Комплекстүү сандар

TINACloud Click же дуба үчүн төмөнкү мисал тетиктерге таптап, Online, аларды анализдөө үчүн Interactive DC режимин тандоо.
мисалдарды түзөтүп же өз схемаларды түзүү TINACloud үчүн арзан кирүү

Туруктуулуктун LOOP УЧУРДАГЫ МЕТОДДОРУ

Алмашма НЕГИЗГИ

Ушул жана кийинки бөлүмдөрдөн абдан маанилүү бир тема сунуштайт: АК, же Өзгөрүлмө агым. аты өзгөрүүчү учурдагы өтө так эмес, адатта, синусоидалык тирешүүлөрдүн жана заряддар менен схемаларды камтыйт; Бирок, алмашма да ар кандай мыйзамсыз учурдагы толкундун билдирет. AC кубатуулуктагы мааниси кубатуулуктагы бул түрү дүйнө жүзү боюнча үй-башкы электр энергия булактары жана өнөр жай үчүн колдонулат. Ошондой эле көптөгөн электроника, Электр жана өнөр жай өтүнмөлөр үчүн негиз болуп саналат.

синусоидалык сигналдар жана алар менен байланышкан тетиктерге алдырбаш үчүн, биз диоддор ыкмасы деп аталган жөнөкөй жана кооз ыкманы колдонот. Диоддор синусоидалык көп өкүлү үчүн идеалдуу комплекстүү сандардын касиеттери, негизделген. Бул бапта биз татаал сандар жана алардын иштери тууралуу негизги маалыматты кыскача берет. Биз, ошондой эле, Тина анын Interpreter бул татаал сандар менен эсептөөлөрдү аткаруу үчүн жеңил кылат кантип көрсөтөт.

Комплекстүү сандар эки бөлүктөн турат, а чыныгы бөлүгү (x), алардын чыныгы саны, жана ошондой аталат кыялдагы бир бөлүгү (Ж) көбөйтүлгөн чыныгы саны, , кыялдагы бирдиги. татаал сан zОшондуктан, деп айтууга болот:

z = х + jy

кайда .

татаал сандар мисалдары:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Комплекстүү сандар алгач XVII кылымда чыныгы сандар менен гана көрсөтүү мүмкүн болбогон көп мүчөлөрдүн тамырларын чагылдыруу үчүн киргизилген. Мисалы, х теңдемесинин тамырлары²+ 2x + 2 = 0 гана катары мүнөздөөгө болот жана Же белгисин колдонуу , z₁= 1 + j жана z₂= 1- j. Өрнөктөрдүн касиеттерин изилдөө үчүн жаңы белгини колдонуп, математиктер теоремаларды далилдеп, ошол кезге чейин кыйын болгон маселелерди чечип алышкан. Бул татаал алгебра жана татаал функцияларды иштеп чыгууга алып келди, алар азыркы учурда математикада жана инженерияда кеңири колдонулат.

татаал саны геометриялык өкүлчүлүгү

тик бурчтуу түрү

Татаал сан ар дайым өзүнүн чыныгы жана татаал бөлүктөрүнө бөлүнүшү мүмкүн болгондуктан, татаал санды эки өлчөмдүү тегиздиктин чекити катары көрсөтө алабыз. Комплекстүү сандын чыныгы бөлүгү - чекиттин чыныгы огуна проекциясы, ал эми сандын элестүү бөлүгү - элестүү огуна проекциясы. Татаал сан чыныгы жана элестүү бөлүктөрдүн жыйындысы катары берилгенде, биз аны ичинде деп айтабыз тик бурчтуу or алгебралык түрү.

төмөнкү көрсөткүч татаал санын көрсөтөт z = 2 + 4j

Polar жана көрсөткүчтүү түрү

Жогорудагы сүрөттөн көрүнүп тургандай, А чекити жебенин узундугу менен да көрсөтүлгөн, r (ошондой эле абсолюттук маани, чоңдук же амплитуда деп аталат) жана анын бурчу (же фазасы), φ салыштырмалуу позитивдүү горизонталдуу октун карама-каршы багытында. Бул полярдык татаал сандын формасы Ал r ∠ деп белгиленет φ.

кийинки кадам абдан маанилүү болуп саналат. полярдык түрүндөгү татаал сан да жазылса болот көрсөткүчтүү түрү:

Бул жөнөкөй сөз айкашы менен айырмаланып турат, ал кадимки чыныгы сандын ордуна экспонентте элестүү номерге ээ. Бул татаал экспоненциалдуу кыймыл экспоненциалдык функциядан чыныгы аргумент менен такыр башкача иш-аракет кылат. Д^x x> 0 көбөйгөндө чоңдугу менен тез өсөт жана x <0 үчүн төмөндөйт, функциясы any үчүн чоңдук (z = 1) бар. Андан тышкары, анын татаал маанилери бирдик айланасында жайгашкан.

Эйлер формула комплекстүү сандардын тик бурчтуу, полярдык, жана көрсөткүчтүү түрлөрүн арасында бириктирүүчү байланышты камсыз кылат:

z = Х + jж = кайра ^jφ = Р (кызмат ¼т¼¼д¼н φ + j күнөө φ )

кайда

жана φ = тан^-1(Ж / х).

Анткени, жогоруда биз, мисалы, z = 2 + 4j:

φ = тан^-1(4 / 2) = 63.4 °

ошондуктан .

Же тескерисинче:

Колдонмого жараша, эки форманы да колдонууда этият болушуңуз керек. Мисалы, сандар тик бурчтуу формада болгондо, кошуу же алып салуу оңой, ал эми экспоненциалдуу формада болгондо көбөйтүү жана бөлүү оңой.

комплекстүү сандар менен иш жүргүзүү

Татаал сандар менен жүргүзүлө турган операциялар чыныгы сандарга окшош. Төмөндө эрежелер жана айрым жаңы аныктамалар келтирилген.

к менен иш жүргүзүү

иш менен j жөн гана ойдон чыгарылган бөлүмдүн аныктамасына келип,

тез жана так иштей алышы үчүн, сен бул эрежелерди жаттап керек:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

Proof:

j² = -1 жөн аныктоодон төмөнкүдөй бери

Анткени 1 /jБиз 1 көбөйүп /jby j / j = 1 жана алуу j/ (JJ) = j / (- 1) = -j.

татаал Тутумдаш

комплекстүү бир катар комплекстүү Тутумдаш жонокой алынган жана өтө маанилүү болуп эсептелет. тик бурчтуу түрүндөгү татаал катар татаал Тутумдаш алуу үчүн, жөн гана ойдон чыгарылган бөлүгүн белгисин өзгөртүү. көрсөткүчтүү түрүндө бир нече Ан үчүн, анын абсолюттук маанисин сактап, ошол эле учурда татаал санынын бурч белгисин өзгөртүү.

комплекстүү бир катар татаал Тутумдаш z көп тарабынан белгиленет z^*.

татаал сан эске z= А + jб, анын комплекстүү Тутумдаш болуп саналат z^*= a- jb.

If z көрсөткүчтүү түрүндө берилет, , Анын комплекстүү Тутумдаш болуп саналат

Жогоруда аныктамалар колдонуп, анын комплекстүү Тутумдаш көбөйтүлгөн бир татаал сан комплекстүү санынын абсолюттук маанидеги аянтка берет байкоого болот:

ZZ^* = р²= а^{2 +}b²

Ошондой эле, ар кандай татаал санын жана анын Тутумдаш кошуу же кемитүү аркылуу, биз төмөнкү мамилелерди алуу:

z + z ^* = 2a

ошондуктан

Re (Z) = а = ( z + z ^* ) / 2

Ошо сыяктуу эле:

z - z ^* =j2b

ошондуктан

Мен(z) = Б = ( z -z ^* ) / 2j

Proof:

же чыныгы жана ойдон чыгарылган бөлүктөрүн жана пайдалануу өсүп j²= -1

ZZ^* = (Бир + jб) (а - jб) = а²+a jб - а jб - jbjб = а²j2 = а^{2 +}b²

Z + Z^* = А + jб + а - jб = 2a

z - z^*= А + jb - a + jб =j2b

Сандык мисалдар:

