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Wenn wir von unserer Untersuchung von Gleichstromkreisen zu Wechselstromkreisen übergehen, müssen wir zwei andere Arten von passiven Komponenten berücksichtigen, die sich sehr unterschiedlich von Widerständen verhalten, nämlich Induktivitäten und Kondensatoren. Widerstände zeichnen sich nur durch ihren Widerstand und durch das Ohmsche Gesetz aus. Induktivitäten und Kondensatoren ändern die Phase ihres Stroms relativ zu ihrer Spannung und haben frequenzabhängige Impedanzen. Dies macht Wechselstromkreise viel interessanter und leistungsfähiger. In diesem Kapitel sehen Sie, wie die Verwendung von Zeiger ermöglicht es uns, alle passiven Komponenten (Widerstand, Induktivität und Kondensator) in Wechselstromkreisen anhand ihrer zu charakterisieren Impedanz und dem Verallgemeinert Ohm'sches Gesetz.
Widerstand
Wenn ein Widerstand in einem Wechselstromkreis verwendet wird, sind die Variationen des Stroms durch und der Spannung über dem Widerstand in Phase. Mit anderen Worten, ihre sinusförmigen Spannungen und Ströme haben die gleiche Phase. Diese gleichphasige Beziehung kann unter Verwendung des verallgemeinerten Ohmschen Gesetzes für die Zeiger der Spannung und des Stroms analysiert werden:
VM = R *IM or V = R *I
Offensichtlich können wir das Ohmsche Gesetz einfach für die Spitzen- oder Effektivwerte (die absoluten Werte der komplexen Zeiger) verwenden -
VM = R * IM or V = R * I
Diese Form enthält jedoch nicht die Phaseninformationen, die in Wechselstromkreisen eine so wichtige Rolle spielen.
Induktor
Ein Induktor ist eine Drahtlänge, manchmal nur eine kurze Spur auf einer Leiterplatte, manchmal ein längerer Draht, der in Form einer Spule mit einem Kern aus Eisen oder Luft gewickelt ist.
Das Symbol der Induktivität ist L, während dessen Wert aufgerufen wird Induktivität. Die Induktivitätseinheit ist der Henry (H), benannt nach dem berühmten amerikanischen Physiker Joseph Henry. Mit zunehmender Induktivität nimmt auch der Widerstand des Induktors gegen den Wechselstromfluss zu.
Es kann gezeigt werden, dass die Wechselspannung an einer Induktivität dem Strom um eine viertel Periode vorauseilt. Als Zeiger betrachtet beträgt die Spannung 90° vor dem Strom (gegen den Uhrzeigersinn). In der komplexen Ebene ist der Spannungszeiger in positiver Richtung (in Bezug auf die Referenzrichtung gegen den Uhrzeigersinn) senkrecht zum aktuellen Zeiger. Sie können dies durch komplexe Zahlen mit einem imaginären Faktor ausdrücken j als Multiplikator.
Das induktive Reaktanz eines Induktors spiegelt seinen Gegensatz zum Wechselstromfluss bei einer bestimmten Frequenz wider, wird durch das Symbol X dargestelltLund wird in Ohm gemessen. Die induktive Reaktanz wird durch die Beziehung X berechnetL = w* L = 2 *p* f * L. Der Spannungsabfall an einer Induktivität beträgt X.L mal die aktuelle. Diese Beziehung gilt sowohl für die Spitzen- als auch für die Effektivwerte der Spannung und des Stroms. In der Gleichung für die induktive Reaktanz (X.L ), f ist Frequenz in Hz, w die Winkelfrequenz in rad / s (Bogenmaß / Sekunde) und L die Induktivität in H (Henry). Wir haben also zwei Formen der verallgemeinertes Ohmsches Gesetz:
1. NB: Haupt (VM, IM oder wirksam (V, I) Werte des Stroms und die Spannung:
VM = XL*IM or V = XL*I
2. Verwendung komplexer Zeiger:
VM = j * XL IM or V = j * XL * I
Das Verhältnis zwischen den Spannungs- und Stromzeigern des Induktors ist dessen Komplexität induktive Impedanz:
ZL= V/I = VM / IM = j w L
Das Verhältnis zwischen den Zeigern des Stroms und der Spannung des Induktors ist dessen Komplexität Induktive Admittanz:
YL= I / V = IM /VM = 1 / (j w L)
Sie können sehen, dass die drei Formen des verallgemeinerten Ohmschen Gesetzes -ZL= V / I, I = V / ZL und V = I * ZL–Sind dem Ohmschen Gesetz für Gleichstrom sehr ähnlich, außer dass sie Impedanz und komplexe Zeiger verwenden. Mit Impedanz, Admittanz und dem verallgemeinerten Ohmschen Gesetz können wir Wechselstromkreise sehr ähnlich wie Gleichstromkreise behandeln.
Wir können das Ohmsche Gesetz mit der Größe der induktiven Reaktanz genauso verwenden wie für den Widerstand. Wir beziehen einfach den Peak (V.M, IM) und Effektivwerte (V, I) von Strom und Spannung um XLdie Größe der induktiven Reaktanz:
VM = XL IM or V = XL * Ich
Da diese Gleichungen jedoch nicht die Phasendifferenz zwischen Spannung und Strom enthalten, sollten sie nicht verwendet werden, es sei denn, die Phase ist nicht von Interesse oder wird anderweitig berücksichtigt.
Beweise Die Zeitfunktion der Spannung über eine reine Linearität Induktor (eine Induktivität mit einem Innenwiderstand von Null und ohne Streukapazität) kann unter Berücksichtigung der Zeitfunktion gefunden werden, die Spannung und Strom der Induktivität in Beziehung setzt: Verwendung des im vorherigen Kapitel vorgestellten komplexen Zeitfunktionskonzepts Verwendung komplexer Zeiger: VL = j w L* IL oder mit Echtzeitfunktionen vL (t) = w L iL (t + 90°) Die Spannung ist also 90° der Strömung voraus. |
Lassen Sie uns den obigen Beweis mit TINA demonstrieren und die Spannung und den Strom als Zeitfunktionen und als Zeiger in einer Schaltung zeigen, die einen sinusförmigen Spannungsgenerator und eine Induktivität enthält. Zuerst berechnen wir die Funktionen von Hand.
Die Schaltung, die wir untersuchen werden, besteht aus einer 1-mH-Induktivität, die an einen Spannungsgenerator mit einer sinusförmigen Spannung von 1 Vpk und einer Frequenz von 100 Hz (v) angeschlossen istL= 1sin (wt) = 1sin (6.28 · 100 t) V).
Unter Verwendung des verallgemeinerten Ohmschen Gesetzes ist der komplexe Zeiger des Stroms:
ILM= VLM/(jwL) = 1 / (j6.28 * 100 * 0.001) = -j1.59A
und folglich die Zeitfunktion des Stroms:
iL(t) = 1.59sin (wt-90°) EIN.
Lassen Sie uns nun die gleichen Funktionen mit TINA demonstrieren. Die Ergebnisse sind in den nächsten Abbildungen dargestellt.
Hinweis zur Verwendung von TINA: Wir haben die Zeitfunktion mit abgeleitet Analyse / AC-Analyse / Zeitfunktion, während das Zeigerdiagramm mit abgeleitet wurde Analyse / AC-Analyse / Zeigerdiagramm. Anschließend haben wir die Analyseergebnisse mithilfe von Kopieren und Einfügen eingefügt im schematischen Diagramm. Um die Amplitude und Phase der Instrumente im Schaltplan anzuzeigen, haben wir den interaktiven Wechselstrommodus verwendet.
Das Schaltbild mit eingebetteter Zeitfunktion und Zeigerdiagramm
Zeit funktioniert
Zeigerdiagramm
Beispiel 1
Finden Sie die induktive Reaktanz und die komplexe Impedanz eines Induktors mit einer Induktivität von L = 3 mH bei einer Frequenz f = 50 Hz.
XL = 2 *p* f * L = 2 * 3.14 * 50 * 0.003 = 0.9425 Ohm = 942.5 Mohm
Die komplexe Impedanz:
ZL= j w L = j 0.9425 = 0.9425 j Ohm
Sie können diese Ergebnisse mit dem Impedanzmesser von TINA überprüfen. Stellen Sie die Frequenz im Eigenschaftenfeld des Impedanzmessers auf 50 Hz ein, das angezeigt wird, wenn Sie auf das Messgerät doppelklicken. Das Impedanzmessgerät zeigt die induktive Reaktanz des Induktors an, wenn Sie den Wechselstrom drücken Interaktiver Modus wie in der Abbildung gezeigt, oder wenn Sie die Taste auswählen Analyse / Wechselstromanalyse / Knotenspannungen berechnen Befehl.
Verwendung der Analyse / Wechselstromanalyse / Knotenspannungen berechnen Befehl können Sie auch die vom Messgerät gemessene komplexe Impedanz überprüfen. Wenn Sie den nach diesem Befehl angezeigten stiftartigen Tester bewegen und auf den Induktor klicken, wird die folgende Tabelle mit der komplexen Impedanz und Admittanz angezeigt.
Beachten Sie, dass sowohl die Impedanz als auch die Admittanz aufgrund von Rundungsfehlern bei der Berechnung einen sehr kleinen (1E-16) Realteil haben.
Sie können die komplexe Impedanz auch als komplexen Zeiger mithilfe des AC-Zeigerdiagramms von TINA anzeigen. Das Ergebnis ist in der nächsten Abbildung dargestellt. Verwenden Sie den Befehl Auto Label, um das Etikett mit der induktiven Reaktanz auf der Abbildung anzubringen. Beachten Sie, dass Sie möglicherweise die automatischen Einstellungen der Achsen durch Doppelklicken ändern müssen, um die unten gezeigten Maßstäbe zu erreichen.
Beispiel 2
Ermitteln Sie die induktive Reaktanz der 3mH-Induktivität erneut, diesmal jedoch mit einer Frequenz f = 200kHz.
XL = 2 *p* f * L = 2 * 3.14 * 200 * 3 = 3769.91 Ohm
Wie Sie sehen können, ist die induktive Reaktanz steigt mit der Frequenz.
Mit TINA können Sie die Reaktanz auch als Funktion der Frequenz darstellen.
Aktivieren Sie das Kontrollkästchen Analyse / AC-Analyse / AC-Übertragung und aktivieren Sie das Kontrollkästchen Amplitude und Phase. Das folgende Diagramm wird angezeigt:
In diesem Diagramm ist die Impedanz auf einer linearen Skala gegen die Frequenz auf einer logarithmischen Skala dargestellt. Dies verbirgt die Tatsache, dass die Impedanz eine lineare Funktion der Frequenz ist. Doppelklicken Sie dazu auf die obere Frequenzachse und setzen Sie Skalierung auf Linear und Anzahl der Ticks auf 6. Siehe das folgende Dialogfeld:
Beachten Sie, dass in einigen älteren Versionen von TINA das Phasendiagramm aufgrund von Rundungsfehlern sehr kleine Schwingungen um 90 Grad aufweisen kann. Sie können dies aus dem Diagramm entfernen, indem Sie die vertikale Achsengrenze ähnlich wie in den obigen Abbildungen festlegen.
Kondensator
Ein Kondensator besteht aus zwei leitenden Metallelektroden, die durch ein dielektrisches (isolierendes) Material getrennt sind. Der Kondensator speichert elektrische Ladung.
Das Symbol des Kondensators ist CUnd seine Kapazität (or Kapazität) wird in Farad (F) nach dem berühmten englischen Chemiker und Physiker Michael Faraday gemessen. Mit zunehmender Kapazität widerspricht der Kondensator dem Fluss von Wechselströmen sinkt. Darüber hinaus ist der Kondensator mit zunehmender Frequenz dem Fluss von Wechselströmen entgegengesetzt sinkt.
Der Wechselstrom durch einen Kondensator führt die Wechselspannung über die
gegen den Uhrzeigersinn) den Strom. In der komplexen Ebene ist der Spannungszeiger in negativer Richtung (in Bezug auf die Referenzrichtung gegen den Uhrzeigersinn) senkrecht zum aktuellen Zeiger. Sie können dies durch komplexe Zahlen mit einem imaginären Faktor ausdrücken -j als Multiplikator.
Das kapazitive Reaktanz eines Kondensators spiegelt seinen Gegensatz zum Wechselstromfluss bei einer bestimmten Frequenz wider, wird durch das Symbol dargestellt XCund wird in Ohm gemessen. Die kapazitive Reaktanz wird durch die Beziehung berechnet XC = 1 / (2 *)p* f * C) = 1 /wC. Der Spannungsabfall an einem Kondensator beträgt X.C mal die aktuelle. Diese Beziehung gilt sowohl für die Spitzen- als auch für die Effektivwerte der Spannung und des Stroms. Hinweis: in der Gleichung für kapazitiv Reaktanz (XC ), f ist Frequenz in Hz, w die Winkelfrequenz in rad / s (Radiant / Sekunde), C ist das
in F (Farad) und XC ist die kapazitive Reaktanz in Ohm. Wir haben also zwei Formen der verallgemeinertes Ohmsches Gesetz:
1. Für die absoluter Peak or wirksam Werte des Stromes und des Stromspannung:
or V = XC*I
2. Für die komplexer Peak or wirksam Werte des Stroms und der Spannung:
VM = -j * XC*IM or V = - j * XC*I
Das Verhältnis zwischen den Spannungs- und Stromzeigern des Kondensators ist komplex kapazitive Impedanz:
ZC = V / I = VM / IM = - j*XC = - j / wC
Das Verhältnis zwischen den Zeigern des Stroms und der Spannung des Kondensators ist dessen Komplexität kapazitive Admittanz:
YC= I / V = IM / VM = j wC)
Beweis: Das Zeitfunktion der Spannung über einer reinen linearen Kapazität (ein Kondensator ohne Parallel- oder Serienwiderstand und ohne Streuinduktivität) kann mit den Zeitfunktionen der Kondensatorspannung ausgedrückt werden (vC), Ladung (qC) und Strom (iC ): Wenn C nicht von der Zeit abhängt, verwenden Sie komplexe Zeitfunktionen: oder mit komplexen Zeigern: oder mit Echtzeitfunktionen vc (t) = ic (t-90°) / (w C) Die Spannung ist also 90° hinter die jetzige. |
Lassen Sie uns den obigen Beweis mit TINA demonstrieren und die Spannung und den Strom als Funktionen der Zeit und als Zeiger zeigen. Unsere Schaltung enthält einen sinusförmigen Spannungsgenerator und einen Kondensator. Zuerst berechnen wir die Funktionen von Hand.
Der Kondensator ist 100 nF und wird über einen Spannungsgenerator mit einer sinusförmigen Spannung von 2 V und einer Frequenz von 1 MHz angeschlossen: vL= 2sin (wt) = 2sin (6.28 * 106Fernseher
Unter Verwendung des verallgemeinerten Ohmschen Gesetzes ist der komplexe Zeiger des Stroms:
ICM= jwCVCM =j6.28*10610-7 * 2) =j1.26,
und folglich ist die Zeitfunktion des Stroms:
iL(t) = 1.26sin (wt + 90°) A
Der Strom liegt also um 90 vor der Spannung°.
Lassen Sie uns nun die gleichen Funktionen mit TINA demonstrieren. Die Ergebnisse sind in den nächsten Abbildungen dargestellt.
Das Schaltbild mit eingebetteter Zeitfunktion und Zeigerdiagramm 
Zeitdiagramm
Zeigerdiagramm
Beispiel 3
Finden Sie die kapazitive Reaktanz und die komplexe Impedanz eines Kondensators mit C = 25 mF-Kapazität bei einer Frequenz f = 50 Hz.
XC = 1 / (2 *)p*f*C) = 1/(2*3.14*50*25*10-6) = 127.32 Ohm
Die komplexe Impedanz:
Z-C= 1 / (j w C) = - j 127.32 = -127.32 j Ohm
Lassen Sie uns diese Ergebnisse mit TINA überprüfen, wie wir es zuvor für den Induktor getan haben.
Sie können die komplexe Impedanz auch als komplexen Zeiger mithilfe des AC-Zeigerdiagramms von TINA anzeigen. Das Ergebnis ist in der nächsten Abbildung dargestellt. Verwenden Sie den Befehl Auto Label, um das Etikett mit der induktiven Reaktanz auf der Abbildung anzubringen. Beachten Sie, dass Sie möglicherweise die automatischen Einstellungen der Achsen durch Doppelklicken ändern müssen, um die unten gezeigten Maßstäbe zu erreichen.
Beispiel 4
Finden Sie die kapazitive Reaktanz eines 25 mWieder F-Kondensator, diesmal jedoch mit einer Frequenz von f = 200 kHz.
XC = 1 / (2 *)p*f*C) = 1/(2*3.14*200*103* * 25 10-6) = 0.0318 = 31.8 mohms.
Sie können sehen, dass die kapazitive Reaktanz sinkt mit der Frequenz.
Um die Frequenzabhängigkeit der Impedanz eines Kondensators zu sehen, verwenden wir TINA wie zuvor mit dem Induktor.
Zusammenfassend, was wir in diesem Kapitel behandelt haben,
Das verallgemeinertes Ohmsches Gesetz:
Z = V / I = VM/IM
Die komplexe Impedanz für die grundlegenden RLC-Komponenten:
ZR = R; ZL = j w L und ZC = 1 / (j w C) = -j / wC
Wir haben gesehen, wie die verallgemeinerte Form des Ohmschen Gesetzes für alle Komponenten gilt - Widerstände, Kondensatoren und Induktivitäten. Da wir bereits gelernt haben, mit Kirchoffs Gesetzen und dem Ohmschen Gesetz für Gleichstromkreise zu arbeiten, können wir darauf aufbauen und sehr ähnliche Regeln und Schaltungssätze für Wechselstromkreise verwenden. Dies wird in den nächsten Kapiteln beschrieben und demonstriert.
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