キルヒホフの法律

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超定理定理

ノード電位法

多くの回路は複雑すぎて、直列または並列回路のルールや、前の章で説明したより単純な回路に変換する手法を使用して解決することができません。これらの回路には、より一般的な解法が必要です。最も一般的な方法は、キルヒホッフの法則によって与えられます。これにより、線形方程式のシステムの解によって回路のすべての回路電圧と電流を計算できます。

二つありますキルヒホッフの法則、電圧の法則と電流法律。これらのXNUMXつの法則は、回路のすべての電圧と電流を決定するために使用できます。

キルヒホッフの電圧法則（KVL）は、電圧上昇とループ周辺の電圧降下の代数的和はゼロでなければならないことを述べています。

上記の定義のループは、回路内の閉じたパスを意味します。つまり、ノードを一方向に離れ、別の方向から同じノードに戻るパスです。

この例では、ループに時計回りの方向を使用します。ただし、反時計回りを使用しても同じ結果が得られます。

エラーなしでKVLを適用するには、いわゆる参照方向を定義する必要があります。未知の電圧の参照方向は、想定される電圧の+記号から-記号までを指します。電圧計を使用して想像してみてください。電圧計の正のプローブ（通常は赤）をコンポーネントのリファレンス+端子に配置します。実際の電圧が正の場合、それは私たちが想定したのと同じ方向にあり、私たちのソリューションと電圧計の両方が正の値を示します。

電圧の代数和を導出するとき、基準方向がループの方向と一致する電圧にプラス記号を割り当て、逆の場合は負の記号を割り当てる必要があります。

キルヒホッフの電圧の法則を述べるもうXNUMXつの方法は、直列回路の印加電圧が、直列要素全体の電圧降下の合計に等しいことです。

次の短い例は、キルヒホッフの電圧則の使用を示しています。

抵抗器Rの両端の電圧を求める_2, 電源電圧Vが_S = 100 Vで、抵抗Rの両端の電圧₁Vです₁ = 40 V.

以下の図は、TINA Proバージョン6以降で作成でき、回路図エディターで描画ツールを使用できます。

キルヒホッフの電圧法則を使用したソリューション： -V_S + V₁ + V₂= 0、またはV_S = V₁ + V₂

したがって： V₂ = V_S - V₁ = 100-40 = 60V

通常、抵抗器の電圧は（測定しない限り）わからないため、ソリューションには両方のキルヒホッフの法則を使用する必要があります。

キルヒホフの現在の法則（KCL）は、回路内のノードに出入りするすべての電流の代数的合計はゼロであると述べています。

以下では、ノードを出る電流に+記号を付け、ノードに入る電流に–記号を付けます。

以下は、キルヒホフの現在の法則を示す基本的な例です。

現在のIを探す₂ ソース電流が I_S = 12 A、そして私₁ = 8 A.

丸で囲まれたノードでKirchhoffの現在の法則を使う： -I_S + I₁ + I₂ = 0、したがって、 I₂= I_S - 私₁ = 12 - 8 = 4 A、 TINAを使って確認できるので（次の図）。

次の例では、キルヒホッフの法則とオームの法則の両方を使用して、抵抗の両端の電流と電圧を計算します。

下の図では、 電圧矢印 上記の抵抗器。これはで利用可能な新しいコンポーネントです。 TINAのバージョン6で、電圧計のように機能します。コンポーネント間で接続する場合、矢印は基準方向を決定します（電圧計と比較するには、矢印の尾に赤いプローブを、先端に黒いプローブを配置することを想像してください）。 DC分析を実行すると、コンポーネントの実際の電圧が矢印に表示されます。

オンラインで分析するには上の回路をクリック/タップするか、Windowsで保存するにはこのリンクをクリックしてください。

キルヒホフの現在の法則を使い始めるために、すべてのコンポーネントを通る電流が同じであることがわかります。そのため、電流をIで示します。

キルヒホフの電圧法則によれば、 V_S = V₁+V₂+V₃

現在、オームの法則を使用しています。 V_S= I * R₁+ I * R₂+ I * R₃

そしてここから回路の電流：

I = V_S/（R₁+R₂+R₃）= 120 /（10 + 20 + 30）= 2 A

最後に、抵抗器の電圧：

V₁= I * R₁ = 2 * 10 = 20 V; V₂ = I * R₂ = 2 * 20 = 40 V; V₃ = I * R₃ = 2 * 30 = 60 V

TINAのインタラクティブDC分析を実行するだけで、Voltage Arrowsでも同じ結果が得られます。

この次のより複雑な回路では、キルヒホッフの法則とオームの法則の両方を使用しますが、線形方程式系を最もよく解くことがわかります。

回路におけるキルヒホッフの法則の独立した適用の総数は回路の分岐の数ですが、未知数（各分岐の電流と電圧）の総数はそのXNUMX倍です。ただし、各抵抗器でオームの法則を使用し、印加される電圧と電流を定義する単純な方程式では、未知数の数が方程式の数と同じである方程式系が得られます。

分岐電流I1、I2、I3を見つける下の回路で。

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一連の方程式は次のとおりです。

丸で囲まれた節点の節点方程式：

– I₁– I₂- 私₃ = 0

または-1を掛ける

I₁+ I₂+ I₃ = 0

Vを含むループL1のループ式（時計回りの方向を使用）₁、R₁ とR₃

-V₁+I₁*R₁-I₃*R₃ = 0

そして、ループL2のために、Vを含みます₂、R₂ とR₃

I₃*R₃ - 私₂*R₂ +V₂ = 0

コンポーネント値を代入します。

I₁+ I₂+ I₃ = 0 -8 + 40 * I₁ - 40 * I₃ = 0 40 * I₃ -20 * I₂ + 16 = 0

エクスプレス私₁ 節点方程式を使う：₁ = -I₂ - 私₃

それを2番目の方程式に代入します。

-V₁- （私₂ + I₃）* R₁ -私₃*R₃ = 0 or -8-（I₂ + I₃）* 40 - 私₃* 40 = 0

エクスプレス私₂ それをXNUMX番目の方程式に代入します。これから、Iを計算できます。₃:

I₂ = –（v₁ + I₃*（R₁+R₃））/ R₁ or I₂ = - （8 + I₃* 80）/ 40

I₃*R₃ + R₂*（V₁ + I₃*（R₁+R₃））/ R₁ +V₂ = 0 or I₃* 40 + 20 *（8 + I₃* 80）/ 40 + 16 = 0

と： I₃ = –（v₂ + V₁*R₂/R₁）/（R₃+（R₁+R₃）* R₂/R₁) or I₃ = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

故に I₃ = – 0.25 A; I₂ = - （8-0.25 * 80）/ 40 = 0.3 A & I₁ = –（0.3-0.25）= – 0.05 A

または： I₁ = -50 mA; I₂ = 300 mA; I₃ = -250 mA。

次に、TINAのインタープリターを使用して同じ方程式を解いてみましょう。

{TINAの通訳による解決策}
システムI1、I2、I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
終わり
I1 = [ - 50m]
I2 = [300m]
I3 = [ - 250m]

#Pythonによる解決策
numpyをnpとしてインポートし、sympyをsとしてインポートします
#私たちは次の線形システムを持っています
#私たちが解きたい方程式:
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0

I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
sol = s.solve([
I1+I2+I3、
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
プリント(ソル)

A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])

b= np.array([0,V1,-V2])

x=np.linalg.solve(A,b)
#I1=x[0]
#I2=x[1]
#I3=x[2]
#I1
print(“I1= %.3f”%x[0])
#I2
print(“I2= %.3f”%x[1])
#I3
print(“I3= %.3f”%x[2])

最後に確認しましょう TINAを使った結果：

次に、以下のさらに複雑な回路を分析して、分岐電流と分岐電圧を決定します。

オンラインで分析するには上の回路をクリック/タップするか、Windowsで保存するにはこのリンクをクリックしてください。

コンポーネントに電圧と電流の矢印を追加して、未知の電圧と電流を示し、キルヒホッフの方程式を使用するループ（L1、L2、L3）とノード（N1、N2）も示します。

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これがのセットですループ（時計回りの方向を使用）とノードのキルヒホッフ方程式。

-I_L+ I_R1- 私_s= 0（N1用）

- 私_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 （N2用）

-V_s1 - V_R3+ V_Is+ V_L = 0 （L1用）

-V_Is+ V_s2 +V_R2+V_R1 = 0 （L2用）

-V_R2 - V_s2+ V_s3 = 0 （L3用）

オームの法則を適用する：

V_L= I_L*R_L

V_R1=I_R1*R₁

V_R2 = I_R2*R₂

V_R3 = –私_L*R₃

これは、9つの未知数と9つの方程式です。これを解決する最も簡単な方法は、TINAを使用することです

通訳。ただし、手動計算を使用する必要がある場合、この一連の方程式は、L5、L4、L1ループ方程式に最後の2つの方程式を代入することで、3つの未知数のシステムに簡単に縮小できることに注意してください。また、方程式（L1）と（L2）、Vを削除できます_Is4未知数に対する4方程式系への問題の軽減_L,I_R1 I_R2、I_s3）。これらの電流が見つかったら、Vを簡単に決定できます。_L、 V_R1、V_R2、とV_R3 最後の4つの方程式を使用する（オームの法則）。

Vを置き換える_L,V_R1、V_R2 ,V_R3 :

-I_L+ I_R1- 私_s= 0（N1用）

- 私_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 （N2用）

-V_s1+ I_L*R₃+ V_Is+ I_L*R_L = 0 （L1用）

-V_Is+ V_s2 + I_R2*R₂+ I_R1*R₁ = 0 （ために L2）

- 私_R2*R₂ - V_s2+ V_s3 = 0 （L3用）

（L1）と（L2）を加えて

-I_L+ I_R1- 私_s= 0（N1用）

- 私_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 （N2用）

-V_s1+ I_L*R₃+ I_L*R_L + V_s2 + I_R2*R₂+ I_R1*R₁ = 0 （L1）+（L2）

- 私_R2*R₂ - V_s2+ V_s3 = 0 （L3用）

コンポーネントの値を代入すると、これらの方程式の解は簡単になります。

-I_L+I_R1- 2 = 0 （N1用）

-I_R1 + I_R2 + I_S3 = 0 （N2用）

-120 – + 私_L* 90 + I_L* 20 + 60 + I_R2* 40 + I_R1* 30 = 0（L₁）+（L₂)

-I_R2* 40 - 60 + 270 = 0 （L用₃)

Lから₃ I_R2 = 210 / 40 = 5.25 A （I）

Nから₂ I_S3 - 私_R1 = -5.25 （Ⅱ）

Lから₁+L₂ 110 I_L + 30 I_R1 = -150 （III）

そしてN₁ I_R1 - 私_L = 2 （IV）

（IV）に-30を掛けて（III）に加える 140 I_L = -210 それゆえ I_L = – 1.5A

代用品I_L （IV）に I_R1 = 2 +（-1.5）= 0.5 A

そして私_R1 に（Ⅱ） I_S3 = -5.25 + I_R1 = -4,75 A

そして電圧： V_R1 = I_R1*R₁ = 15 V; V_R2 = I_R2*R₂ = 210 V;

V_R3 = –私_L*R₃= 135 V; V_L = I_L*R_L = – 30 V; V_Is = V_S1+V_R3-V_L = 285 V

{TINAの通訳者による元の方程式の解法}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-Is + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-Vs1 + VR3 + Vis-VL = 0
-Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
VL = IL * RL
終わり
IL = [ - 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [ - 4.75]
VI = [285]
VL = [ - 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]

#Pythonによる解決策
#Ax=b
numpyをnpとしてインポートし、sympyをsとしてインポートします
#numpy.solve を使用したシンボリックな解決策
#方程式:
#IL=-Is+IR1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-Vis-VL=0
#Vis=VR1+VR2+Vs2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#VL=IL*RL
＃解決する：
#IL、IR1、IR2、
#Is3、Vis、VL、
#VR1,VR3,VR2

IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
sol = s.solve([
-Is+IR1-IL、
IR2+Is3-IR1、
Vs1+VR3-Vis-VL、
VR1+VR2+Vs2-Vis、
VR2+Vs2-Vs3、
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
プリント(ソル)

#numpy.linalg を使用して解決する別の方法
A=np.array(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1]
[0,R1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,R2,0,0,0,0,0,-1],
[-R3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[RL,0,0,0,0,-1,0,0,0]])

b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])

x=np.linalg.solve(A,b)

#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] Vis=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
print(“IL= %.3f”%x[0])
print(“IR1= %.3f”%x[1])
print(“IR2= %.3f”%x[2])
print(“Is3= %.3f”%x[3])
print(“Vis= %.3f”%x[4])
print(“VL= %.3f”%x[5])
print(“VR1= %.3f”%x[6])
print(“VR2= %.3f”%x[8])
print(“VR3= %.3f”%x[7])

インタプリタを使用して削減された方程式のセットの解法：

{TINAの通訳者による簡略化された方程式のセットの解決}
Sys II、Ir1、Ir2、Is3
-Il + Ir1-2 = 0
-Ir1 + Ir2 + Is3 = 0
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-40 * Ir2 + 210 = 0
終わり
Il = [ - 1.5]
Ir1 = [500m]
Ir2 = [5.25]
Is3 = [ - 4.75]

電圧の式を入力して、TINAのインタープリターに計算させることもできます。

Il：= - 1.5;
Ir1：= 0.5;
Ir2：= 5.25;
Is3：= - 4.75;
Ｖ１：＝Ｉ１＊ＲＬ。
Vr1：= Ir1 * R1
ＶｒＸＮＵＭＸ：＝ＩｒＸＮＵＭＸ＊ＲＸＮＵＭＸ。
Vr3：= - Il * R3;
ＶＩｓ：＝ＶｓＸＮＵＭＸ − Ｖｌ＋ＶｒＸＮＵＭＸ。
V1 = [ - 30]
Vr1 = [15]
Vr2 = [210]
Vr3 = [135]
VI = [285]

TINAの結果をチェックするには、TINAのDCインタラクティブモードをオンにするか、分析/ DC分析/節点電圧を使用します。

超定理定理

ノード電位法