тик бурчтуу түрүндөгү:

z = 3 + j4

z^* = 3- j4

ZZ ^* = 9 + 16 = 25

-Жылы кескин түрдө

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ∠- 53.13 °

көрсөткүчтүү түрдө:

Кошуу жана алуу

Татаал сандарды кошуу жана бөлүп чыгаруу оңой - биз чыныгы жана элестүү бөлүктөрдү өзүнчө кошушубуз керек. Мисалы, эгерде

z₁ = 3 - 4j жана z₂= 2 + 3j

ошондо

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Бул операциялар үчүн тик бурчтуу форманы колдонушубуз керек экендиги айдан ачык. Эгерде сандар экспоненциалдык же полярдык формада берилсе, биз мурда Эйлер формуласын колдонуп, аларды тик бурчтуу формага айландырышыбыз керек.

көбөйтүү

Комплекстүү сандарды көбөйтүүнүн эки ыкмасы бар -

татаал сандарды көбөйтүү тик жүзүндө берилет

Операцияны жүргүзүү үчүн, бир сандын чыныгы жана элестүү бөлүктөрүн башка номурдун чыныгы жана элестүү бөлүктөрүнө кезек менен көбөйтүңүз жана аныктыгыңызды колдонуңуз j²= -1.

z₁z₂ = (Бир₁ + jb₁) (А₂ + jb₂) = А₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - б₁b₂ = а₁ a₂- б₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

татаал сандар сан берилген, ал жогорудагы пайдалануу үчүн зарыл болгон эмес. Мисалы, жол

z₁ = 3 - 4j жана z₂= 2 + 3j

компоненттеринин түз көбөйүшү менен:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6- 8j +9j + 12 = 18 + j

же чечим менен: z₁z₂ = а₁ a₂- б₁b₂+ j(b₁a₂+ б₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Биз көбүрөөк сиз түздөн-түз компоненттерин көп караганда пайдаланышаары, анда ката болушу мүмкүн деп ойлойбуз.

{TINAнын котормочусунун чечими}
z1: = 3-4 * J
z2: = 2 + 3 * J
z1 * z2 = [18 + 1 * к]

#Python боюнча чечим:
математиканы м катары импорттоо
c катары импорт cmath

z1=татаал('3-4j')
z2=татаал('2+3j')
print(“z1*z2=”,z1*z2)

полярдык же эсеге жүзүндө берилет татаал сандарды көбөйтүү

Бул иш-аракетти жүзөгө ашыруу үчүн, абсолюттук баалуулуктарды көбөйүп, эки татаал сандар бурчту кошуу. карап көрөлү:

Ошондо көрсөткүчтүү милдеттерин көбөйтүү үстөмдүгүн аркылуу:

же ак түрүндө

z₁ z₂ = р₁ r₂ ∠ φ₁+ φ₂

Эскертүү: Биз эсептелген Биз бул эрежени колдонушкан ZZ ^*жогору. Коньюгаттын бурчунда баштапкы бурчтун карама-каршы белгиси бар болгондуктан, өз конюгатына көбөйтүлгөн татаал сан ар дайым чыныгы сан болуп саналат; тактап айтканда, анын абсолюттук маанинин квадраты: ZZ ^*= р²

Мисалы, жол:

z₁ = 5 ∠ 30 ° жана z₂ = 4 ∠ -60 °

ошондо

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

же эсеге түрүндө

сандар полярдык же эсеге түрүндө болгондо Көбөйтүү, албетте, жөнөкөй болуп саналат.

Бирок, эгер татаал сандар тик бурчтуу формада берилсе, анда көбөйтүүнү түздөн-түз жогоруда көрсөтүлгөндөй аткарууну ойлонушуңуз керек, анткени сандарды көбөйтүүдөн мурун полярдык формага айландырсаңыз кошумча кадамдар бар. Дагы бир фактор - бул сиз жоопторду тик бурчтуу формада же полярдык / экспоненциалдык формада болушун каалайсызбы. Мисалы, эгер эки сан тик бурчтуу формада болсо, бирок алардын уюлдук формада болушун кааласаңыз, аларды дароо айландыруу жана андан кийин көбөйтүү мааниси бар.

