KIRCHHOFFOVI ZAKONI

Kliknite ili dodirnite Primer kola ispod da biste pozvali TINACloud i izaberite Interaktivni DC režim da biste ih analizirali na mreži.
Nabavite jeftin pristup TINACloud uređivanju primjera ili kreiranju vlastitih krugova

TEOREM SUPERPOZICIJE

POTENCIJALNI METOD NODE

Mnogi sklopovi su previše složeni da bi se mogli riješiti korištenjem pravila za serijske ili paralelne sklopove ili tehnike pretvaranja u jednostavnije sklopove opisane u prethodnim poglavljima. Za ove sklopove potrebne su nam općenitije metode rješenja. Najopćenitija metoda dana je Kirchhoffovim zakonima koji omogućavaju izračunavanje svih napona i struja strujnih krugova rješenjem sustava linearnih jednadžbi.

Postoje dva Kirchhoff-ovi zakoni, naponski zakon i struja zakon. Ova dva zakona mogu se koristiti za određivanje svih napona i struja strujnih krugova.

Kirchhoffov zakon o naponu (KVL) kaže da algebarska suma napona raste i pad napona oko petlje mora biti jednak nuli.

Petlja u gornjoj definiciji znači zatvoreni put u krugu; to jest staza koja napušta čvor u jednom smjeru i vraća se na isti taj čvor iz drugog smjera.

U našim ćemo primjerima za petlje koristiti smjer kazaljke na satu; međutim, isti će se rezultati dobiti ako se koristi smjer suprotnom od kazaljke na satu.

Da bismo primijenili KVL bez pogreške, moramo definirati tzv. Referentni smjer. Referentni smjer nepoznatih napona pokazuje od + do - znaka pretpostavljenih napona. Zamislite da koristite voltmetar. Stavite pozitivnu sondu voltmetra (obično crvenu) na referentni terminal komponente. Ako je stvarni napon pozitivan, ide u istom smjeru kao što smo i pretpostavili, a i naše rješenje i voltmetar pokazaće pozitivnu vrijednost.

Kada izvodimo algebarski zbroj napona, moramo dodijeliti znak plus onim naponima gdje se referentni smjer podudara sa smjerom petlje, a negativni znakovi u suprotnom slučaju.

Drugi način da se kaže Kirchhoffov zakon o naponu je: primijenjeni napon serijskog kruga jednak je zbroju pada napona preko serijskih elemenata.

Sljedeći kratki primjer prikazuje upotrebu Kirchhoffovog zakona o naponu.

Pronađite napon preko otpornika R_2, s obzirom da je napon izvora, V_S = 100 V i da je napon preko otpornika R₁je V₁ = 40 V.

Donja slika može se stvoriti pomoću TINA Pro verzije 6 i novije, u kojoj su alati za crtanje dostupni u uređivaču shema.

Rješenje pomoću Kirchhoffovog zakona o naponu: -V_S + V₁ + V₂= 0 ili V_S = V₁ + V₂

otuda: V₂ = V_S - V₁ = 100-40 = 60V

Imajte na umu da obično ne znamo napone otpornika (osim ako ih ne izmjerimo), a za rješenje moramo koristiti oba Kirchhoffova zakona.

Kirchhoffov trenutni zakon (KCL) kaže da je algebarska suma svih struja koje ulaze i izlaze iz bilo kojeg čvora u krugu jednake nuli.

U nastavku dajemo znak + strujama koje napuštaju čvor i znak - strujama koje ulaze u čvor.

Evo osnovnog primjera koji pokazuje Kirchhoffov trenutni zakon.

Pronađite trenutnu I₂ ako je izvor struje I_S = 12 A, i ja₁ = 8 A.

Korištenje Kirchhoffovog trenutnog zakona na kružnom čvoru: -I_S + I₁ + I₂ = 0, dakle: I₂= I_S - Ja₁ = 12 - 8 = 4 A, kao što možete provjeriti koristeći TINA (sledeća slika).

