UNDANG-UNDANG KIRCHHOFF

Klik atau Ketik litar Contoh di bawah untuk memanggil TINACloud dan pilih mod Interaktif DC untuk Menganalisisnya dalam Talian.
Dapatkan akses kos rendah ke TINACloud untuk mengedit contoh atau membuat litar anda sendiri

THEOREM SUPERPOSISI

METODE POTENSI NODE

Banyak litar terlalu rumit untuk diselesaikan dengan menggunakan peraturan untuk litar siri atau selari atau teknik penukaran ke litar yang lebih sederhana yang dijelaskan dalam bab sebelumnya. Untuk litar ini, kita memerlukan kaedah penyelesaian yang lebih umum. Kaedah yang paling umum diberikan oleh undang-undang Kirchhoff, yang memungkinkan pengiraan semua voltan litar dan arus litar dengan penyelesaian sistem persamaan linear.

Terdapat dua Undang-undang Kirchhoff, undang-undang voltan dan semasa undang-undang. Kedua undang-undang ini dapat digunakan untuk menentukan semua voltan dan arus litar.

Undang-undang voltan Kirchhoff (KVL) menyatakan bahawa jumlah algebra voltan meningkat dan voltan jatuh di sekitar gelung mestilah sifar.

Gelung dalam definisi di atas bermaksud jalan tertutup dalam litar; iaitu jalan yang meninggalkan nod dalam satu arah dan kembali ke simpul yang sama dari arah yang lain.

Dalam contoh kami, kami akan menggunakan arah pusingan jam untuk gelung; namun, hasil yang sama akan diperoleh jika arah berlawanan arah jarum jam digunakan.

Untuk menerapkan KVL tanpa ralat, kita harus menentukan arah rujukan yang disebut. Arah rujukan voltan yang tidak diketahui menunjukkan titik + hingga tanda voltan yang diandaikan. Bayangkan menggunakan voltmeter. Anda akan meletakkan probe positif voltmeter (biasanya merah) di terminal rujukan + komponen. Sekiranya voltan sebenar positif, ia berada dalam arah yang sama seperti yang kita anggap, dan kedua-dua penyelesaian kita dan voltmeter akan menunjukkan nilai positif.

Semasa memperoleh jumlah voltan algebra, kita mesti memberikan tanda tambah pada voltan di mana arah rujukan setuju dengan arah gelung, dan tanda negatif dalam kes yang berlawanan.

Kaedah lain untuk menyatakan undang-undang voltan Kirchhoff adalah: voltan litar rangkaian yang digunakan sama dengan jumlah penurunan voltan merentasi elemen siri.

Contoh pendek berikut menunjukkan penggunaan undang-undang voltan Kirchhoff.

Cari voltan merentas perintang R_2, memandangkan sumber voltan, V_S = 100 V dan voltan merintangi perintang R₁adalah V₁ = 40 V.

Gambar di bawah boleh dibuat dengan TINA Pro Versi 6 ke atas, di mana alat melukis boleh didapati di skema editor.

Penyelesaian menggunakan undang-undang voltan Kirchhoff: -V_S + V₁ + V₂= 0, atau V_S = V₁ + V₂

Oleh itu: V₂ = V_S - V₁ = 100-40 = 60V

Perhatikan bahawa biasanya kita tidak mengetahui voltan perintang (kecuali kita mengukurnya), dan kita perlu menggunakan kedua-dua undang-undang Kirchhoff untuk penyelesaiannya.

Undang-undang Kirchhoff semasa (KCL) menyatakan bahawa jumlah algebra dari semua arus yang memasuki dan meninggalkan sebarang nod dalam litar adalah sifar.

Berikut ini, kami memberikan tanda + untuk arus yang meninggalkan nod dan tanda - untuk arus yang memasuki nod.

Inilah contoh asas yang menunjukkan undang-undang Kirchhoff semasa.

Cari semasa saya₂ jika sumber semasa I_S = 12 A, dan saya₁ = 8 A.

Menggunakan undang-undang semasa Kirchhoff pada nod yang dilingkari: -I_S + Saya₁ + Saya₂ = 0, oleh itu: I₂= Saya_S - Saya₁ = 12 - 8 = 4 A, kerana anda boleh menyemak menggunakan TINA (rajah seterusnya).