бөлүм

Комплекстүү сандарды бөлүүнүн эки ыкмасы бар -

татаал сан бөлүмү тик жүзүндө берилет

Операцияны жүргүзүү үчүн, эсептегич менен атоочту деноминатордун кошулушуна көбөйтүңүз. Деноминатор чыныгы санга айланат жана бөлүү эки татаал сандын көбөйүшүнө жана бөлүүчүнүн абсолюттук маанисинин квадратына чыныгы санга бөлүнүү менен кыскартылат.

Мисалы, жол:

z₁ = 3 - 4j жана z₂= 2 + 3j

Кудайдын Тина анын котормочусу менен бул натыйжаны карап көрөлү:

{TINAнын котормочусунун чечими}
z1: = 3-4 * J
z2: = 2 + 3 * J
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * к]

#Python боюнча чечим:
математиканы м катары импорттоо
c катары импорт cmath

z1=татаал('3-4j')
z2=татаал('2+3j')
print(“z1/z2=”,z1/z2)

полярдык же эсеге жүзүндө берилет татаал сан бөлүмү

ишин жүзөгө ашыруу үчүн абсолюттук баалуулуктарды (сыйымдуулугу) бөлүп жана алым жактан мүнөздөөгө бурчу нерсе албагыла. карап көрөлү:

анда көрсөткүчтүү милдеттерин бөлүү эрежесин колдонуу

же ак түрүндө

z ₁ / z₂= р₁ / р₂ ∠ φ ₁- φ ₂

Мисалы, жол:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° жана z ₂ = 2 ∠ -60 °

ошондо

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

же көрсөткүчтүү жана тик бурчтуу түрдө

Кудайдын Тина анын котормочусу менен бул натыйжаны карап көрөлү:

{TINAнын котормочусунун чечими}
z1: = 5 * Exp (J * degtorad (30))
z2: = 2 * Exp (J * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * к]

#Python боюнча чечим:
математиканы м катары импорттоо
c катары импорт cmath

z1=5*(c.exp(татаал(0,м.радиан(30))))
z2=2*(c.exp(татаал(0,м.радиан(-60))))
print(“z1/z2=”,z1/z2)

Сандар полярдуу же экспоненциалдык формада болгондо, бөлүү жөнөкөй.

Бирок, эгерде комплекстүү сандар тик бурчтуу формада берилсе, бөлүүнү жогоруда көрсөтүлгөндөй комплекстүү бириктирүү ыкмасын колдонуу менен түзүүнү ойлонушуңуз керек, анткени сиз аларды бөлүүдөн мурун полярдык формага айландырсаңыз кошумча кадамдар бар. Дагы бир фактор - бул сиз жоопторду тик бурчтуу формада же полярдык / экспоненциалдык формада болушун каалайсызбы. Мисалы, эгерде эки сан тик бурчтуу формада болсо, бирок алардын уюлдук формада болушун кааласаңыз, аларды тез эле айландырып, андан кийин бөлүштүрүү туура болот.

Эми сандык кыйынчылыктар менен татаал сан колдонууга мисал карап көрөлү. Адаттагыдай эле, биз Тина анын Interpreter колдонуп чечүү текшерип чыгат. котормочу радиандарга менен иштейт, бирок ал даража же тескерисинче радиандарга кайра стандарттык кызматы бар.

мисал 1 полярдык өкүлчүлүгүн табуу:

z = 12 - j 48

же 49.48 ∠ - 75.96 °

{TINAнын котормочусунун чечими}
Z: = 12-J * 48;
ABS (Z) = [49.4773]
жаа (Z) = [- 1.3258]
radtodeg (жаа (Z)) = [- 75.9638]

#Python боюнча чечим:
математиканы м катары импорттоо
c катары импорт cmath

z=12-татаал(48j)
print(“abs(z)=”,abs(z))
print(“arc(z)=”,c.phase(z))
print(“degrees(arc(z))=”,m.degrees(c.phase(z)))