U sljedećem ćemo primjeru upotrijebiti oba Kirchhoffova zakona plus Ohmov zakon za izračunavanje struje i napona preko otpornika.

Na donjoj slici primijetit ćete Napon strelica iznad otpornika. Ovo je nova komponenta dostupna u Verzija 6 TINA-e i djeluje poput voltmetra. Ako ga povežete preko neke komponente, strelica određuje referentni smjer (za usporedbu s voltmetrom, zamislite postavljanje crvene sonde na rep strelice i crne sonde na vrh). Kada pokrenete DC analizu, stvarni napon na komponenti bit će prikazan na strelici.

Kliknite / dodirnite gornji krug da biste analizirali on-line ili kliknite na ovaj link da biste sačuvali u Windowsima

Za početak korištenja Kirchhoffovog trenutnog zakona, vidimo da su struje kroz sve komponente iste, pa ćemo označiti tu struju I.

Prema Kirchhoffovom zakonu o naponu: V_S = V₁+V₂+V₃

Sada se koristi Ohmov zakon: V_S= I * R₁+ I * R₂+ I * R₃

A odatle struja kruga:

I = V_S/ (R₁+R₂+R₃) = 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A

Napokon naponi otpornika:

V₁= I * R₁ = 2 * 10 = 20 V; V₂ = I * R₂ = 2 * 20 = 40 V; V₃ = I * R₃ = 2 * 30 = 60 V

Isti će se rezultati vidjeti na strelicama napona jednostavnim provođenjem TINA-ove interaktivne DC analize.

U sljedećem, složenijem krugu koristimo i Kirchhoff-ove zakone i Ohmove zakone, ali nalazimo kako najviše rješavamo linearni sustav jednadžbi.

Ukupan broj neovisnih primjena Kirchhoffovih zakona u jednom krugu je broj grana krugova, dok je ukupni broj nepoznanica (struja i napon svake grane) dvostruko veći. Međutim, upotrebom Ohmovog zakona na svakom otporniku i jednostavnim jednadžbama koje definiraju primijenjene napone i struje, dobivamo sustav jednadžbi u kojem je broj nepoznanica jednak broju jednadžbi.

Pronađite struje grana I1, I2, I3 u krugu ispod.

Kliknite / dodirnite gornji krug da biste analizirali on-line ili kliknite na ovaj link da biste sačuvali u Windowsima

Slijedi skup jednadžbi:

Jednačina čvora za kružni čvor:

- I₁- I₂- Ja₃ = 0

ili množenjem sa -1

I₁+ I₂+ I₃ = 0

Jednadžbe petlje (koristeći smjer kazaljke na satu) za petlju L1, koja sadrži V₁, R₁ i R₃

-V₁+I₁*R₁-I₃*R₃ = 0

i za petlju L2, koja sadrži V₂, R₂ i R₃

I₃*R₃ - Ja₂*R₂ +V₂ = 0

Zamena vrednosti komponente:

I₁+ I₂+ I₃ = 0 -8 + 40 * I₁ - 40 * I₃ = 0 40 * I₃ –20 * I₂ + 16 = 0

Express I₁ koristeći nodalnu jednačinu: I₁ = -I₂ - Ja₃

zatim ga zamijenite u drugu jednadžbu:

-V₁- (ja₂ + I₃) * R₁ -I₃*R₃ = 0 or –8- (I₂ + I₃) * 40 - Ja₃* 40 = 0

Express I₂ i zamijenite ga u treću jednadžbu iz koje već možete izračunati I₃:

I₂ = - (V.₁ + I₃* (R₁+R₃)) / R₁ or I₂ = - (8 + I₃* 80) / 40

I₃*R₃ + R₂* (V₁ + I₃* (R₁+R₃)) / R₁ +V₂ = 0 or I₃* 40 + 20 * (8 + I₃* 80) / 40 + 16 = 0

i: I₃ = - (V.₂ + V₁*R₂/R₁) / (R₃+ (R₁+R₃) * R₂/R₁) or I₃ = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

Zato I₃ = - 0.25 A; I₂ = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 A i I₁ = - (0.3-0.25) = - 0.05 A

Ili: I₁ = -50 mA; I₂ = 300 mA; I₃ = -250 mA.