Dalam contoh seterusnya, kita akan menggunakan kedua undang-undang Kirchhoff ditambah undang-undang Ohm untuk mengira arus dan voltan merintangi perintang.

Dalam gambar di bawah, anda akan perhatikan Anak panah voltan di atas perintang. Ini adalah komponen baru yang terdapat dalam Versi TINA 6 dan berfungsi seperti voltmeter. Sekiranya anda menyambungkannya melintasi komponen, anak panah menentukan arah rujukan (untuk dibandingkan dengan voltmeter, bayangkan meletakkan probe merah di hujung anak panah dan probe hitam di hujungnya). Semasa anda menjalankan analisis DC, voltan sebenar pada komponen akan dipaparkan pada anak panah.

Klik / ketuk litar di atas untuk menganalisis on-line atau klik pautan ini ke Simpan di bawah Windows

Untuk mula menggunakan undang-undang Kirchhoff semasa, kita melihat bahawa arus melalui semua komponen adalah sama, jadi mari kita menunjukkan bahawa arus oleh I.

Menurut undang-undang voltan Kirchhoff: V_S = V₁+V₂+V₃

Kini menggunakan undang-undang Ohm: V_S= I * R₁+ I * R₂+ I * R₃

Dan dari sinilah arus litar:

I = V_S/ (R₁+R₂+R₃) = 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A

Akhirnya voltan perintang:

V₁= I * R₁ = 2 * 10 = 20 V; V₂ = I * R₂ = 2 * 20 = 40 V; V₃ = I * R₃ = 2 * 30 = 60 V

Hasil yang sama akan dilihat pada Voltage Arrows dengan hanya menjalankan analisis DC interaktif TINA.

Di litar seterusnya yang lebih kompleks ini, kami juga menggunakan undang-undang Kirchhoff dan undang-undang Ohm, tetapi kami mendapati bahawa kami paling banyak menyelesaikan sistem persamaan linear.

Jumlah aplikasi bebas undang-undang Kirchhoff dalam litar adalah bilangan cabang litar, sementara jumlah yang tidak diketahui (arus dan voltan setiap cawangan) adalah dua kali ganda. Namun, dengan juga menggunakan hukum Ohm pada setiap perintang dan persamaan mudah yang menentukan voltan dan arus yang berlaku, kita mendapat sistem persamaan di mana bilangan yang tidak diketahui adalah sama dengan bilangan persamaan.

Cari arus cabang I1, I2, I3 dalam litar di bawah.

Klik / ketuk litar di atas untuk menganalisis on-line atau klik pautan ini ke Simpan di bawah Windows

Set persamaan berikut:

Persamaan nod untuk nod yang bulat:

- I₁- I₂- Saya₃ = 0

atau mengalikan dengan -1

I₁+ I₂+ Saya₃ = 0

Persamaan gelung (menggunakan arah pusingan jam) untuk gelung L1, mengandungi V₁, R₁ dan R₃

-V₁+I₁*R₁-I₃*R₃ = 0

dan bagi gelung L2, yang mengandungi V₂, R₂ dan R₃

I₃*R₃ - Saya₂*R₂ +V₂ = 0

Menggantikan nilai komponen:

I₁+ Saya₂+ Saya₃ = 0 -8 + 40 * Saya₁ - 40 * Saya₃ = 0 40 * I₃ -20 * I₂ + 16 = 0

Terangkan I₁ menggunakan persamaan nod: I₁ = -I₂ - Saya₃

kemudian masukkannya ke persamaan kedua:

-V₁- (Saya₂ + Saya₃) * R₁ -I₃*R₃ = 0 or -8- (I₂ + Saya₃) * 40 - Saya₃* 40 = 0

Terangkan I₂ dan gantikannya ke persamaan ketiga, dari mana anda sudah dapat mengira I₃:

I₂ = - (V₁ + Saya₃* (R₁+R₃)) / R₁ or I₂ = - (8 + I₃* 80) / 40

I₃*R₃ + R₂* (V₁ + Saya₃* (R₁+R₃)) / R₁ +V₂ = 0 or I₃* 40 + 20 * (8 + I₃* 80) / 40 + 16 = 0

Dan: I₃ = - (V₂ + V₁*R₂/R₁) / (R₃+ (R₁+R₃) * R₂/R₁) or I₃ = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

Oleh itu I₃ = - 0.25 A; I₂ = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 A and I₁ = - (0.3-0.25) = - 0.05 A

atau: I₁ = -50 mA; I₂ = 300 mA; I₃ = -250 mA.