мисал 2 тик бурчтуу өкүлчүлүгүн табуу:

z = 25 д ^j¹²⁵ ^°

{TINAнын котормочусунун чечими}
Z: = 25 * Exp (к * (degtorad (125)));
Z = [- 14.3394 + 20.4788 * к]
Re (Z) = [- 14.3394]
Im (Z) = [20.4788]

#Python боюнча чечим:
математиканы м катары импорттоо
c катары импорт cmath

z=25*c.exp(татаал(0,м.радиан(125)))
print(“z=”,z)
print(“real(z)=”,z.real)
print(“imag(z)=”,z.imag)

мисал 3 төмөнкүдөй комплекстүү сандардын полярдык өкүлчүлүгүн табуу:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

Бардык төрт сандын абсолюттук маанилери бирдей, анткени абсолюттук маани белгилерден көзкарандысыз. Бурчтары гана башкача.

{TINAнын котормочусунун чечими}
z1: = 12 + J * 48;
ABS (z1) = [49.4773]
жаа (z1) = [1.3258]
radtodeg (жаа (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-J * 48;
ABS (z2) = [49.4773]
жаа (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (жаа (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + J * 48;
ABS (z3) = [49.4773]
жаа (z3) = [1.8158]
radtodeg (жаа (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-J * 48:
ABS (z4) = [49.4773]
жаа (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (жаа (z4)) = [- 104.0362]

#Python боюнча чечим:
математиканы м катары импорттоо
c катары импорт cmath

z1=татаал('12+48j')
print(“abs(z1)=”,abs(z1))
print(“arc(z1)=”,c.phase(z1))
print(“даражалар(жага(z1))=”,m.градус(c.phase(z1)))

z2=татаал('12-48j')
print(“abs(z2)=”,abs(z2))
print(“arc(z2)=”,c.phase(z2))
print(“даражалар(жага(z2))=”,m.градус(c.phase(z2)))

z3=татаал('-12+48j')
print(“abs(z3)=”,abs(z3))
print(“arc(z3)=”,c.phase(z3))
print(“даражалар(жага(z3))=”,m.градус(c.phase(z3)))

z4=татаал('-12-48j')
print(“abs(z4)=”,abs(z4))
print(“arc(z4)=”,c.phase(z4))
print(“даражалар(жага(z4))=”,m.градус(c.phase(z4)))

TINA доғасы () функциясы ар кандай татаал сандын бурчун аныктайт жана автоматтык түрдө төрт квадранттын бирине туура жайгаштырылат.

тан колдонуп, Бирок, сак болгула^-1 бурчту табуу функциясы, анткени биринчи жана төртүнчү квадранттарда гана бурулуу бурчтары менен чектелген (–90 °)φ<90 °).

бери z₁координаттар системасын биринчи Quadrant жайгашкан, эсептөө болуп саналат:

α₁ = тан^-1(48 / 12) тан =^-1(4) = 75.96 °

бери z₄координаттар системасын үчүнчү Quadrant жайгашкан, тан^-1туура бурчту кайтып келбейт. бурч эсептөө болуп саналат:

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° же -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, бул TINA эсептегендей эле.

z₂бурч эсептөө болуп саналат координаттар системасында төртүнчү Quadrant жайгашкан:

α₂ = тан^-1(-48 / 12) тан =^-1(-4) = -75.96 °

z_3,Бирок, ушунчалык тан, координаттар системасын 2nd Quadrant турат^-1туура бурчту кайтып келбейт. бурч эсептөө болуп саналат:

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

мисал 4 Биз эки татаал сандар бар: z₁= 4 - j 6 жана z₂ = 5 д^j⁴⁵ ^° .

табуу z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Биринчиден, биз Тина анын Interpreter пайдалануу маселесин чечүү

{TINAнын котормочусунун чечими}
z1: = 4-J * 6;
z2: = 5 * Exp (J * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * к]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * к]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * к]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * к]

ТИНА иштин ар кандай түрлөрүнө берилген эки татаал номерлерин кантип чечкенин карап көрөлү.

Котормочусуз чечүү татаалдашат. Көбөйтүүнүн жана бөлүштүрүүнүн ар кандай ыкмаларын салыштыруу үчүн, биз алгач полярдык форманы аныктайбыз z₁ жана тик бурчтуу түрү z₂.