Kliknite ili dodirnite Primer kola ispod da biste pozvali TINACloud i izaberite Interaktivni DC režim da biste ih analizirali na mreži.
Nabavite jeftin pristup TINACloud uređivanju primjera ili kreiranju vlastitih krugova

The Fourier-ova teorema navodi da se bilo koji periodični valni oblik može sintetizirati dodavanjem odgovarajuće ponderiranih sinusnih i kosinastih izraza raznih frekvencija. Teorema je dobro pokrivena u ostalim udžbenicima, pa ćemo samo sažeti rezultate i pokazati neke primjere.

Neka naša periodična funkcija bude f (t) = f (t ±nT) gdje je T vrijeme jednog razdoblja i n je cijeli broj.

w₀= 2p/ T osnovna ugaona frekvencija.

By the Fourier teorema, periodična funkcija može se zapisati kao sljedeća suma:

gdje

A_n i B_n su Fourier-ovi koeficijenti i suma je Fourierove serije.

Još jedan oblik, vjerovatno malo praktičniji:

gdje

A₀ = C₀ je jednosmerna ili prosječna vrijednost, A₁, B₁ i C₁ su osnovne komponente, a ostale su harmonički pojmovi.

Iako će za približavanje nekih talasnih oblika možda trebati samo nekoliko izraza, za druge će biti potrebno mnogo termina.

Općenito, što je više termina uključeno, to je i bolje aproksimacije, ali za valne oblike koji sadrže korake, poput pravokutnih impulsa, Gibbsov fenomen ulazi u igru. Kako se broj pojmova povećava, prekomjerna stopa postaje koncentrirana u sve manjem vremenskom periodu.

An čak i funkcija f (t) = f (-t) (simetrija osi) traže samo kosinusove izraze.

An neparna funkcija f (t) = - f (-t) (simetrija točke) zahtijeva samo sinusne članove.

Valni oblik sa simetrija ogledala ili poluvalova ima samo čudan harmonika u njegovom Fourierovom predstavljanju.

Ovdje se nećemo baviti ekspanzijom serije Fourier, već ćemo samo koristiti dati zbroj sinusa i kosinusa kao pobuđenje za krug.

U ranijim poglavljima ove knjige bavili smo se sinusnim pobuđenjima. Ako je krug linearan, tada je teorija o superpoziciji je valjana. Za mrežu s nesinusoidnim periodičnim pobuđenjima, superpozicija nam omogućava izračunajte struje i napone zbog svakog Fourierovog sinusoidnog termina jedan po jedan. Kad se sve izračuna, na kraju sumiramo harmonične komponente odgovora.

Malo je komplicirano odrediti različite termine periodičnih napona i struja i, u stvari, može proizvesti preopterećenje informacija. U praksi bismo željeli jednostavno izvršiti mjerenja. Možemo izmjeriti različite harmoničke pojmove pomoću a harmonijski analizator, analizator spektra, analizator valova ili Fourier analizator. Sve su to komplicirano i vjerovatno daje više podataka nego što je potrebno. Ponekad je dovoljno opisati periodični signal samo prosječnim vrijednostima. Ali postoji nekoliko vrsta prosječnih mjerenja.

AVERAGE VALUES

Simple average or DC Izraz Fourier predstavljen kao A₀

Ovaj prosjek se može mjeriti s instrumentima kao što je Deprez DC instrumenti.

Efektivna vrednost or rms (srednji kvadrat korijena) ima sljedeću definiciju:

Ovo je najvažnija prosječna vrijednost jer je toplina raspršena u otpornicima proporcionalna efektivnoj vrijednosti. Mnogi digitalni i neki analogni voltmetri mogu mjeriti efektivnu vrijednost napona i struje.

Apsolutni prosek

Ovaj prosjek više nije važan; raniji instrumenti su mjerili ovaj oblik prosjeka.

Ako znamo Fourierov prikaz naponskog ili trenutnog oblika talasa, možemo izračunati i prosječne vrijednosti na sljedeći način:

Simple average or DC Izraz Fourier predstavljen kao A₀ = C₀

Efektivna vrednost or rms (srednji kvadrat korijena) je nakon integriranja Fourierove serije napona:

The klirr factor je vrlo važan omjer prosječnih vrijednosti:

To je omjer efektivne vrijednosti pojmova viših harmonika do efektivne vrijednosti osnovnih harmonika:

Čini se da ovdje postoji kontradikcija - mrežu rješavamo u smislu harmonskih komponenata, ali mjerimo prosječne količine.

Ilustrirajmo metod jednostavnim primjerima:

primjer 1

Pronađite vremensku funkciju i efektivnu (rms) vrijednost napona v_C(T)

Pokušajte koristiti teoremu superpozicije da biste riješili problem.

Prvi korak je pronalaženje funkcije prijenosa kao funkcije frekvencije. Radi jednostavnosti, koristite supstituciju: s = j w

Sada zamijenite vrijednosti komponenti i s = jk w₀gdje je k = 0; 1; 3 u ovom primjeru i w₀= 30 krad / s. U V, A, ohm, mF i Mrad / s jedinice:

Koristite tablicu za organizovanje koraka numeričkog rješenja:

Korake rješenja superpozicije možemo sažeti u drugoj tablici. Kao što smo već vidjeli, da bismo pronašli kompleksnu vršnu vrijednost komponente, trebali bismo pomnožiti kompleksnu vršnu vrijednost komponente pobude s vrijednošću složene prijenosne funkcije:

I na kraju možemo dati funkciju vremena znajući složene vršne vrijednosti komponenti:

v_C(t) = 100 + 110 cos (w₀t - 56.3°) + 6.51 cos (3w₀t - 167.5°) V

Rms (efektivna) vrijednost napona je:

Kao što vidite, TINA-inov merni instrument meri ovu efektivnu vrednost.

primjer 2

Pronađite vremensku funkciju i efektivnu (rms) vrijednost trenutne i (t)

Pokušajte problem riješiti pomoću teoreme superpozicije.

Sada zamijenite brojčane vrijednosti i s = jk w_0,gdje je k = 0; 1; 3 u ovom primjeru.

U V, A, ohm, mF i Mrad / s jedinice:

Korisno je koristiti tablicu tijekom numeričkog rješenja:

Možemo sažeti korake superpozicije u drugoj tabeli. Kao što smo već vidjeli, da bismo pronašli vršnu vrijednost komponente, trebali bismo pomnožiti složenu vršnu vrijednost te komponente pobude s vrijednošću složene prijenosne funkcije. Koristite složene vršne vrijednosti komponenata pobude:

I na kraju, znajući složene vršne vrijednosti komponenti, možemo navesti vremensku funkciju:

i (t) = 32.4 cos (w₀t + 33.7°) + 5.85 cos (3w₀t - 77.5°) [A]

Ton rms vrijednost struje:

Često možete obavljati provjeru ispravnosti dijela rješenja. Na primjer, kondenzator može imati jednosmerni napon, ali ne i jednosmernu struju.

primjer 3

Dobijte vremensku funkciju napona V_ab if R₁= 12 ohm, R₂ = 14 ohm, L = 25 mH, i

Prvi korak je pronalaženje funkcije prijenosa:

Zamjena numeričkih vrijednosti u jedinicama V, A, ohm, mH, mF, kHz:

Spajanje dvije tablice:

k V Sk		V abk
0 50		50
1 80		79.3 i-j66.3
2 30 ej60		29.7 i-j44.7

v_ab(t) = 50 + 79.3 cos (w₁t - 66.3°) + 29.7 cos (2w₁t - 44.7°) [V]

i rms vrijednosti: