PRINCIPIS DE CORRENT ACTUALITZAT

Feu clic o Toqueu els circuits d'exemple a continuació per invocar TINACloud i seleccioneu el mode DC interactiu per analitzar-los en línia.
Obtingueu un accés de baix cost a TINACloud per editar els exemples o crear els vostres propis circuits

NÚMEROS COMPLEXOS

COMPONENTS PASSIUS EN CIRCUITS AC

Una tensió sinusoïdal pot ser descrita per l’equació:

v (t) = V_M sin (ωt + Φ) o v (t) = V_M cos (ωt + Φ)

where	v (t)	Valor instantani de la tensió, en volts (V).
	V_M	Valor màxim o màxim de la tensió, en volts (V)
	T	Període: el temps que es pren per un cicle, en segons
	f	Freqüència: el nombre de períodes en segon 1, en Hz (Hertz) o 1 / s. f = 1 / T
	ω	Freqüència angular, expressada en radians / s ω = 2 * π * f o ω = 2 * π / T.
	Φ	Fase inicial donada en radiants o graus. Aquesta quantitat determina el valor de l'ona del si o del cosinus att = 0.
		Nota: l'amplitud d'una tensió sinusoïdal s'expressa de vegades com V_Eff, el valor efectiu o RMS. Això està relacionat amb V_M segons la relació V_M= 2V_Eff,o aproximadament V_Eff= 0.707 V_M

Aquí teniu alguns exemples per il·lustrar els termes anteriors.

Les propietats de la tensió CA 220 V a les presa de corrent elèctrica a Europa:

Valor efectiu: V_Eff= 220 V
Valor màxim: V_M= √2 * 220 V = 311 V

Freqüència: f = 50 1 / s = 50 Hz
Freqüència angular: ω = 2 * π * f = 314 1 / s = 314 rad / s
Període: T = 1 / f = 20 ms
Funció de temps: v (t) = 311 sin (314 t)

Vegem la funció d’hora mitjançant l’ordre Analysis / AC Analysis / Time Function de TINA.

Feu clic a / toqueu el circuit anterior per analitzar en línia o feu clic en aquest enllaç per desar a Windows

Podeu comprovar que el període és T = 20m i aquest V_M= 311 V.

Les propietats de la tensió de CA 120 V a la presa de corrent domèstica dels EUA:

Valor efectiu: V_Eff= 120 V
Valor màxim: V_M= 2 120 V = 169.68 V ≈ 170 V
Freqüència: f = 60 1 / s = 60 Hz
Freqüència angular: ω = 2 * π * f = 376.8 rad / s ≈ 377 rad / s
Període: T = 1 / f = 16.7 ms
Funció de temps: v (t) = 170 sin (377 t)

Tingueu en compte que en aquest cas la funció del temps es pot donar com a v (t) = 311 sin (314 t + Φ) o v (t) = 311 cos (314 t + Φ), ja que en el cas de la tensió de sortida nosaltres desconeix la fase inicial.

La fase inicial juga un paper important quan hi ha diverses tensions simultàniament. Un bon exemple pràctic és el sistema trifàsic, on hi ha tres tensions del mateix valor, forma i freqüència màxima, cadascuna de les quals té un canvi de fase 120 ° en relació amb els altres. En una xarxa 60 Hz, les funcions horàries són:

v_A(t) = 170 sin (377 t)

v_B(t) = 170 sin (377 t - 120 °)

v_C(t) = 170 sin (377 t + 120 °)

La figura següent feta amb TINA mostra el circuit amb aquestes funcions de temps com a generadors de tensió de TINA.

Feu clic a / toqueu el circuit anterior per analitzar en línia o feu clic en aquest enllaç per desar a Windows

La diferència de tensió v_AB= v_A(t) - v_B(t) es mostra resolt mitjançant l'ordre Analysis / AC Analysis / Time Function de TINA.

Tingueu en compte que el pic de v_AB (t) és aproximadament 294 V, més gran que el VN de 170 V_A(t) o v_B(t) tensions, però no només la suma de les seves tensions màximes. Això es deu a la diferència de fase. Anem a discutir com calcular la tensió resultant (que és Ö* 3 170 @ 294 en aquest cas) més endavant en aquest capítol i també en el separat Sistemes trifàsics capítol.

Valors característics de senyals sinusoïdals

Tot i que un senyal de CA varia constantment durant el seu període, és fàcil definir uns quants valors característics per comparar una ona amb una altra: aquests són els valors màxim, mig i arrel (quadrat).

Ja hem complert el valor màxim V_M , que és simplement el valor màxim de la funció del temps, l’amplitud de l’ona sinusoïdal.

De vegades s'utilitza el valor de pic a pic (pp). Per a tensions i corrents sinusoïdals, el valor de pic a pic és el doble del valor màxim.

El valor mitjà de l’ona sinusoïdal és la mitjana aritmètica dels valors del semicicli positiu. També es diu mitjana absoluta ja que és el mateix que la mitjana del valor absolut de la forma d'ona. A la pràctica, ens trobem amb aquesta forma d’ona rectificació l'ona sinusoïdal amb un circuit anomenat rectificador d'ona completa.

Es pot demostrar que la mitjana absoluta d’una ona sinusoïdal és:

V_AV= 2 / π V_M ≅ 0.637 V_M

Tingueu en compte que la mitjana d’un cicle sencer és zero.
El valor efectiu o efecte d’una tensió o corrent sinusoïdal correspon al valor DC equivalent que produeix la mateixa potència de calefacció. Per exemple, una tensió amb un valor efectiu de 120 V produeix la mateixa potència de calefacció i il·luminació en una bombeta, de la mateixa manera que 120 V de la font de corrent continu. Es pot demostrar que el valor efectiu o efecte d’una ona sinusoïdal és:

V_rms = V_M/ √2 ≅ 0.707 V_M

Aquests valors es poden calcular de la mateixa manera tant per a tensions com per a corrents.

El valor rms és molt important a la pràctica. Llevat que s'indiqui el contrari, les tensions de corrent altern (per exemple, 110V o 220V) es donen en valors rms. La majoria dels mesuradors d’AC es calibren en rms i indiquen el nivell de rms.

Exemple 1 Cerqueu el valor màxim de la tensió sinusoïdal en una xarxa elèctrica amb el valor 220 V rms.

V_M = 220 / 0.707 = 311.17 V

Exemple 2 Cerqueu el valor màxim de la tensió sinusoïdal en una xarxa elèctrica amb el valor 110 V rms.

V_M = 110 / 0.707 = 155.58 V

Exemple 3 Cerqueu la mitjana (absoluta) de la tensió sinusoïdal si el seu valor rms és 220 V.

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 311.17 = 198.26 V

Exemple 4 Cerqueu la mitjana absoluta de la tensió sinusoïdal si el seu valor rms és 110 V.

El màxim de la tensió de l’exemple 2 is155.58 V i per tant:

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 155.58 = 99.13 V

Exemple 5 Trobeu la relació entre la mitjana absoluta (V.)_a) i valors rms (V) per a la forma d'ona sinusoïdal.

V / V_a = 0.707 / 0.637 = 1.11

Tingueu en compte que no podeu afegir valors mitjans en un circuit de CA, ja que provoca resultats impropis.

FASORS

Com ja hem vist a la secció anterior, sovint és necessari en els circuits de corrent altern, afegir tensions i corrents sinusoïdals de la mateixa freqüència. Tot i que és possible afegir els senyals numèricament mitjançant TINA, o mitjançant la utilització de relacions trigonomètriques, és més convenient utilitzar l’anomenat fasor mètode. Un fasor és un nombre complex que representa l'amplitud i la fase d'un senyal sinusoïdal. És important assenyalar que el fasor no representa la freqüència, que ha de ser la mateixa per a tots els fasors.

Un fasor pot ser manejat com un nombre complex o representat gràficament com una fletxa plana en el pla complex. La representació gràfica s'anomena diagrama fasor. Mitjançant diagrames de fasors, podeu afegir o restar fasors en un pla complex pel triangle o paral·lelogram.

Hi ha dues formes de nombres complexos: rectangular i polar.

La representació rectangular està en forma + jb, on j = Ö-1 és la unitat imaginària.

La representació polar es troba en la forma Ae^j ^j , on A és el valor absolut (amplitud) i f és l'angle del fasor des de l'eix real positiu, en sentit antihorari.

Usarem lletres per a quantitats complexes.

Ara veurem com es pot derivar el corresponent fasor d’una funció d’hora.

Primer, suposeu que totes les tensions del circuit s'expressen en forma de funcions cosinus. (Totes les tensions es poden convertir en aquesta forma) fasor corresponent a la tensió de v (t) = V_M cos ( w t+f) és: V_M= V_Me ^jf, que també s'anomena el valor màxim complex.

Per exemple, considereu la tensió: v (t) = cos 10 ( w t + 30°)

El fasor corresponent és: V

Podem calcular la funció del temps d’un fasor de la mateixa manera. Primer escrivim el fasor en forma polar, per exemple V_M= V_Me ^j^ri llavors la funció de temps corresponent és

v (t) = V_M (cos (wt+r).

Per exemple, considereu el fasor V_M= 10 - j20 V

Portant-ho a forma polar:

I, per tant, la funció de temps és: v (t) = 22.36 cos (wt - 63.5^°) V

Els fasors s’utilitzen sovint per definir el valor efectiu complex o el valor dels voltatges i corrents en els circuits AC. Donat v (t) = V_Mcos (wt+r) = 10cos (wt + 30°)

Numèricament:

v (t) = 10 * cos (wt-30°)

El valor efectiu complex (rms): V = 0.707 * 10 * e^{- j30}^°= 7.07 e^{- j30}^° = 6.13 - j 3.535

Viceversa: si el valor efectiu complex d’una tensió és:

V = - 10 + j 20 = 22.36 e^{j 116.5}^°

llavors el valor de pic complex:

i la funció del temps: v (t) = cos 31.63 ( wt + 116.5° ) V

Una curta justificació de les tècniques anteriors és la següent. Una funció de temps
V_M (cos ( w t+r), definim el funció de temps complexa com:

v (t) = V_M e^j^r e ^j^wt = V_Me ^j^wt = V_M (cos (r) + j pecat (r)) e ^j^wt

where V_M =V_M e^j ^r ^t = V_M (cos (r) + j pecat (r)) és només el fasor presentat anteriorment.

Per exemple, la funció de temps complexa de v (t) = cos 10 (wt + 30°)

v (t) = V_Me ^j^wt = 10 e^j30 e ^j^wt = 10e ^j^wt (cos (30) + j sin (30)) = e ^j^wt (8.66 +j5)

Mitjançant la introducció de la funció de temps complexa, tenim una representació tant amb una part real com amb una part imaginària. Sempre podem recuperar la funció real del temps prenent la part real del nostre resultat: v (t) = Re {v(t)}

Tanmateix, la funció de temps complex té el gran avantatge que, atès que totes les funcions de temps complexes en els circuits AC considerats tenen el mateix e^j^w^tmultiplicador, podem diferenciar-lo i treballar amb els fasors. A més, a la pràctica no fem servir l'e^j^w^tpart del tot: només les transformacions de les funcions del temps als fasors i enrere.

Per demostrar l’avantatge d’utilitzar fasors, vegem el següent exemple.

Exemple 6 Cerqueu la suma i la diferència de les tensions:

v₁ = Cos 100 (314 * t) i v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Primer escriviu els fasors d’ambdues tensions:

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

Per tant:

V_afegir = V_1M + V_2M = 135.35 - j 35.35 = 139.89 e^{- j 14.63}^°

V_sub = V_1M - V_2M = 64.65 + j35.35 = 73.68 i ^{j 28.67}^°

i després les funcions del temps:

v_afegir(t) = 139.89 * cos (wt - 14.63°)

v_sub(t) = 73.68 * coswt + 28.67°)

Com mostra aquest exemple senzill, el mètode de phasors és una eina extremadament poderosa per resoldre problemes d’AC.

Resolem el problema utilitzant les eines de l’intèrpret de TINA.

{Solució de l'intèrpret de TINA}
{càlcul de v1 + v2}
v1: = 100
v2: = 50 * exp (-pi / 4 * j)
v2 = [35.3553-35.3553 * j]
v1add: = v1 + v2
v1add = [135.3553-35.3553 * j]
abs (v1add) = [139.8966]
radtodeg (arc (v1add)) = [- 14.6388]

{càlcul de v1-v2}
v1sub: = v1-v2
v1sub = [64.6447 + 35.3553 * j]
abs (v1sub) = [73.6813]
radtodeg (arc (v1sub)) = [28.6751]

#Solució de Python!
#càlcul de v1+v2
importar matemàtiques com m
importar cmath com a c
v1=100
v2=50*c.exp(complex(0,-c.pi/4))
imprimir ("v2=",v2)
vadd=v1+v2
imprimir ("vadd=",vadd)
print("abs(vadd)="", abs(vadd))
imprimir ("graus (arc (vadd)) =", m.graus (fase c (vadd)))
#càlcul de v1-v2
vsub=v1-v2
imprimir ("vsub="",vsub)
print("abs(vsub)="", abs(vsub))
imprimir ("graus (arc (vsub)) =",m.graus (c.phase (vsub)))

Els resultats de l'amplitud i la fase confirmen els càlculs de mà.

Ara podeu comprovar el resultat mitjançant l’anàlisi de CA de TINA.

Abans de realitzar l’anàlisi, assegurem-nos que la Funció base per CA ia establir a cosinus al Opcions de l'editor quadre de diàleg del menú Visualitza / Opció. Explicarem el paper d’aquest paràmetre a Exemple 8.

Els circuits i els resultats:

Feu clic a / toqueu el circuit anterior per analitzar en línia o feu clic en aquest enllaç per desar a Windows

De nou el resultat és el mateix. Aquí teniu els gràfics de la funció de temps:

Exemple 7 Cerqueu la suma i la diferència de les tensions:

v₁ = 100 sin (314 * t) i v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Aquest exemple presenta una nova pregunta. Fins ara hem requerit que es donin totes les funcions temporals com a funcions cosinus. Què farem amb una funció de temps donada com a sinus? La solució és transformar la funció sinusoïdal en una funció cosinus. Utilitzant la relació trigonomètrica sin (x) = cos (x-p/ 2) = cos (x-90.)°), el nostre exemple es pot reformular de la següent manera:

v₁ = 100 cos (314t - 90°) i v₂ = 50 cos (314 * t - 45°)

Ara els fasors de les tensions són:

V_1M = 100 e ^{- j 90}^°= -100 j V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

Per tant:

V _afegir = V_1M + V_2M = 35.53 - j 135.35

V _sub = V_1M - V_2M = - 35.53 - j 64.47

i després les funcions del temps:

v_afegir(t) = cos 139.8966 (wt-75.36°)

v_sub(t) = cos 73.68 (wt-118.68°)

Resolem el problema utilitzant les eines de l’intèrpret de TINA.

{Solució de l'intèrpret de TINA}
{càlcul de v1 + v2}
v1: = - 100 * j
v2: = 50 * exp (-pi / 4 * j)
v2 = [35.3553 - 35.3553 * j]
v1add: = v1 + v2
v1add = [35.3553-135.3553 * j]
abs (v1add) = [139.8966]
radtodeg (arc (v1add)) = [- 75.3612]

{càlcul de v1-v2}
v1sub: = v1-v2
v1sub = [- 35.3553 - 64.6447 * j]
abs (v1sub) = [73.6813]
radtodeg (arc (v1sub)) = [- 118.6751]

Comproveu el resultat amb l’anàlisi AC de TINA

Feu clic a / toqueu el circuit anterior per analitzar en línia o feu clic en aquest enllaç per desar a Windows

Exemple 8

Cerqueu la suma i la diferència de les tensions:

v₁ = 100 sin (314 * t) i v₂ = 50 sin (314 * t-45°)

Aquest exemple fa aparèixer un problema més. Què passa si es donen totes les tensions com a onades sinusoïdals i també volem veure el resultat com una ona sinusoïdal ?. Per descomptat, podríem convertir ambdues tensions en funcions de cosinus, calcular la resposta i convertir el resultat en una funció sinusoïdal, però això no és necessari. Podem crear fasors a partir de les ones sinusoïdals de la mateixa manera que ho vam fer a partir de les ones del cosinus i després simplement utilitzar la seva amplitud i fases com a amplitud i fase de les ones sinusoïdals en el resultat.

Això, òbviament, donarà el mateix resultat que la transformació de les ones sinusoïdals en ones cosinus. Com es podia veure a l’exemple anterior, això equival a multiplicar per:j i després utilitzant el cos (x) = sin (x-90.)°) relació per transformar-la de nou en una ona sinusoïdal. Això equival a multiplicar per j. En altres paraules, ja que -j × j = 1, podríem utilitzar els fasors derivats directament de les amplituds i fases de les ones sinusoïdals per representar la funció i tornar-hi directament. A més, raonant de la mateixa manera sobre les funcions complexes del temps, podríem considerar les ones sinusoïdals com les parts imaginàries de les funcions complexes del temps i complementar-les amb la funció cosinus per crear la funció de temps completa complexa.

Vegem la solució d’aquest exemple fent servir les funcions sinus com a base dels fasors (sin transformant ( w t) a la unitat real de fasor (1)).

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

Per tant:

V _afegir = V_1M + V_2M = 135.53 - j 35.35

V _sub = V_1M - V_2M = 64.47+ j 35.35

Tingueu en compte que els fasors són exactament els mateixos que a l’exemple 6 però no les funcions temporals:

v₃(t) = 139.9sin (wt - 14.64°)

v₄(t) = 73.68sin (wt + 28.68°)

Com podeu veure, és molt fàcil obtenir el resultat mitjançant funcions sinusoïdals, especialment quan les nostres dades inicials són ones sinusoïdals. Molts llibres de text prefereixen utilitzar l’ona sinusoïdal com a funció base dels fasors. A la pràctica, podeu utilitzar qualsevol dels dos mètodes, però no els confongueu.

Quan creeu els fasors, és molt important que totes les funcions del temps es converteixin primer a sinus o cosinus. Si comenceu des de les funcions sine, les vostres solucions haurien de ser representades amb funcions sinus quan tornin de fasors a funcions temporals. El mateix és cert si comenceu amb funcions cosinus.

Resolem el mateix problema utilitzant el mode interactiu de TINA. Com que volem utilitzar les funcions sinus com a base per crear els fasors, assegureu-vos que el Funció base per CA està establert a seva al Opcions de l'editor quadre de diàleg del menú Visualitza / Opció.