Klikk eller trykk på Eksempel kretsene nedenfor for å påkalle TINACloud og velg Interaktiv DC-modus for å analysere dem på nettet.
Få billig tilgang til TINACloud for å redigere eksemplene eller opprette dine egne kretser

Det komplette settet med Kirchhoffs ligninger kan forenkles betydelig ved hjelp av nodepotensialmetoden beskrevet i dette kapitlet. Ved å bruke denne metoden tilfredsstilles Kirchhoffs spenningslov automatisk, og vi trenger bare å skrive node ligninger for å tilfredsstille Kirchhoffs gjeldende lov også. Å tilfredsstille Kirchhoffs spenningslov oppnås ved å bruke knutepotensialer (også kalt node- eller nodalspenninger) med hensyn til en bestemt nod som kalles referanse node. Med andre ord, alle spenningene i kretsen er i forhold til referansekode, som vanligvis anses å ha 0 potensial. Det er lett å se at med disse spenningsdefinisjonene tilfredsstilles Kirchhoffs spenningslov automatisk, siden det å skrive sløyfeligning med disse potensialene fører til identitet. Merk at for en krets som har N-noder, bør du bare skrive N-1-ligninger. Normalt er node ligningen for referansenoden utelatt.

Summen av alle strømmer i kretsen er null siden hver strøm strømmer inn og ut av en node. Derfor er Nth node-ligningen ikke uavhengig av de forrige N-1-ligningene. Hvis vi inkluderte alle N-ligningene, ville vi ha et uløselig system med ligninger.

Knutepotensialmetoden (også kalt nodalanalyse) er metoden som er best egnet for dataprogrammer. De fleste kretsanalyseprogrammer - inkludert TINA - er basert på denne metoden.

Trinnene i nodalanalysen:

1. Velg en referansenode med 0 knutepotensial og merk hver gjenværende node med V₁, V₂ or j₁, j₂og så videre.

2. Bruk Kirchhoffs gjeldende lovgivning på hver node bortsett fra referansenoden. Bruk Ohms lov for å uttrykke ukjente strømmer fra nodepotensialer og spenningskilde-spenninger når det er nødvendig. For alle ukjente strømmer, antar du samme referanseretning (f.eks. Peker ut av noden) for hver anvendelse av Kirchhoffs gjeldende lov.

3. Løs de resulterende node-ligningene for nodespenningene.

4. Bestem eventuell forespurt strøm eller spenning i kretsen ved hjelp av nodespenningene.

La oss illustrere trinn 2 ved å skrive nodelikningen for node V₁ av følgende kretsfragment:

Finn først strømmen fra node V1 til node V2. Vi vil bruke Ohms lov til R1. Spenningen over R1 er V₁ - V₂ - V_S1

Og nåværende gjennom R1 (og fra node V1 til node V2) er

Merk at denne strømmen har en referanseretning som peker ut fra V₁ node. Ved å bruke konvensjonen for strømmer som peker ut fra en node, bør det tas hensyn til i nodens ligning med et positivt tegn.

Det nåværende uttrykket for grenen mellom V₁ og V₃ vil være lik, men siden V_S2 er i motsatt retning fra V_S1 (som betyr potensialet til noden mellom V_S2 og R₂ er V₃-V_S2), er strømmen

Til slutt på grunn av den angitte referanseretningen_S2 skal ha et positivt tegn og jeg_S1 et negativt tegn i node-ligningen.

Nodekvasjonen:

La oss nå se et komplett eksempel for å demonstrere bruken av nodepotensialmetoden.

Finn spenningen V og strømningene gjennom motstandene i kretsen nedenfor

Numerisk:

Multipliser med 30: 7.5 + 3V - 30 + 1.5 V + 7.5. + V - 40 = 0 5.5 V-55 = 0

Derfor: V = 10 V

La oss nå bestemme strømningene gjennom motstandene. Dette er enkelt, siden de samme strømningene brukes i nodalligningen ovenfor.

Vi kan sjekke resultatet med TINA ved å bare slå på TINAs DC interaktive modus eller bruke Analyse / DC Analyse / Nodale spenninger.

La oss deretter løse problemet som allerede ble brukt som det siste eksemplet på Kirchhoffs lover kapittel

Finn spenninger og strømmer av hvert element i kretsen.

Velge den nedre noden som en referanseknute for 0 potensial, nodalspenningen til N₂ vil være lik V_S3,: j₂ = derfor har vi bare en ukjent nodalspenning. Du husker kanskje at vi tidligere hadde brukt et komplett sett med Kirchhoffs ligninger, selv etter noen forenklinger, et lineært ligningssystem på 4 ukjente.

Skriver node-ligningene for node N₁, la oss betegne nodalspenningen til N₁ by j₁

Den enkle ligningen som skal løses er:

Numerisk:

Multipliser med 330 får vi:

3j₁-360 - 660 + 11j₁ - 2970 = 0 ® j₁= 285 V

Etter beregning j_1, det er enkelt å beregne de andre mengdene i kretsen.

Strømmene:

I_S3 = I_R1 - JEG_R2 = 0.5 - 5.25 = - 4.75 A.

Og spenningene:

V_Is = j₁ = 285 V

V_R1= (j₁ - V_S3) = 285 - 270 = 15 V

V_R2 = (V_S3 - V_S2) = 270 - 60 = 210 V

V_L = - (j₁-V_S1-V_R3) = -285 +120 +135 = - 30 V

Du kan merke deg at med noden potensiell metode trenger du fortsatt litt ekstra beregning for å bestemme strømmen og spenningen til kretsen. Imidlertid er disse beregningene veldig enkle, mye enklere enn å løse lineære ligningssystemer for alle kretsmengder samtidig.

Vi kan sjekke resultatet med TINA ved å bare slå på TINAs DC interaktive modus eller bruke Analyse / DC Analyse / Nodalspenninger.

Klikk / trykk på kretsen ovenfor for å analysere on-line eller klikk denne lenken for å lagre under Windows

La oss se flere eksempler.

Eksempel 1

Finn den nåværende I.

Klikk / trykk på kretsen ovenfor for å analysere on-line eller klikk denne lenken for å lagre under Windows

I denne kretsen er det fire noder, men siden vi har en ideell spenningskilde som bestemmer knutespenningen ved sin positive pol, bør vi velge den negative polen som referansepunktet. Derfor har vi egentlig bare to ukjente nodepotensialer: j₁ og j₂ .

Klikk / trykk på kretsen ovenfor for å analysere on-line eller klikk denne lenken for å lagre under Windows

Likningene for noder av potensialer j₁ og j₂:

Numerisk:

så systemet med lineære ligninger er:

For å løse dette multipliserer du den første ligningen med 3 og den andre med 2, og deretter legger du til de to likningene:

11j₁ = 220

og derfor j₁= 20V, j₂ = (50 + 5j₁) / 6 = 25 V

Til slutt den ukjente strømmen:

Løsningen av et system med lineære ligninger kan også beregnes ved å bruke Cramer's regel.

La oss illustrere bruken av Cramer's regel ved å løse systemet over igjen ..

1. Fyll ut matrisen for koeffisientene til ukjente:

2. Beregn verdien av determinant av D-matrisen.

| D| = 7 * 6 - (-5) * (- 4) = 22

3. Plasser verdiene til høyre side i kolonnen av koeffisientene til den ukjente variabelen, og bereg deretter verdien av determinanten:

4.Divider de nylig funnet determinanter av den opprinnelige determinanten, for å finne følgende forhold:

derav j₁ = 20 V og j₂ = 25 V

For å sjekke resultatet med TINA, bare slå på TINAs DC interaktive modus eller bruk Analyse / DC Analyse / Nodalspenninger. Merk at du bruker Spenningspinne komponent i TINA, kan du direkte vise knutepotensialene under forutsetning av at Ground komponenten er koblet til referansenummeret.

Klikk / trykk på kretsen ovenfor for å analysere on-line eller klikk denne lenken for å lagre under Windows

{Løsning av TINAs tolk}
Sys fi1, fi2
(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
ende;
fi1 = [20]
fi2 = [25]
I: = (fi2-VS1) / R1;
I = [500m]

#Løsning av Python!
import numpy som n
#Vi har et system med
#llineære ligninger det
#vi ønsker å løse for fi1, fi2:
#(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
#(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
#Skriv opp matrisen av koeffisientene:
A=n.array([[1/R2+1/R3+1/R4,-1/R2],[-1/R2,1/R2+1/R1]])
#Skriv opp matrisen av konstantene:
b=n.array([[VS1/R3],[VS1/R1+Is]])
x=n.linalg.solve(A,b)
fi1,fi2=x[0],x[1]
print(“fi1= %.3f”%fi1)
print(“fi2= %.3f”%fi2)
I=(fi2-VS1)/R1
print(“I= %.3f”%I)

Eksempel 2.

Finn spenningen til motstanden R₄.

R₁ = R₃ = 100 ohm, R₂ = R₄ = 50 ohm, R₅ = 20 ohm, R₆ = 40 ohm, R₇ = 75 ohm

Klikk / trykk på kretsen ovenfor for å analysere on-line eller klikk denne lenken for å lagre under Windows

I dette tilfellet er det praktisk å velge den negative polen til spenningskilden V_S2 som referanseknute fordi den positive polen til V_S2 spenningskilden vil ha V_S2 = 150 knutepotensial. På grunn av dette valget er imidlertid den nødvendige V-spenningen motsatt noden N-spenningen_4; derfor V₄ = - V.

Ligningene:

Vi presenterer ikke håndberegningene her, siden likningene lett kan løses av TINAs tolk.

{Løsning av TINAs tolk}
{Bruk nodens potensielle metode!}
Sys V, V1, V2, V3
V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
ende;
V1 = [116.6667]
V2 = [- 91.8182]
V3 = [19.697]
V = [34.8485]

#Løsning av Python!
import numpy som n
#Bruk nodepotensialmetoden!
#Vi har et system med lineære ligninger som vi ønsker å løse
#for V,V1,V2,V3:
#V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
#(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
#(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
#(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
#Skriv opp matrisen av koeffisientene:
A= n.array([[0,1/R2+1/R1,0,0],[1/R6,0,1/R6+1/R5,(-1)/R5],[1/R7,0,(-1)/R5,1/R7+1/R5+1/R3],[(-1)/R6-1/R4-1/R7,0,-1/R6,-1/R7]])
#Skriv opp matrisen av konstantene:
b=n.array([(Vs2/R1)+Is,-(Vs1/R5)-Is,(Vs2/R3)+(Vs1/R5),0])

x= n.linalg.solve(A,b)
V=x[0]
print(“V= %.4f”%V)

For å sjekke resultatet med, TINA bare slå på TINAs DC interaktive modus eller bruk Analyse / DC Analyse / Nodalspenninger. Legg merke til at vi må plassere noen få spenningspinner på nodene for å vise knutespenningen.

Klikk / trykk på kretsen ovenfor for å analysere on-line eller klikk denne lenken for å lagre under Windows

---