KIRCHHOFFS GESETZE IN AC-SCHALTUNGEN

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THÉVENIN- UND NORTON-GLEICHSTELLUNGSKREISE

Knotenpotential- und Netzstrommethode in Wechselstromkreisen

Wie wir bereits gesehen haben, können Schaltungen mit sinusförmiger Erregung mit gelöst werden komplexe Impedanzen für die Elemente und komplexer Peak or Komplex Effektivwerte für die Ströme und Spannungen. Unter Verwendung der Version der Kirchhoffschen Gesetze mit komplexen Werten können Knoten- und Netzanalysetechniken verwendet werden, um Wechselstromkreise auf ähnliche Weise wie Gleichstromkreise zu lösen. In diesem Kapitel werden wir dies anhand von Beispielen für Kirchhoffs Gesetze zeigen.

Beispiel 1

Finden Sie die Amplitude und den Phasenwinkel des Stroms i_vs(T) if
v_S(t) = V_SM cos 2pft; i (t) = ich_SM cos 2pft; V_SM = 10 V; ich_SM = 1 A; f = 10 kHz;

R = 5 Ohm; L = 0.2 mH; C₁ = 10 mF; C₂ = 5 mF

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Insgesamt haben wir 10 unbekannte Spannungen und Ströme, nämlich: i, i_C1,_R,_L,_C2, v_C1, v_R, v_L, v_C2 und v_IS. (Wenn wir komplexe Spitzen- oder Effektivwerte für die Spannungen und Ströme verwenden, haben wir insgesamt 20 reelle Gleichungen!)

Die Gleichungen:

Schleifen- oder Maschengleichungen: z M₁- V_SM +V_C1M+V_RM = 0

M₂ - V_RM + V_LM = 0

M₃ - V_LM + V_C2M = 0

M₄ - V_C2M + V_IsM = 0

Ohmsche Gesetze V_RM = R *I_RM

V_LM = j*w* L *I_LM

I_C1M = j*w*C₁*V_C1M

I_C2M = j*w*C₂*V_C2M

Knotengleichung für N₁ - I_C1M - I_SM+ I_RM+ I_LM +I_C2M = 0

für Serienelemente I = I_C1M

Wenn Sie das Gleichungssystem lösen, können Sie den unbekannten Strom finden:

i_vs (t) = 1.81 cos (wt + 79.96°) A

Das Lösen eines so großen Systems komplexer Gleichungen ist sehr kompliziert, daher haben wir es nicht im Detail gezeigt. Jede komplexe Gleichung führt zu zwei reellen Gleichungen, daher zeigen wir die Lösung nur anhand der mit dem TINA-Interpreter berechneten Werte.

Die Lösung mit dem TINA Interpreter:

{Lösung durch den TINA-Dolmetscher}
om: = 20000 * pi;
Vs: = 10;
Is: = 1;
SysIc1, Ir, IL, Ic2, Vc1, Vr, VL, Vc2, Vis, Ivs
Vs=Vc1+Vr {M1}
Vr=VL {M2}
Vr=Vc2 {M3}
Vc2=Vis {M4}
Ivs=Ir+IL+Ic2-Is {N1}
{Ohmsche Regeln}
Ic1 = j * om * C1 * Vc1
Vr = R * Ir
VL = j * om * L * IL
Ic2 = j * om * C2 * Vc2
Ivs = Ic1
end;
Ivs = [3.1531E-1 + 1.7812E0 * j]
abs (Ivs) = [1.8089]
fiIvs: = 180 * arc (Ivs) / pi
fiIvs = [79.9613]

#Lösung von Python
sympy als s importieren
cmath als c importieren
cp= lambda Z : „{:.4f}“.format(Z)
om=20000*c.pi
Vs=10
Ist=1
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=s.symbols('Ic1 Ir IL Ic2 Vc1 Vr VL Vc2 Vis Ivs')
A=[s.Eq(Vc1+Vr,Vs),s.Eq(VL,Vr),s.Eq(Vc2,Vr),s.Eq(Vis,Vc2), #M1, M2, M3, M4
s.Gl(Ir+IL+Ic2-Is,Ivs), #N1
s.Eq(1j*om*C1*Vc1,Ic1),s.Eq(R*Ir,Vr),s.Eq(1j*om*L*IL,VL),s.Eq(1j*om*C2*Vc2,Ic2),s.Eq(Ic1,Ivs)] #Ohm’s rules
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs)))[0]]
drucken(Ivs)
print(“abs(Ivs)=",cp(abs(Ivs)))
print(“180*c.phase(Ivs)/c.pi=",cp(180*c.phase(Ivs)/c.pi))

Die Lösung mit TINA:

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Um dieses Problem von Hand zu lösen, arbeiten Sie mit den komplexen Impedanzen. Zum Beispiel R, L und C.₂ sind parallel geschaltet, sodass Sie die Schaltung vereinfachen können, indem Sie ihr paralleles Äquivalent berechnen. || bedeutet das parallele Äquivalent der Impedanzen:

Numerisch:

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Die vereinfachte Schaltung mit der Impedanz:

Die Gleichungen in geordneter Form: I + I_G1 = I_Z

V_S = V_C1 +V_Z

V_Z = Z · I_Z

I = j w C₁· V_C1

Es gibt vier Unbekannte. I; I_Z; V_C1; V_Z - und wir haben vier Gleichungen, so dass eine Lösung möglich ist.

Express I nach dem Ersetzen der anderen Unbekannten aus den Gleichungen:

Numerisch

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Nach dem Ergebnis des Dolmetschers von TINA.

{Lösung mit der Impedanz Z}
om: = 20000 * pi;
Vs: = 10;
Is: = 1;
Z: = Replus (R, Replus (j * om * L, 1 / j / om / C2));
Z = [2.1046E0-2.4685E0 * j]
sys ich
I = j * om * C1 * (Vs-Z * (I + Is))
end;
I = [3.1531E-1 + 1.7812E0 * j]
abs (I) = [1.8089]
180 * Bogen (I) / pi = [79.9613]

#Lösung von Python
sympy als s importieren
cmath als c importieren
Replus= Lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om=20000*c.pi
Vs=10
Ist=1
Z=Replus(R,Replus(1j*om*L,1/1j/om/C2))
print('Z=',cp(Z))
I=s.symbols('I')
A=[s.Eq(1j*om*C1*(Vs-Z*(I+Is)),I),]
I=[complex(Z) für Z in tuple(s.linsolve(A,I))[0]][0]
print(“I=",cp(I))
print(“abs(I)=",cp(abs(I)))
print(“180*c.phase(I)/c.pi=",cp(180*c.phase(I)/c.pi))

Die Zeitfunktion des Stroms ist also:

i (t) = 1.81 cos (wt + 80°) A

Sie können die aktuelle Regel von Kirchhoff anhand von Zeigerdiagrammen überprüfen. Das folgende Bild wurde durch Überprüfen der Knotengleichung in i entwickelt_Z = i + i_G1bilden. Das erste Diagramm zeigt die durch die Parallelogrammregel hinzugefügten Zeiger, das zweite zeigt die Dreiecksregel der Zeigeraddition.

Lassen Sie uns nun KVR mithilfe der Zeigerdiagrammfunktion von TINA demonstrieren. Da die Quellenspannung in der Gleichung negativ ist, haben wir das Voltmeter „rückwärts“ angeschlossen. Das Zeigerdiagramm zeigt die ursprüngliche Form der Kirchhoffschen Spannungsregel.

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Das erste Zeigerdiagramm verwendet die Parallelogrammregel, während das zweite die Dreiecksregel verwendet.

Zur Veranschaulichung von KVR in der Form V._C1 + V_Z - V_S = 0, wir haben das Voltmeter wieder rückwärts an die Spannungsquelle angeschlossen. Sie können sehen, dass das Zeigerdreieck geschlossen ist.

Beachten Sie, dass Sie mit TINA entweder die Sinus- oder die Cosinusfunktion als Basisfunktion verwenden können. Abhängig von der gewählten Funktion können sich die komplexen Amplituden in Zeigerdiagrammen um 90 ° unterscheiden. Sie können die Basisfunktion unter 'Ansicht' 'Optionen' 'Basisfunktion für Wechselstrom' einstellen. In unseren Beispielen haben wir immer die Kosinusfunktion als Basis verwendet.

Beispiel 2

Finden Sie die Spannungen und Ströme aller Komponenten, wenn:

v_S(t) = 10 cos wFernseher, i_S(t) = 5 cos (w t + 30 °) mA;

C₁ = 100 nF, C₂ = 50 nF, R₁ = R₂ = 4 k; L = 0.2 H f = 10 kHz.

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Die Unbekannten seien die komplexen Spitzenwerte der Spannungen und Ströme von "passiven" Elementen sowie der Strom der Spannungsquelle (i_VS) und die Spannung der Stromquelle (v_IS). Insgesamt gibt es zwölf komplexe Unbekannte. Wir haben drei unabhängige Knoten, vier unabhängige Schleifen (markiert als M._I) und fünf passive Elemente, die durch fünf „Ohmsche Gesetze“ charakterisiert werden können - insgesamt gibt es 3 + 4 + 5 = 12 Gleichungen:

Knotengleichungen für N₁ I_VsM = Ich_R1M + I_C2M

für N₂ I_R1M = Ich_LM + I_C1M

für N₃ I_C2M + I_LM + I_C1M +I_sM = Ich_R2M

Schleifengleichungen bilden₁ V_SM = V_C2M + V_R2M

bilden₂ V_SM = V_C1M + V_R1M+ V_R2M

bilden₃ V_LM = V_C1M

bilden₄ V_R2M = V_IsM

Ohmsche Gesetze V_R1M = R₁*I_R1M

V_R2M = R₂*I_R2M

I_C1m = j *w*C₁*V_C1M

I_C2m = j *w*C₂*V_C2M

V_LM = j *w* L * I_LM

Vergessen Sie nicht, dass jede komplexe Gleichung zu zwei reellen Gleichungen führen kann. Kirchhoffs Methode erfordert daher viele Berechnungen. Es ist viel einfacher, die Zeitfunktionen der Spannungen und Ströme unter Verwendung eines Differentialgleichungssystems (hier nicht erörtert) zu lösen. Zuerst zeigen wir die vom TINA Interpreter berechneten Ergebnisse:

{Lösung durch den TINA-Dolmetscher}
f: = 10000;
Vs: = 10;
s: = 0.005 * exp (j * pi / 6);
om: = 2 * pi * f;
sys ir1, ir2, ic1, ic2, iL, vr1, vr2, vc1, vc2, vL, vis, ivs
ivs=ir1+ic2 {1}
ir1=iL+ic1 {2}
ic2+iL+ic1+Is=ir2 {3}
Vs=vc2+vr2 {4}
Vs=vr1+vr2+vc1 {5}
vc1=vL {6}
vr2=vis {7}
vr1=ir1*R1 {8}
vr2=ir2*R2 {9}
ic1=j*om*C1*vc1 {10}
ic2=j*om*C2*vc2 {11}
vL=j*om*L*iL {12}
end;
abs (vr1) = [970.1563m]
abs (vr2) = [10.8726]
abs (ic1) = [245.6503u]
abs (ic2) = [3.0503m]
abs (vc1) = [39.0965m]
abs (vc2) = [970.9437m]
abs (iL) = [3.1112u]
abs (vL) = [39.0965m]
abs (ivs) = [3.0697m]
180 + radtodeg (Bogen (ivs)) = [58.2734]
abs (vis) = [10.8726]
radtodeg (arc (vis)) = [- 2.3393]
radtodeg (arc (vr1)) = [155.1092]
radtodeg (arc (vr2)) = [- 2.3393]
radtodeg (arc (ic1)) = [155.1092]
radtodeg (arc (ic2)) = [- 117.1985]
radtodeg (arc (vc2)) = [152.8015]
radtodeg (arc (vc1)) = [65.1092]
Radtodeg (Bogen (iL)) = [- 24.8908]
Radtodeg (Bogen (vL)) = [65.1092]

#Lösung von Python
sympy als s importieren
Mathe als m importieren
cmath als c importieren
cp= lambda Z : „{:.4f}“.format(Z)
f = 10000
Vs=10
S=0.005*c.exp(1j*c.pi/6)
om=2*c.pi*f
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=s.symbols('ir1 ir2 ic1 ic2 iL vr1 vr2 vc1 vc2 vL vis ivs')
A=[s.Gl(ir1+ic2,ivs), #1
s.Eq(iL+ic1,ir1), #2
s.Eq(ic2+iL+ic1+Is,ir2), #3
s.Eq(vc2+vr2,Vs), #4
s.Eq(vr1+vr2+vc1,Vs), #5
s.Eq(vL,vc1), #6
s.Gl(vis,vr2), #7
s.Eq(ir1*R1,vr1), #8
s.Eq(ir2*R2,vr2), #9
s.Eq(1j*om*C1*vc1,ic1), #10
s.Eq(1j*om*C2*vc2,ic2), #11
s.Eq(1j*om*L*iL,vL)] #12
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs)))[0]]
print(“abs(vr1)=",cp(abs(vr1)))
print(“abs(vr2)=",cp(abs(vr2)))
print(“abs(ic1)=",cp(abs(ic1)))
print(“abs(ic2)=",cp(abs(ic2)))
print(“abs(vc1)=",cp(abs(vc1)))
print(“abs(vc2)=",cp(abs(vc2)))
print(“abs(iL)=",cp(abs(iL)))
print(“abs(vL)=",cp(abs(vL)))
print(“abs(ivs)=",cp(abs(ivs)))
print(“180+Grad(Phase(ivs))=”,cp(180+m.Grad(c.Phase(ivs))))
print(“abs(vis)=",cp(abs(vis)))
print(“degrees(phase(vis))=”,cp(m.degrees(c.phase(vis))))
print(“degrees(phase(vr1))=”,cp(m.degrees(c.phase(vr1))))
print(“degrees(phase(vr2))=”,cp(m.degrees(c.phase(vr2))))
print(“degrees(phase(ic1))=”,cp(m.degrees(c.phase(ic1))))
print(“degrees(phase(ic2))=”,cp(m.degrees(c.phase(ic2))))
print(“degrees(phase(vc2))=”,cp(m.degrees(c.phase(vc2))))
print(“degrees(phase(vc1))=”,cp(m.degrees(c.phase(vc1))))
print(“degrees(phase(iL))=”,cp(m.degrees(c.phase(iL))))
print(“degrees(phase(vL))=”,cp(m.degrees(c.phase(vL))))

Versuchen Sie nun, die Gleichungen von Hand durch Substitution zu vereinfachen. Erster Ersatz Gl. 9. in Gleichung 5.

V_S = V_C2 + R₂ I_R2ein.)

dann Äq.8 und Äq.9. in eq 5.

V_S = V_C1 + R₂ I_R2 + R₁ I_R1 b.)

dann Gl. 12., Gl. 10. und ich_Laus Gl. 2 in Äq.6.

V_C1 = V_L = jwLI_L = jwL (I_R1 - Ich_C1) = jwLI_R1 - jwL jwC₁ V_C1