Sada ćemo riješiti iste jednadžbe s TINA-ovim tumačem:

{Rješenje TINA-ovog tumača}
Sys I1, I2, I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
end;
I1 = [- 50m]
I2 = [300m]
I3 = [- 250m]

#Rješenje od Pythona
import numpy kao np, sympy kao s
#Imamo linearni sistem
#jednačine koje želimo riješiti:
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0

I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
sol = s.solve([
I1+I2+I3,
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
print(sol)

A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])

b= np.array([0,V1,-V2])

x=np.linalg.solve(A,b)
#I1=x[0]
#I2=x[1]
#I3=x[2]
#I1
print(“I1= %.3f”%x[0])
#I2
print(“I2= %.3f”%x[1])
#I3
print(“I3= %.3f”%x[2])

Konačno ćemo proveriti rezultati koristeći TINA:

Zatim analiziramo slijedeći još složeniji krug i utvrdimo njegove grane struje i napona.

Kliknite / dodirnite gornji krug da biste analizirali on-line ili kliknite na ovaj link da biste sačuvali u Windowsima

Označimo nepoznate napone i struje dodavanjem strelica napona i struje komponentama, a također prikazujemo petlje (L1, L2, L3) i čvorove (N1, N2) gdje ćemo koristiti Kirchhoffove jednadžbe.

Kliknite / dodirnite gornji krug da biste analizirali on-line ili kliknite na ovaj link da biste sačuvali u Windowsima

Evo skupa Kirchhoffove jednadžbe za petlje (koristeći smjeru kazaljke na satu) i čvorove.

-I_L+ I_R1- Ja_s= 0(za N1)

- Ja_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (za N2)

-V_s1- V_R3+ V_Is+ V_L = 0 (za L1)

-V_Is+ V_s2 +V_R2+V_R1 = 0 (za L2)

-V_R2- V_s2+ V_s3 = 0 (za L3)

Primjena Ohmovog zakona:

V_L= I_L*R_L

V_R1=I_R1*R₁

V_R2 = I_R2*R₂

V_R3 = - I_L*R₃

Ovo je 9 nepoznanica i 9 jednadžbi. Najlakši način da se to riješi je korištenje TINA-e

tumač. Međutim, ako se pritisnemo da koristimo ručne proračune, primijetit ćemo da se ovaj skup jednadžbi može lako reducirati na sustav od 5 nepoznanica zamjenom posljednje 4 jednadžbe u jednadžbe petlje L1, L2, L3. Takođe, dodavanjem jednačina (L1) i (L2), možemo eliminisati V_Is, redukujući problem na sistem 4 jednačina za 4 nepoznanice (I_L,I_R1 I_{R2, \ t}I_s3). Kad smo pronašli ove struje, lako možemo odrediti V_L, V_R1, V_{R2, \ t} i V_R3 koristeći zadnje četiri jednadžbe (Ohmov zakon).

Zamjena V_L,V_{R1, \ t}V_R2 ,V_R3 :

-I_L+ I_R1- Ja_s= 0(za N1)

- Ja_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (za N2)

-V_s1+ I_L*R₃+ V_Is+ I_L*R_L = 0 (za L1)

-V_Is+ V_s2 + I_R2*R₂+ I_R1*R₁ = 0 (za L2)

- Ja_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (za L3)

Dodavanjem (L1) i (L2) dobijamo

-I_L+ I_R1- Ja_s= 0(za N1)

- Ja_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (za N2)

-V_s1+ I_L*R₃+ I_L*R_L + V_s2 + I_R2*R₂+ I_R1*R₁ = 0 (L1) + (L2)

- Ja_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (za L3)

Nakon zamjene vrijednosti komponenata, rješenje tih jednadžbi dolazi lako.

-I_L+I_R1- 2 = 0 (za N1)

-I_R1 + I_R2 + I_S3 = 0 (za N2)

-120 - + I_L* 90 + I_L* 20 + 60 + I_R2* 40 + I_R1* 30 = 0 (L₁) + (L₂)

-I_R2* 40 - 60 + 270 = 0 (za L₃)

od L₃ I_R2 = 210 / 40 = 5.25 A (I)

od N₂ I_S3 - Ja_R1 = - 5.25 (II)

od L₁+L₂ 110 I_L + 30 I_R1 = -150 (III)

i za N₁ I_R1 - Ja_L = 2 (IV)

Pomnožite (IV) sa –30 i dodajte u (III) 140 I_L = -210 otuda I_L = - 1.5 A

Zamjena I_L u (IV) I_R1 = 2 + (-1.5) = 0.5 A

i ja_R1 u (II) I_S3 = -5.25 + I_R1 = -4,75 A

I naponi: V_R1 = I_R1*R₁ = 15 V; V_R2 = I_R2*R₂ = 210 V;

V_R3 = - I_L*R₃= 135 V; V_L = I_L*R_L = - 30 V; V_Is = V_S1+V_R3-V_L = 285 V

{Rješenje izvornih jednadžbi TINA-inog tumača}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-Is + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-Vs1 + VR3 + Vis-VL = 0
-Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
VL = IL * RL
end;
IL = [- 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]
VIs = [285]
VL = [- 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]

#Rješenje od Pythona
#Ax=b
import numpy kao np, sympy kao s
#Simboličko rješenje pomoću numpy.solve
#jednačine:
#IL=-Je+IR1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-Vis-VL=0
#Vis=VR1+VR2+Vs2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#VL=IL*RL
#Riješi za:
#IL,IR1,IR2,
#Is3,Vis,VL,
#VR1,VR3,VR2

IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
sol = s.solve([
-Is+IR1-IL,
IR2+Is3-IR1,
Vs1+VR3-Vis-VL,
VR1+VR2+Vs2-Vis,
VR2+Vs2-Vs3,
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
print(sol)

#Još jedna metoda za rješavanje pomoću numpy.linalg
A=np.array(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1],
[0,R1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,R2,0,0,0,0,0,-1],
[-R3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[RL,0,0,0,0,-1,0,0,0]])

b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])

x=np.linalg.solve(A,b)

#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] Vis=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
print(“IL= %.3f”%x[0])
print(“IR1= %.3f”%x[1])
print(“IR2= %.3f”%x[2])
print(“Is3= %.3f”%x[3])
print(“Vis= %.3f”%x[4])
print(“VL= %.3f”%x[5])
print(“VR1= %.3f”%x[6])
print(“VR2= %.3f”%x[8])
print(“VR3= %.3f”%x[7])

Rješenje smanjenog skupa jednadžbi pomoću tumača:

{Rješenje smanjenog skupa jednadžbi TINA-inog tumača}
Sys Il, Ir1, Ir2, Is3
-Il + Ir1-2 = 0
-Ir1 + Ir2 + Is3 = 0
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-40 * Ir2 + 210 = 0
end;
Il = [- 1.5]
Ir1 = [500m]
Ir2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]

Također možemo unijeti izraze za napone i navesti TINA-ov prevodilac da ih izračuna:

Il: = - 1.5;
Ir1: = 0.5;
Ir2: = 5.25;
Is3: = - 4.75;
Vl: = Il * RL;
Vr1: = Ir1 * R1
Vr2: = Ir2 * R2;
Vr3: = - Il * R3;
VIs: = Vs1-Vl + Vr3;
Vl = [- 30]
Vr1 = [15]
Vr2 = [210]
Vr3 = [135]
VIs = [285]

Rezultat možemo provjeriti pomoću TINA-e jednostavnim uključivanjem TINA-inog interaktivnog načina rada ili korištenjem analize / istosmjerne analize / nodalnih napona

TEOREM SUPERPOZICIJE

POTENCIJALNI METOD NODE