα της TINA}
Sys I1, I2, I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
τέλος?
I1 = [- 50m]
I2 = [300m]
I3 = [- 250m]

#Λύση από Python
εισαγωγή numpy ως np, sympy ως s
#Έχουμε ένα γραμμικό σύστημα
#εξισώσεις που θέλουμε να λύσουμε:
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0

I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
sol = s.solve([
I1+I2+I3,
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
εκτύπωση (sol)

A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])

b= np.array([0,V1,-V2])

x=np.linalg.solve(A,b)
#I1=x[0]
#I2=x[1]
#I3=x[2]
#I1
print("I1= %.3f"%x[0])
#I2
print("I2= %.3f"%x[1])
#I3
print("I3= %.3f"%x[2])

Τέλος, ελέγξτε το αποτελέσματα χρησιμοποιώντας το TINA:

Στη συνέχεια, ας αναλύσουμε το ακόλουθο ακόμη πιο περίπλοκο κύκλωμα και να προσδιορίσουμε τα ρεύματα και τις τάσεις διακλάδωσης.

Κάντε κλικ / πατήστε το παραπάνω παράθυρο για να αναλύσετε on-line ή κάντε κλικ σε αυτόν το σύνδεσμο για να Αποθήκευση κάτω από τα Windows

Ας υποδείξουμε τις άγνωστες τάσεις και ρεύματα προσθέτοντας βέλη τάσης και ρεύματος σε εξαρτήματα, και επίσης να δείξουμε τους βρόχους (L1, L2, L3) και τους κόμβους (N1, N2) όπου θα χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις του Kirchhoff.

Κάντε κλικ / πατήστε το παραπάνω παράθυρο για να αναλύσετε on-line ή κάντε κλικ σε αυτόν το σύνδεσμο για να Αποθήκευση κάτω από τα Windows

Εδώ είναι το σύνολο των Εξισώσεις Kirchhoff για τους βρόχους (χρησιμοποιώντας τη φορά των δεικτών του ρολογιού) και τους κόμβους.

-I_L+ Ι_R1- Εγώ_s= 0(για το N1)

- Εγώ_R1+ Ι_R2+ Ι_s3 = 0 (για το N2)

-V_s1- V_R3+ V_Is+ V_L = 0 (για L1)

-V_Is+ V_s2 +V_R2+V_R1 = 0 (για L2)

-V_R2- V_s2+ V_s3 = 0 (για L3)

Εφαρμογή του νόμου του Ohm:

V_L= Ι_L*R_L

V_R1=I_R1*R₁

V_R2 = Ι_R2*R₂

V_R3 = - Εγώ_L*R₃

Αυτό είναι 9 άγνωστα και 9 εξισώσεις. Ο ευκολότερος τρόπος για να το λύσετε είναι να χρησιμοποιήσετε τα TINA

διερμηνέας. Ωστόσο, εάν πιέσουμε να χρησιμοποιήσουμε υπολογισμούς χεριών, σημειώνουμε ότι αυτό το σύνολο εξισώσεων μπορεί εύκολα να μειωθεί σε ένα σύστημα 5 άγνωστων με αντικατάσταση των τελευταίων 4 εξισώσεων στις εξισώσεις βρόχου L1, L2, L3. Επίσης, προσθέτοντας εξισώσεις (L1) και (L2), μπορούμε να εξαλείψουμε το V_Is, μειώνοντας το πρόβλημα σε ένα σύστημα εξισώσεων 4 για άγνωστες τιμές 4 (I_L,I_R1 I_R2,I_s3). Όταν βρούμε αυτά τα ρεύματα, μπορούμε εύκολα να προσδιορίσουμε το V._L, V_R1, V_R2, και V_R3 χρησιμοποιώντας τις τέσσερις τελευταίες εξισώσεις (νόμος του Ohm).

Αντικατάσταση V_L,V_R1,V_R2 ,V_R3 :

-I_L+ Ι_R1- Εγώ_s= 0(για το N1)

- Εγώ_R1+ Ι_R2+ Ι_s3 = 0 (για το N2)

-V_s1+ Ι_L*R₃+ V_Is+ Ι_L*R_L = 0 (για L1)

-V_Is+ V_s2 + Ι_R2*R₂+ Ι_R1*R₁ = 0 (Για L2)

- Εγώ_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (για L3)

Προσθέτοντας (L1) και (L2) παίρνουμε

-I_L+ Ι_R1- Εγώ_s= 0(για το N1)

- Εγώ_R1+ Ι_R2+ Ι_s3 = 0 (για το N2)

-V_s1+ Ι_L*R₃+ Ι_L*R_L + V_s2 + Ι_R2*R₂+ Ι_R1*R₁ = 0 (L1) + (L2)

- Εγώ_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (για L3)

Μετά την αντικατάσταση των τιμών των συστατικών, η λύση σε αυτές τις εξισώσεις έρχεται εύκολα.

-I_L+I_R1- 2 = 0 (για το N1)

-I_R1 + Ι_R2 + Ι_S3 = 0 (για το N2)

-120 - + Εγώ_L* 90 + Ι_L* 20 + 60 + Ι_R2* 40 + Ι_R1* 30 = 0 (Λ₁) + (Λ₂)

-I_R2* 40 - 60 + 270 = 0 (για τον L₃)

από το L₃ I_R2 = 210 / 40 = 5.25 Α (ΕΓΩ)

από το Ν₂ I_S3 - Εγώ_R1 = - 5.25 (II)

από το L₁+L₂ 110 μου_L + 30 I_R1 = -150 (III)

και για το Ν₁ I_R1 - Εγώ_L = 2 (IV)

Πολλαπλασιάστε (IV) με -30 και προσθέστε στο (III) 140 μου_L = -210 ως εκ τούτου I_L = - 1.5 Α

Αναπληρωτής Ι_L σε (IV) I_R1 = 2 + (-1.5) = 0.5 Α

και I_R1 σε (II) I_S3 = -5.25 + Ι_R1 = -4,75 A

Και οι τάσεις: V_R1 = Ι_R1*R₁ = 15 V. V_R2 = Ι_R2*R₂ = 210 V.

V_R3 = - Εγώ_L*R₃= 135 V. V_L = Ι_L*R_L = - 30 V; V_Is = V_S1+V_R3-V_L = 285 V

{Λύση των αρχικών εξισώσεων από τον διερμηνέα της TINA}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-Is + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-Vs1 + VR3 + Vis-VL = 0
-Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
VL = IL * RL
τέλος?
IL = [- 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]
VIs = [285]
VL = [- 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]

#Λύση από Python
#Ax=b
εισαγωγή numpy ως np, sympy ως s
#Συμβολική λύση χρησιμοποιώντας numpy.solve
#Εξισώσεις:
#IL=-Is+IR1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-Vis-VL=0
#Vis=VR1+VR2+Vs2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#VL=IL*RL
#Λύστε για:
#IL,IR1,IR2,
#Is3,Vis,VL,
#VR1,VR3,VR2

IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
sol = s.solve([
-Is+IR1-IL,
IR2+Is3-IR1,
Vs1+VR3-Vis-VL,
VR1+VR2+Vs2-Vis,
VR2+Vs2-Vs3,
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
εκτύπωση (sol)

#Μια άλλη μέθοδος επίλυσης χρησιμοποιώντας το numpy.linalg
A=np.array(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1],
[0,R1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,R2,0,0,0,0,0,-1],
[-R3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[RL,0,0,0,0,-1,0,0,0]])

b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])

x=np.linalg.solve(A,b)

#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] Vis=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
print("IL= %.3f"%x[0])
print("IR1= %.3f"%x[1])
print("IR2= %.3f"%x[2])
print("Is3= %.3f"%x[3])
print("Vis= %.3f"%x[4])
print("VL= %.3f"%x[5])
print("VR1= %.3f"%x[6])
print("VR2= %.3f"%x[8])
print("VR3= %.3f"%x[7])

Λύση του μειωμένου συνόλου εξισώσεων χρησιμοποιώντας τον διερμηνέα:

{Λύση του μειωμένου συνόλου εξισώσεων από τον διερμηνέα της TINA}
Sys Il, Ir1, Ir2, Is3
-Il + Ir1-2 = 0
-Ir1 + Ir2 + Is3 = 0
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-40 * Ir2 + 210 = 0
τέλος?
Il = [- 1.5]
Ir1 = [500m]
Ir2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]

Μπορούμε επίσης να εισαγάγουμε εκφράσεις για τις τάσεις και να ζητήσουμε από τον διερμηνέα της TINA να τις υπολογίσει:

Il: = - 1.5.
Ir1: = 0.5.
Ir2: = 5.25.
Is3: = - 4.75.
VI: = IL * RL.
Vr1: = Ir1 * R1
Vr2: = Ir2 * R2;
Vr3: = - Il * R3;
VIs: = Vs1-Vl + Vr3.
VI = [- 30]
Vr1 = [15]
Vr2 = [210]
Vr3 = [135]
VIs = [285]

Μπορούμε να ελέγξουμε το αποτέλεσμα με το TINA απλώς ενεργοποιώντας τη διαδραστική λειτουργία DC της TINA ή χρησιμοποιώντας Ανάλυση / Ανάλυση DC / Τάσεις κόμβων

SUPERPOSITION THEOREM

ΜΕΘΟΔΟΣ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΝΟΔΕ