GRUNDSÄTZE DER WECHSELSTROM

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Eine sinusförmige Spannung kann durch die Gleichung beschrieben werden:

v (t) = V_M sin (ωt + Φ) oder v (t) = V_M cos (ωt + Φ)

Hier einige Beispiele zur Veranschaulichung der obigen Begriffe.

Die Eigenschaften der Wechselspannung 220 V in Haushaltssteckdosen in Europa:

Effektivwert: V_Eff = 220 V
Spitzenwert: V_M= √2 * 220 V = 311 V.

Frequenz: f = 50 1 / s = 50 Hz
Winkelfrequenz: ω = 2 * π * f = 314 1 / s = 314 rad / s
Periode: T = 1 / f = 20 ms
Zeitfunktion: v (t) = 311 sin (314 t)

Sehen wir uns die Zeitfunktion mit dem Befehl Analyse / AC-Analyse / Zeitfunktion von TINA an.

Die Eigenschaften der Wechselspannung 120 V in der Haushaltssteckdose in den USA:

Effektivwert: V_Eff = 120 V
Spitzenwert: V_M= 2 120 V = 169.68 V ≈ 170 V
Frequenz: f = 60 1 / s = 60 Hz
Winkelfrequenz: ω = 2 * π * f = 376.8 rad / s ≈ 377 rad / s
Periode: T = 1 / f = 16.7 ms
Zeitfunktion: v (t) = 170 sin (377 t)

Beachten Sie, dass in diesem Fall die Zeitfunktion entweder als v (t) = 311 sin (314 t + +) oder v (t) = 311 cos (314 t + Φ) angegeben werden kann, da im Fall der Ausgangsspannung we kenne die Anfangsphase nicht.

Die Anfangsphase spielt eine wichtige Rolle, wenn mehrere Spannungen gleichzeitig anliegen. Ein gutes praktisches Beispiel ist das Dreiphasensystem, bei dem drei Spannungen mit demselben Spitzenwert, derselben Form und Frequenz vorhanden sind, von denen jede eine 120 ° -Phasenverschiebung relativ zu den anderen aufweist. In einem 60-Hz-Netzwerk sind die Zeitfunktionen:

v_A(t) = 170 sin (377 t)

v_B(t) = 170 sin (377 t - 120 °)

v_C(t) = 170 sin (377 t + 120 °)

Die folgende mit TINA erstellte Abbildung zeigt die Schaltung mit diesen Zeitfunktionen als TINA-Spannungsgeneratoren.

Die Spannungsdifferenz v_AB= v_A(Fernseher_B(t) wird durch den Befehl Analyse / AC-Analyse / Zeitfunktion von TINA als gelöst angezeigt.

Beachten Sie, dass der Peak von v_AB (t) ist ungefähr 294 V, größer als die 170 V-Peaks von v_A(t) oder v_B(t) Spannungen, aber auch nicht einfach die Summe ihrer Spitzenspannungen. Dies liegt an der Phasendifferenz. Wir werden besprechen, wie die resultierende Spannung berechnet wird Ö3 * 170 @ 294 in diesem Fall) später in diesem Kapitel und auch im separaten Dreiphasige Systeme Kapitel.

Kennwerte von Sinussignalen

Obwohl ein Wechselstromsignal während seiner Periode kontinuierlich variiert, ist es einfach, einige charakteristische Werte für den Vergleich einer Welle mit einer anderen zu definieren: Dies sind die Spitzen-, Durchschnitts- und Effektivwerte.

Wir haben den Spitzenwert bereits erreicht V_M , das ist einfach der Maximalwert der Zeitfunktion, die Amplitude der Sinuswelle.

Manchmal wird der Peak-to-Peak-Wert (pp) verwendet. Bei sinusförmigen Spannungen und Strömen ist der Wert von Spitze zu Spitze doppelt so groß wie der Spitzenwert.

Das Durchschnittswert der Sinuswelle ist das arithmetische Mittel der Werte für die positive Halbwelle. Es heißt auch absoluter Durchschnitt da es der Durchschnitt des absoluten Werts der Wellenform ist. In der Praxis begegnen wir dieser Wellenform durch Berichtigung die Sinuswelle mit einer Schaltung, die als Vollweggleichrichter bezeichnet wird.

Es kann gezeigt werden, dass der absolute Durchschnitt einer Sinuswelle ist:

V_AV= 2 / & pi; V_M ≅ 0.637 V_M

Beachten Sie, dass der Durchschnitt eines gesamten Zyklus null ist.
Der effektive oder effektive Wert einer sinusförmigen Spannung oder eines sinusförmigen Stroms entspricht dem äquivalenten Gleichstromwert, der die gleiche Heizleistung erzeugt. Beispielsweise erzeugt eine Spannung mit einem effektiven Wert von 120 V in einer Glühlampe die gleiche Heiz- und Beleuchtungsleistung wie 120 V aus einer Gleichspannungsquelle. Es kann gezeigt werden, dass der Effektivwert einer Sinuswelle wie folgt ist:

V_rms = V_M / √2 ≅ 0.707 V_M

Diese Werte können für Spannungen und Ströme auf dieselbe Weise berechnet werden.

Der Effektivwert ist in der Praxis sehr wichtig. Wenn nicht anders angegeben, werden Netzwechselspannungen (z. B. 110V oder 220V) in Effektivwerten angegeben. Die meisten Wechselstromzähler sind in Effektivwerten kalibriert und zeigen den Effektivwert an.

Beispiel 1 Bestimmen Sie den Spitzenwert der Sinusspannung in einem elektrischen Netzwerk mit dem 220 V Effektivwert.

V_M = 220 / 0.707 = 311.17 V

Beispiel 2 Bestimmen Sie den Spitzenwert der Sinusspannung in einem elektrischen Netzwerk mit dem 110 V Effektivwert.

V_M = 110 / 0.707 = 155.58 V

Beispiel 3 Bestimmen Sie den (absoluten) Durchschnitt der Sinusspannung, wenn der Effektivwert 220 V ist.

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 311.17 = 198.26 V

Beispiel 4 Bestimmen Sie den absoluten Durchschnitt der Sinusspannung, wenn der Effektivwert 110 V ist.

Die Spitze der Spannung aus Beispiel 2 ist 155.58 V und somit:

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 155.58 = 99.13 V

Beispiel 5 Finden Sie das Verhältnis zwischen dem absoluten Durchschnitt (V_a) und Effektivwerte (V) für die Sinuskurve.

V / V_a = 0.707 / 0.637 = 1.11

Beachten Sie, dass Sie in einem Wechselstromkreis keine Durchschnittswerte hinzufügen können, da dies zu falschen Ergebnissen führt.

PHASOREN

Wie wir bereits im vorherigen Abschnitt gesehen haben, ist es in Wechselstromkreisen häufig erforderlich, sinusförmige Spannungen und Ströme derselben Frequenz hinzuzufügen. Obwohl es möglich ist, die Signale mit Hilfe von TINA numerisch zu addieren oder trigonometrische Beziehungen zu verwenden, ist es günstiger, die sogenannten Signale zu verwenden Zeiger Methode. Ein Zeiger ist eine komplexe Zahl, die die Amplitude und Phase eines Sinussignals darstellt. Es ist wichtig zu beachten, dass der Zeiger nicht die Frequenz darstellt, die für alle Zeiger gleich sein muss.

Ein Zeiger kann als komplexe Zahl behandelt oder grafisch als ebener Pfeil in der komplexen Ebene dargestellt werden. Die grafische Darstellung wird Zeigerdiagramm genannt. Mit Hilfe von Zeigerdiagrammen können Sie Zeiger in einer komplexen Ebene anhand der Dreiecks- oder Parallelogrammregel hinzufügen oder entfernen.

Es gibt zwei Formen von komplexen Zahlen: rechteckig und polar.

Die rechteckige Darstellung hat die Form + jb, wo j = Ö-1 ist die imaginäre Einheit.

Die polare Darstellung hat die Form Ae^{j j} , wobei A der absolute Wert (Amplitude) und ist f ist der Winkel des Zeigers von der positiven reellen Achse im Gegenuhrzeigersinn.

Wir werden verwenden fett Buchstaben für komplexe Mengen.

Nun wollen wir sehen, wie man den entsprechenden Zeiger aus einer Zeitfunktion ableitet.

Zunächst sei angenommen, dass alle Spannungen in der Schaltung in Form von Kosinusfunktionen ausgedrückt werden. (Alle Spannungen können in diese Form umgewandelt werden.) Dann wird die Zeiger entsprechend der Spannung von v (t) = V_M cos ( w t+f) ist: V_M = V_Me ^jf Dies wird auch als komplexer Spitzenwert bezeichnet.

Betrachten Sie zum Beispiel die Spannung: v (t) = 10 cos ( w t + 30°)

Der entsprechende Zeiger ist: V

Auf die gleiche Weise können wir die Zeitfunktion aus einem Zeiger berechnen. Zuerst schreiben wir den Zeiger in polarer Form, z V_M = V_Me ^jr und dann ist die entsprechende Zeitfunktion

v (t) = V_M (cos (wt+r).

Betrachten Sie zum Beispiel den Zeiger V_M = 10 - j20 V

Bringen Sie es in die polare Form:

Und daher ist die Zeitfunktion: v (t) = 22.36 cos (wt - 63.5^°) V

Zeiger werden häufig verwendet, um den komplexen Effektivwert oder Effektivwert der Spannungen und Ströme in Wechselstromkreisen zu definieren. Gegeben ist v (t) = V_Mcos (wt+r) = 10cos (wt + 30°)

Numerisch:

v (t) = 10 * cos (wt-30°)

Der komplexe Effektivwert: V = 0.707 * 10 * e^{- j30°} = 7.07 e^{- j30°} = 6.13 - j 3.535

Umgekehrt: Wenn der komplexe Effektivwert einer Spannung ist:

V = - 10 + j 20 = 22.36 e ^{j 116.5°}

dann der komplexe Spitzenwert:

und die Zeitfunktion: v (t) = 31.63 cos ( wt + 116.5° ) V

Eine kurze Begründung der obigen Techniken lautet wie folgt. Gegeben eine Zeitfunktion
V_M (cos ( w t+r), definieren wir die komplexe Zeitfunktion als:

v (t) = V_M e ^jr e ^jwt = V_Me ^jwt = V_M (cos (r) + j Sünde(r)) e ^jwt

woher V_M =V_M e ^{j r t} = V_M (cos (r) + j Sünde(r)) ist nur der oben eingeführte Zeiger.

Zum Beispiel ist die komplexe Zeitfunktion von v (t) = 10 cos (wt + 30°)

v (t) = V_Me ^jwt = 10 e ^j30 e ^jwt = 10e ^jwt (cos (30) + j sin (30)) = e ^jwt (8.66 +j5)

Durch die Einführung der komplexen Zeitfunktion erhalten wir eine Darstellung mit Realteil und Imaginärteil. Wir können immer die ursprüngliche reale Funktion der Zeit wiederherstellen, indem wir den Realteil unseres Ergebnisses nehmen: v (t) = Re {v(t)}

Die komplexe Zeitfunktion hat jedoch den großen Vorteil, dass alle komplexen Zeitfunktionen in den betrachteten Wechselstromkreisen die gleiche e haben^jwt Multiplikator, wir können dies ausrechnen und nur mit den Zeigern arbeiten. Darüber hinaus verwenden wir in der Praxis das e nicht^jwt Teil überhaupt - nur die Transformationen von den Zeitfunktionen zu den Zeigern und zurück.

Um den Vorteil der Verwendung von Zeigern zu demonstrieren, sehen wir uns das folgende Beispiel an.

Beispiel 6 Finden Sie die Summe und die Differenz der Spannungen:

v₁ = 100 cos (314 * t) und v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Schreiben Sie zuerst die Zeiger beider Spannungen:

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45°} = 35.53 - j 35.35

Daher:

V_hinzufügen = V_1M + V_2M = 135.35 - j 35.35 = 139.89 e^{- j 14.63°}

V_unten = V_1M - V_2M = 64.65 + j35.35 = 73.68 und ^{j 28.67°}

und dann funktioniert die zeit:

v_hinzufügen(t) = 139.89 * cos (wt - 14.63°)

v_unten(t) = 73.68 * cos (wt + 28.67°)

Wie dieses einfache Beispiel zeigt, ist die Methode der Zeiger ein äußerst leistungsfähiges Werkzeug zur Lösung von Wechselstromproblemen.

Lösen wir das Problem mit den Tools im Interpreter von TINA.

Die Amplituden- und Phasenergebnisse bestätigen die Handberechnungen.

Lassen Sie uns nun das Ergebnis mit TINAs AC-Analyse überprüfen.

Stellen Sie vor der Analyse sicher, dass die Basisfunktion für AC ia eingestellt auf Kosinus der Editor-Optionen Dialogfeld aus dem Menü Ansicht / Option. Wir werden die Rolle dieses Parameters unter erläutern Beispiel 8.

Die Schaltkreise und die Ergebnisse:

Beispiel 7 Finden Sie die Summe und die Differenz der Spannungen:

v₁ = 100 sin (314 * t) und v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Dieses Beispiel wirft eine neue Frage auf. Bisher haben wir verlangt, dass alle Zeitfunktionen als Kosinusfunktionen angegeben werden. Was machen wir mit einer als Sinus gegebenen Zeitfunktion? Die Lösung besteht darin, die Sinusfunktion in eine Kosinusfunktion umzuwandeln. Unter Verwendung der trigonometrischen Beziehung sin (x) = cos (x-p/ 2) = cos (x-90°) kann unser Beispiel folgendermaßen umformuliert werden:

v₁ = 100 cos (314 t - 90°) und v₂ = 50 cos (314 · t - 45°)

Nun sind die Zeiger der Spannungen:

V_1M = 100 e ^{- j 90°} = -100 j V_2M= 50 e ^{- j 45°} = 35.53 - j 35.35

Daher:

V _hinzufügen = V_1M + V_2M = 35.53 - j 135.35

V _unten = V_1M - V_2M = - 35.53 - j 64.47

und dann funktioniert die zeit:

v_hinzufügen(t) = 139.8966 cos (wt-75.36°)

v_unten(t) = 73.68 cos (wt-118.68°)

Lösen wir das Problem mit den Tools im Interpreter von TINA.

Lassen Sie uns das Ergebnis mit TINAs AC-Analyse überprüfen

Beispiel 8

v₁ = 100 sin (314 * t) und v₂ = 50 sin (314 * t-45°)

Dieses Beispiel wirft ein weiteres Problem auf. Was ist, wenn alle Spannungen als Sinuswellen angegeben werden und wir das Ergebnis auch als Sinuswelle sehen möchten? Wir könnten natürlich beide Spannungen in Kosinusfunktionen umwandeln, die Antwort berechnen und dann das Ergebnis wieder in eine Sinusfunktion umwandeln - aber das ist nicht notwendig. Wir können Zeiger aus den Sinuswellen auf die gleiche Weise wie aus Kosinuswellen erzeugen und dann einfach ihre Amplitude und Phasen als Amplitude und Phase der Sinuswellen im Ergebnis verwenden.

Dies ergibt offensichtlich das gleiche Ergebnis wie die Umwandlung der Sinuswellen in Kosinuswellen. Wie wir im vorherigen Beispiel sehen konnten, entspricht dies der Multiplikation mit -j und dann mit dem cos (x) = sin (x-90°) Beziehung, um es wieder in eine Sinuswelle umzuwandeln. Dies entspricht der Multiplikation mit j. Mit anderen Worten, seit -j × j = 1, wir könnten die direkt von den Amplituden und Phasen der Sinuswellen abgeleiteten Zeiger verwenden, um die Funktion darzustellen und dann direkt zu ihnen zurückzukehren. In gleicher Weise über die komplexen Zeitfunktionen argumentierend, könnten wir Sinuswellen als die Imaginärteile der komplexen Zeitfunktionen betrachten und sie mit der Cosinusfunktion ergänzen, um die vollständige komplexe Zeitfunktion zu erzeugen.

Sehen wir uns die Lösung für dieses Beispiel an, indem wir die Sinusfunktionen als Basis der Zeiger verwenden (Transformation der Sünde ( w t) zum realen Einheitenzeiger (1)).

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45°} = 35.53 - j 35.35

Daher:

V _hinzufügen = V_1M + V_2M = 135.53 - j 35.35

V _unten = V_1M - V_2M = 64.47+ j 35.35

Beachten Sie, dass die Zeiger genau die gleichen sind wie in Beispiel 6, jedoch nicht die Zeitfunktionen:

v₃(t) = 139.9sin (wt - 14.64°)

v₄(t) = 73.68sin (wt + 28.68°)

Wie Sie sehen können, ist es sehr einfach, das Ergebnis mithilfe von Sinusfunktionen zu erhalten, insbesondere wenn unsere Anfangsdaten Sinuswellen sind. Viele Lehrbücher bevorzugen die Verwendung der Sinuswelle als Basisfunktion von Zeigern. In der Praxis können Sie beide Methoden verwenden, aber nicht verwirren.

Wenn Sie die Zeiger erstellen, ist es sehr wichtig, dass alle Zeitfunktionen zuerst entweder in Sinus oder in Cosinus konvertiert werden. Wenn Sie mit Sinusfunktionen begonnen haben, sollten Ihre Lösungen mit Sinusfunktionen dargestellt werden, wenn Sie von Zeigern zu Zeitfunktionen zurückkehren. Gleiches gilt, wenn Sie mit Kosinusfunktionen beginnen.

Lösen wir das gleiche Problem im interaktiven Modus von TINA. Da wir Sinusfunktionen als Basis für die Erstellung der Zeiger verwenden möchten, stellen Sie sicher, dass die Basisfunktion für AC eingestellt ist ihre der Editor-Optionen Dialogfeld aus dem Menü Ansicht / Option.

und die Zeitfunktionen:

 

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