Οι νόμοι του KIRCHHOFF ΣΕ ΔΙΚΤΥΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Κάντε κλικ ή επιλέξτε τα παρακάτω κυκλώματα Παράδειγμα για να καλέσετε το TINACloud και επιλέξτε τη λειτουργία Interactive DC to Analyze them Online.
Πάρτε μια χαμηλού κόστους πρόσβαση στο TINACloud για να επεξεργαστείτε τα παραδείγματα ή να δημιουργήσετε τα δικά σας κυκλώματα

ΘΥΒΕΝΙΝ ΚΑΙ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΔΟΚΙΜΗ ΚΑΙ ΔΟΚΙΜΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΚΟΜΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

Όπως έχουμε ήδη δει, τα κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας σύνθετες αντιστάσεις για τα στοιχεία και σύνθετη κορυφή or συγκρότημα τιμές rms για τα ρεύματα και τις τάσεις. Χρησιμοποιώντας την περίπλοκη έκδοση των νόμων του Kirchhoff, μπορούν να χρησιμοποιηθούν τεχνικές ανάλυσης οζώδους και πλέγματος για την επίλυση κυκλωμάτων AC με τρόπο παρόμοιο με τα κυκλώματα DC. Σε αυτό το κεφάλαιο θα το δείξουμε μέσω παραδειγμάτων των νόμων του Kirchhoff.

Παράδειγμα 1

Βρείτε το πλάτος και τη γωνία φάσης του ρεύματος i_vs(T) if
v_S(t) = V_SM cos 2pft; i (t) = Ι_SM cos 2pft; V_SM = 10 V. Εγώ_SM = 1 Α. f = 10 kHz.

R = 5 ohm. L = 0.2 mH. C₁ = 10 mF; C₂ = 5 mF

Κάντε κλικ / πατήστε το παραπάνω παράθυρο για να αναλύσετε on-line ή κάντε κλικ σε αυτόν το σύνδεσμο για να Αποθήκευση κάτω από τα Windows

Συνολικά έχουμε 10 άγνωστες τάσεις και ρεύματα, δηλαδή: i, i_C1η_Rη_Lη_C2σε_C1σε_Rσε_Lσε_C2 και v_IS. (Εάν χρησιμοποιήσουμε σύνθετες τιμές αιχμής ή rms για τις τάσεις και τα ρεύματα, έχουμε συνολικά 20 πραγματικές εξισώσεις!)

Οι εξισώσεις:

Εξισώσεις βρόχου ή πλέγματος: για M₁- V_SM +V_C1M+V_RM = 0

M₂ - V_RM + V_LM = 0

M₃ - V_LM + V_C2M = 0

M₄ - V_C2M + V_Θεωρία = 0

Οι νόμοι του Ωμ V_RM = R *I_RM

V_LM = j*w*ΜΕΓΑΛΟ*I_LM

I_C1M = j*w*C₁*V_C1M

I_C2M = j*w*C₂*V_C2M

Ονομαστική εξίσωση για N₁ - I_C1M - I_SM+ I_RM+ I_LM +I_C2M = 0

για στοιχεία σειράς I = I_C1M

Επίλυση του συστήματος εξισώσεων μπορείτε να βρείτε το άγνωστο ρεύμα:

i_vs (t) = 1.81 cos (wt + 79.96°) Α

Η επίλυση ενός τόσο μεγάλου συστήματος πολύπλοκων εξισώσεων είναι πολύ περίπλοκη, επομένως δεν το έχουμε δείξει λεπτομερώς. Κάθε σύνθετη εξίσωση οδηγεί σε δύο πραγματικές εξισώσεις, επομένως δείχνουμε τη λύση μόνο με τις τιμές που υπολογίζονται με τον διερμηνέα της TINA.

Η λύση χρησιμοποιώντας τον διερμηνέα της TINA:

{Λύση από τον διερμηνέα της TINA}
om: = 20000 * pi.
Vs: = 10.
Είναι: = 1;
Sys Ic1, Ιγ, IL, Ic2, Vc1, Vr, VL, Vc2, Vis, Ivs
Vs=Vc1+Vr {M1}
Vr=VL {M2}
Vr=Vc2 {M3}
Vc2=Vis {M4}
Ivs=Ir+IL+Ic2-Is {N1}
{Οι κανόνες του Ohm}
Ic1 = j * om * C1 * Vc1
Vr = R * Ir
VL = j * om * L * IL
Ic2 = j * om * C2 * Vc2
Ivs = Ic1
τέλος?
Ivs = [3.1531E-1 + 1.7812E0 * j]
abs (Ivs) = [1.8089]
fiVvs: = 180 * τόξο (Ivs) / pi
fiIvs = [79.9613]

#Λύση από Python
εισαγωγή sympy ως s
εισαγωγή cmath ως c
cp= λάμδα Z : "{:.4f}".format(Z)
om=20000*c.pi
Vs=10
Είναι=1
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=s.symbols('Ic1 Ir IL Ic2 Vc1 Vr VL Vc2 Vis Ivs')
A=[s.Eq(Vc1+Vr,Vs),s.Eq(VL,Vr),s.Eq(Vc2,Vr),s.Eq(Vis,Vc2), #M1, M2, M3, M4
s.Eq(Ir+IL+Ic2-Is,Ivs), #N1
s.Eq(1j*om*C1*Vc1,Ic1),s.Eq(R*Ir,Vr),s.Eq(1j*om*L*IL,VL),s.Eq(1j*om*C2*Vc2,Ic2),s.Eq(Ic1,Ivs)] #Ohm’s rules
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs)))[0]]
εκτύπωση (Ivs)
print("abs(Ivs)=",cp(abs(Ivs)))
print("180*c.phase(Ivs)/c.pi=",cp(180*c.phase(Ivs)/c.pi))

Η λύση χρησιμοποιώντας το TINA:

Για να επιλύσετε αυτό το πρόβλημα με το χέρι, εργαστείτε με τις σύνθετες σύνθετες αντίσταση. Για παράδειγμα, R, L και C₂ συνδέονται παράλληλα, ώστε να μπορείτε να απλοποιήσετε το κύκλωμα υπολογίζοντας το παράλληλό τους ισοδύναμο. || σημαίνει το παράλληλο ισοδύναμο των αντιστάσεων:

Αριθμητικά:

Το απλοποιημένο κύκλωμα με τη σύνθετη αντίσταση:

Οι εξισώσεις σε παραγγελία: I + I_G1 = I_Z

V_S = V_C1 +V_Z

V_Z = Z · I_Z

I = j w C₁· V_C1

Υπάρχουν τέσσερα άγνωστα- I; I_Z; V_C1; V_Z - και έχουμε τέσσερις εξισώσεις, οπότε μια λύση είναι δυνατή.

Εxpress I μετά την αντικατάσταση των άλλων άγνωστων από τις εξισώσεις:

Αριθμητικά

Σύμφωνα με το αποτέλεσμα του διερμηνέα της TINA.

{Λύση χρησιμοποιώντας τη σύνθετη αντίσταση Z}
om: = 20000 * pi.
Vs: = 10.
Είναι: = 1;
Ζ: = επανάληψη (R, replus (j * om * L, 1 / j / om / C2));
Z = [2.1046E0-2.4685E0 * j]
sys εγώ
I = j * o * C1 * (Vs-Z * (I + Is))
τέλος?
I = [3.1531E-1 + 1.7812E0 * j]
abs (Ι) = [1.8089]
180 * τόξο (Ι) / ρΐ = [79.9613]

#Λύση από Python
εισαγωγή sympy ως s
εισαγωγή cmath ως c
Replus= λάμδα R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om=20000*c.pi
Vs=10
Είναι=1
Z=Replus(R,Replus(1j*om*L,1/1j/om/C2))
print('Z=',cp(Z))
I=s.symbols('I')
A=[s.Eq(1j*om*C1*(Vs-Z*(I+Is)),I),]
I=[complex(Z) για το Z σε πλειάδα(s.linsolve(A,I))[0]][0]
print("I=",cp(I))
print("abs(I)=",cp(abs(I)))
print("180*c.phase(I)/c.pi=",cp(180*c.phase(I)/c.pi))

Η συνάρτηση χρόνου του τρέχοντος, λοιπόν, είναι:

i (t) = 1.81 cos (wt + 80°) Α

Μπορείτε να ελέγξετε τον τρέχοντα κανόνα του Kirchhoff χρησιμοποιώντας διαγράμματα φάσης. Η παρακάτω εικόνα αναπτύχθηκε ελέγχοντας την εξίσωση κόμβου στο i_Z = i + i_G1μορφή. Το πρώτο διάγραμμα δείχνει τις φάσεις που προστίθενται από τον κανόνα παραλληλογράμματος, ενώ το δεύτερο απεικονίζει τον τριγωνικό κανόνα της προσθήκης φάσης.

Τώρα ας δείξουμε το KVR χρησιμοποιώντας το χαρακτηριστικό διάγραμμα φάσης της TINA. Δεδομένου ότι η τάση πηγής είναι αρνητική στην εξίσωση, συνδέσαμε το βολτόμετρο «προς τα πίσω». Το διάγραμμα φάσης απεικονίζει την αρχική μορφή του κανόνα τάσης του Kirchhoff.

Το πρώτο διάγραμμα φάσης χρησιμοποιεί τον κανόνα παραλληλογράμματος, ενώ το δεύτερο χρησιμοποιεί τον τριγωνικό κανόνα.

Για να απεικονίσετε το KVR με τη μορφή V_C1 + V_Z - V_S = 0, συνδέσαμε ξανά το βολτόμετρο στην πηγή τάσης προς τα πίσω. Μπορείτε να δείτε ότι το τρίγωνο φάσο είναι κλειστό.

Σημειώστε ότι η TINA σάς επιτρέπει να χρησιμοποιείτε είτε τη συνάρτηση ημιτονοειδούς είτε το συνημίτονο ως βασική λειτουργία. Ανάλογα με την επιλεγμένη λειτουργία, τα πολύπλοκα πλάτη που φαίνονται στα διαγράμματα φάσης ενδέχεται να διαφέρουν κατά 90 by. Μπορείτε να ορίσετε τη λειτουργία βάσης στην ενότητα "Προβολή" Επιλογές "" Λειτουργία βάσης για AC ". Στα παραδείγματα μας χρησιμοποιούσαμε πάντα τη λειτουργία συνημίτονο ως βάση.

Παράδειγμα 2

Βρείτε τις τάσεις και τα ρεύματα όλων των εξαρτημάτων εάν:

v_S(t) = 10 cos wt V, i_S(t) = 5 cos (w t + 30 °) mA.

C₁ = 100 nF, C₂ = 50 nF, R₁ = R₂ = 4 k. L = 0.2 Η, f = 10 kHz.

Αφήστε τα άγνωστα να είναι οι πολύπλοκες τιμές αιχμής των τάσεων και των ρευμάτων των «παθητικών» στοιχείων, καθώς και το ρεύμα της πηγής τάσης (i_VS) και την τάση της τρέχουσας πηγής (v_IS). Συνολικά, υπάρχουν δώδεκα πολύπλοκα άγνωστα. Έχουμε τρεις ανεξάρτητους κόμβους, τέσσερις ανεξάρτητους βρόχους (επισημαίνονται ως M_I), και πέντε παθητικά στοιχεία που μπορούν να χαρακτηριστούν από πέντε «νόμους του Ohm» - συνολικά υπάρχουν 3 + 4 + 5 = 12 εξισώσεις:

Κομβικές εξισώσεις για Ν₁ I_VsM = Ι_R1M + Ι_C2M

για Ν₂ I_R1M = Ι_LM + Ι_C1M

για Ν₃ I_C2M + Ι_LM + Ι_C1M +I_sM = Ι_R2M

Εξισώσεις βρόχου για το M₁ V_SM = V_C2M + V_R2M

για το M₂ V_SM = V_C1M + V_R1M+ V_R2M

για το M₃ V_LM = V_C1M

για το M₄ V_R2M = V_Θεωρία

Οι νόμοι του Ωμ V_R1M = R₁*I_R1M

V_R2M = R₂*I_R2M

I_C1m = j *w*C₁*V_C1M

I_C2m = j *w*C₂*V_C2M

V_LM = j *w* L * Ι_LM

Μην ξεχνάτε ότι οποιαδήποτε περίπλοκη εξίσωση μπορεί να οδηγήσει σε δύο πραγματικές εξισώσεις, έτσι η μέθοδος του Kirchhoff απαιτεί πολλούς υπολογισμούς. Είναι πολύ πιο απλό να επιλυθεί για τις χρονικές συναρτήσεις των τάσεων και των ρευμάτων χρησιμοποιώντας ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων (δεν συζητείται εδώ). Πρώτα δείχνουμε τα αποτελέσματα που υπολογίστηκαν από τον διερμηνέα της TINA:

{Λύση από τον διερμηνέα της TINA}
f: = 10000.
Vs: = 10.
s: = 0.005 * exp (j * pi / 6).
om: = 2 * pi * f.
sys ir1, ir2, ic1, ic2, iL, vr1, vr2, vc1, vc2, vL, vis, ivs
ivs=ir1+ic2 {1}
ir1=iL+ic1 {2}
ic2+iL+ic1+Is=ir2 {3}
Vs=vc2+vr2 {4}
Vs=vr1+vr2+vc1 {5}
vc1=vL {6}
vr2=vis {7}
vr1=ir1*R1 {8}
vr2=ir2*R2 {9}
ic1=j*om*C1*vc1 {10}
ic2=j*om*C2*vc2 {11}
vL=j*om*L*iL {12}
τέλος?
abs (vr1) = [970.1563m]
abs (vr2) = [10.8726]
abs (ic1) = [245.6503u]
abs (ic2) = [3.0503m]
abs (vc1) = [39.0965m]
abs (vc2) = [970.9437m]
abs (iL) = [3.1112u]
abs (vL) = [39.0965m]
abs (ivs) = [3.0697m]
180 + radtodeg (τόξο (ivs)) = [58.2734]
abs (vis) = [10.8726]
radtodeg (τόξο (vis)) = [- 2.3393]
radtodeg (τόξο (vr1)) = [155.1092]
radtodeg (τόξο (vr2)) = [- 2.3393]
radtodeg (τόξο (ic1)) = [155.1092]
radtodeg (τόξο (ic2)) = [- 117.1985]
radtodeg (τόξο (vc2)) = [152.8015]
radtodeg (τόξο (vc1)) = [65.1092]
radtodeg (τόξο (iL)) = [- 24.8908]
radtodeg (τόξο (vL)) = [65.1092]

#Λύση από Python
εισαγωγή sympy ως s
εισαγωγή μαθηματικών ως m
εισαγωγή cmath ως c
cp= λάμδα Z : "{:.4f}".format(Z)
f = 10000
Vs=10
S=0.005*c.exp(1j*c.pi/6)
om=2*c.pi*f
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=s.symbols('ir1 ir2 ic1 ic2 iL vr1 vr2 vc1 vc2 vL έναντι ivs')
A=[s.Eq(ir1+ic2,ivs), #1
s.Eq(iL+ic1,ir1), #2
s.Eq(ic2+iL+ic1+Is,ir2), #3
s.Eq(vc2+vr2,Vs), #4
s.Eq(vr1+vr2+vc1,Vs), #5
s.Eq(vL,vc1), #6
s.Eq(vis,vr2), #7
s.Eq(ir1*R1,vr1), #8
s.Eq(ir2*R2,vr2), #9
s.Eq(1j*om*C1*vc1,ic1), #10
s.Eq(1j*om*C2*vc2,ic2), #11
s.Eq(1j*om*L*iL,vL)] #12
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs)))[0]]
print("abs(vr1)=",cp(abs(vr1)))
print("abs(vr2)=",cp(abs(vr2)))
print("abs(ic1)=",cp(abs(ic1)))
print("abs(ic2)=",cp(abs(ic2)))
print("abs(vc1)=",cp(abs(vc1)))
print("abs(vc2)=",cp(abs(vc2)))
print("abs(iL)=",cp(abs(iL)))
print("abs(vL)=",cp(abs(vL)))
print("abs(ivs)=",cp(abs(ivs)))
print("180+degrees(phase(ivs))=",cp(180+m.degrees(c.phase(ivs))))
print("abs(vis)=",cp(abs(vis)))
print("degrees(phase(vis))=",cp(m.degrees(c.phase(vis))))
print("grade(phase(vr1))=",cp(m.degrees(c.phase(vr1))))
print("grade(phase(vr2))=",cp(m.degrees(c.phase(vr2))))
print("degrees(phase(ic1))=",cp(m.degrees(c.phase(ic1))))
print("degrees(phase(ic2))=",cp(m.degrees(c.phase(ic2))))
print("grade(phase(vc2))=",cp(m.degrees(c.phase(vc2))))
print("grade(phase(vc1))=",cp(m.degrees(c.phase(vc1))))
print("degrees(phase(iL))=",cp(m.degrees(c.phase(iL))))
print("degrees(phase(vL))=",cp(m.degrees(c.phase(vL))))

Τώρα προσπαθήστε να απλοποιήσετε τις εξισώσεις με το χέρι χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση. Πρώτο υποκατάστατο ισοδ. 9. σε ισοδ. 5.

V_S = V_C2 + R₂ I_R2ένα.)

τότε eq.8 και eq.9. στο eq 5.

V_S = V_C1 + R₂ I_R2 + R₁ I_R1 σι.)

τότε eq 12., eq. 10. και εγώ_Lαπό το ισ. 2 σε eq.6.

V_C1 = V_L = jwΛΙ_L = jwL (Ι_R1 - Εγώ_C1) = jwΛΙ_R1 - ιwΛ ιwC₁ V_C1