Sekarang mari kita selesaikan persamaan yang sama dengan jurubahasa TINA:

{Penyelesaian oleh Jurubahasa TINA}
Sys I1, I2, I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
akhir;
I1 = [- 50m]
I2 = [300m]
I3 = [- 250m]

#Penyelesaian oleh Python
import numpy sebagai np,sympy sebagai s
#Kami mempunyai sistem linear bagi
#persamaan yang ingin kami selesaikan:
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0

I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
sol = s.solve([
I1+I2+I3,
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
cetakan(sol)

A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])

b= np.array([0,V1,-V2])

x=np.linalg.solve(A,b)
#I1=x[0]
#I2=x[1]
#I3=x[2]
#I1
print(“I1= %.3f”%x[0])
#I2
print(“I2= %.3f”%x[1])
#I3
print(“I3= %.3f”%x[2])

Akhirnya mari kita periksa keputusan menggunakan TINA:

Seterusnya, mari kita analisis litar yang lebih kompleks berikut dan tentukan arus dan voltan cawangannya.

Klik / ketuk litar di atas untuk menganalisis on-line atau klik pautan ini ke Simpan di bawah Windows

Mari kita nyatakan voltan dan arus yang tidak diketahui dengan menambahkan anak panah voltan dan arus ke komponen, dan juga menunjukkan gelung (L1, L2, L3) dan nod (N1, N2) di mana kita akan menggunakan persamaan Kirchhoff.

Klik / ketuk litar di atas untuk menganalisis on-line atau klik pautan ini ke Simpan di bawah Windows

Inilah set Persamaan Kirchhoff untuk gelung (menggunakan arah pusingan jam) dan nod.

-I_L+ Saya_R1- Saya_s= 0(untuk N1)

- Saya_R1+ Saya_R2+ Saya_s3 = 0 (untuk N2)

-V_s1- V_R3+ V_Is+ V_L = 0 (untuk L1)

-V_Is+ V_s2 +V_R2+V_R1 = 0 (untuk L2)

-V_R2- V_s2+ V_s3 = 0 (untuk L3)

Memohon undang-undang Ohm:

V_L= Saya_L*R_L

V_R1=I_R1*R₁

V_R2 = Saya_R2*R₂

V_R3 = - Saya_L*R₃

Ini adalah 9 persamaan yang tidak diketahui dan 9. Kaedah paling mudah untuk menyelesaikannya adalah dengan menggunakan TINA

jurubahasa. Walau bagaimanapun, jika kita ditekan untuk menggunakan pengiraan tangan, kita perhatikan bahawa set persamaan ini dapat dikurangkan dengan mudah ke sistem 5 yang tidak diketahui dengan menggantikan 4 persamaan terakhir menjadi persamaan gelung L1, L2, L3. Juga, dengan menambahkan persamaan (L1) dan (L2), kita boleh menghapuskan V_Is, mengurangkan masalah kepada sistem persamaan 4 untuk 4 tidak diketahui (I_L,I_R1 I_R2,I_s3). Apabila kita telah menemui arus ini, kita dapat dengan mudah menentukan V_L, V_R1, V_R2, dan V_R3 menggunakan empat persamaan terakhir (hukum Ohm).

Mengganti V_L,V_R1,V_R2 ,V_R3 :

-I_L+ Saya_R1- Saya_s= 0(untuk N1)

- Saya_R1+ Saya_R2+ Saya_s3 = 0 (untuk N2)

-V_s1+ Saya_L*R₃+ V_Is+ Saya_L*R_L = 0 (untuk L1)

-V_Is+ V_s2 + Saya_R2*R₂+ Saya_R1*R₁ = 0 (Untuk L2)

- Saya_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (untuk L3)

Menambah (L1) dan (L2) kita dapat

-I_L+ Saya_R1- Saya_s= 0(untuk N1)

- Saya_R1+ Saya_R2+ Saya_s3 = 0 (untuk N2)

-V_s1+ Saya_L*R₃+ Saya_L*R_L + V_s2 + Saya_R2*R₂+ Saya_R1*R₁ = 0 (L1) + (L2)

- Saya_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (untuk L3)

Setelah mengganti nilai komponen, penyelesaian untuk persamaan ini datang dengan mudah.

-I_L+I_R1- 2 = 0 (untuk N1)

-I_R1 + Saya_R2 + Saya_S3 = 0 (untuk N2)

-120 - + Saya_L* 90 + I_L* 20 + 60 + I_R2* 40 + I_R1* 30 = 0 (L₁) + (L₂)

-I_R2* 40 - 60 + 270 = 0 (untuk L₃)

dari L₃ I_R2 = 210 / 40 = 5.25 A (I)

dari N₂ I_S3 - Saya_R1 = - 5.25 (II)

dari L₁+L₂ 110 I_L + 30 I_R1 = -150 (III)

dan untuk N₁ I_R1 - Saya_L = 2 (IV)

Multiply (IV) by -30 dan tambah kepada (III) 140 I_L = -210 Oleh itu I_L = - 1.5 A

Pengganti saya_L ke dalam (IV) I_R1 = 2 + (-1.5) = 0.5 A

dan saya_R1 ke dalam (II) I_S3 = -5.25 + saya_R1 = -4,75 A

Dan tegasan: V_R1 = Saya_R1*R₁ = 15 V; V_R2 = Saya_R2*R₂ = 210 V;

V_R3 = - Saya_L*R₃= 135 V; V_L = Saya_L*R_L = - 30 V; V_Is = V_S1+V_R3-V_L = 285 V

{Penyelesaian persamaan asal oleh Jurubahasa TINA}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-Is + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-Vs1 + VR3 + Vis-VL = 0
-Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
VL = IL * RL
akhir;
IL = [- 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]
VIs = [285]
VL = [- 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]

#Penyelesaian oleh Python
#Ax=b
import numpy sebagai np,sympy sebagai s
#Penyelesaian simbolik menggunakan numpy.solve
#Persamaan:
#IL=-Is+IR1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-Vis-VL=0
#Vis=VR1+VR2+Vs2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#VL=IL*RL
#Selesaikan untuk:
#IL,IR1,IR2,
#Is3,Vis,VL,
#VR1,VR3,VR2

IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
sol = s.solve([
-Adalah+IR1-IL,
IR2+Is3-IR1,
Vs1+VR3-Vis-VL,
VR1+VR2+Vs2-Vis,
VR2+Vs2-Vs3,
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
cetakan(sol)

#Kaedah lain untuk menyelesaikan menggunakan numpy.linalg
A=np.array(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1],
[0,R1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,R2,0,0,0,0,0,-1],
[-R3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[RL,0,0,0,0,-1,0,0,0]])

b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])

x=np.linalg.solve(A,b)

#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] Vis=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
print(“IL= %.3f”%x[0])
print(“IR1= %.3f”%x[1])
print(“IR2= %.3f”%x[2])
print(“Is3= %.3f”%x[3])
print(“Vis= %.3f”%x[4])
print(“VL= %.3f”%x[5])
print(“VR1= %.3f”%x[6])
print(“VR2= %.3f”%x[8])
print(“VR3= %.3f”%x[7])

Penyelesaian set persamaan yang dikurangkan menggunakan jurubahasa:

{Penyelesaian set persamaan yang dikurangkan oleh Jurubahasa TINA}
Sys Il, Ir1, Ir2, Is3
-Il + Ir1-2 = 0
-Ir1 + Ir2 + Is3 = 0
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-40 * Ir2 + 210 = 0
akhir;
Il = [- 1.5]
Ir1 = [500m]
Ir2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]

Kita juga boleh memasukkan ungkapan untuk voltan dan meminta Juru Bahasa TINA menghitungnya:

Il: = - 1.5;
Ir1: = 0.5;
Ir2: = 5.25;
Is3: = - 4.75;
Vl: = Il * RL;
Vr1: = Ir1 * R1
Vr2: = Ir2 * R2;
Vr3: = - Il * R3;
VIs: = Vs1-Vl + Vr3;
Vl = [- 30]
Vr1 = [15]
Vr2 = [210]
Vr3 = [135]
VIs = [285]

Kita dapat memeriksa hasilnya dengan TINA dengan hanya menghidupkan mod interaktif DC TINA atau menggunakan Analisis / Analisis DC / Voltan Nodal

THEOREM SUPERPOSISI

METODE POTENSI NODE