PRINCIPI ALTERNATIVNOG TEKSTA

Kliknite ili dodirnite Primer kola ispod da biste pozvali TINACloud i izaberite Interaktivni DC režim da biste ih analizirali na mreži.
Nabavite jeftin pristup TINACloud uređivanju primjera ili kreiranju vlastitih krugova

KOMPLEKSNI BROJEVI

PASIVNE KOMPONENTE U AC KRUGOVIMA

Sinusoidalni napon se može opisati jednadžbom:

v (t) = V_M sin (ωt + Φ) ili v (t) = V_M cos (ωt + Φ)

gdje	v (t)	Trenutna vrijednost napona u voltima (V).
	V_M	Maksimalna ili vršna vrijednost napona, u voltima (V)
	T	Period: Vrijeme potrebno za jedan ciklus, u sekundama
	f	Frekvencija - broj perioda u 1 sekundi, u Hz (Hertz) ili 1 / s. f = 1 / T
	ω	Ugaona frekvencija, izražena u radijanima / s ω = 2 * π * f ili ω = 2 * π / T.
	Φ	Početna faza data u radijanima ili stepenima. Ova količina određuje vrijednost sinusnog ili kosinusnog vala att = 0.
		Napomena: Amplituda sinusnog napona ponekad se izražava kao V_Eff, efektivna ili RMS vrijednost. Ovo se odnosi na V_M prema odnosu V_M= UM2V_Eff,ili približno V_Eff= 0.707 V_M

Evo nekoliko primjera za ilustraciju gore navedenih termina.

Svojstva 220 V AC napona u kućnim električnim utičnicama u Europi:

Efektivna vrijednost: V_Eff= 220 V
Vršna vrijednost: V_M= √2 * 220 V = 311 V

Frekvencija: f = 50 1 / s = 50 Hz
Ugaona frekvencija: ω = 2 * π * f = 314 1 / s = 314 rad / s
Period: T = 1 / f = 20 ms
Funkcija vremena: v (t) = 311 sin (314 t)

Pogledajmo funkciju vremena koristeći TINA-ovu komandu Analysis / AC Analysis / Time Function.

Kliknite / dodirnite gornji krug da biste analizirali on-line ili kliknite na ovaj link da biste sačuvali u Windowsima

Možete proveriti da li je period T = 20m i da je V_M= 311 V.

Svojstva napona 120 V AC u kućnoj električnoj utičnici u SAD-u:

Efektivna vrijednost: V_Eff= 120 V
Vršna vrijednost: V_M= UM2 120 V = 169.68 V ≈ 170 V
Frekvencija: f = 60 1 / s = 60 Hz
Ugaona frekvencija: ω = 2 * π * f = 376.8 rad / s ≈ 377 rad / s
Period: T = 1 / f = 16.7 ms
Funkcija vremena: v (t) = 170 sin (377 t)

Imajte na umu da se u ovom slučaju vremenska funkcija može dati ili v (t) = 311 sin (314 t + Φ) ili v (t) = 311 cos (314 t + Φ), jer u slučaju izlaznog napona ne znaju početnu fazu.

Početna faza igra važnu ulogu kada je prisutno više napona istovremeno. Dobar praktičan primjer je trofazni sustav, gdje su prisutna tri napona iste vršne vrijednosti, oblika i frekvencije, od kojih svaki ima 120 ° fazni pomak u odnosu na ostale. U 60 Hz mreži, vremenske funkcije su:

v_A(t) = 170 sin (377 t)

v_B(t) = 170 grijeha (377 t - 120 °)

v_C(t) = 170 sin (377 t + 120 °)

Slijedeća slika sa TINA-om prikazuje krug s tim vremenskim funkcijama kao TINA-ine generatore napona.

Kliknite / dodirnite gornji krug da biste analizirali on-line ili kliknite na ovaj link da biste sačuvali u Windowsima

Razlika napona v_AB= v_A(t) - v_B(t) je prikazana kao riješena TINA-inom komandom Analysis / AC Analysis / Time Function.

Imajte na umu da je vrh v_AB (t) je približno 294 V, veći od vrha 170 V od v_A(t) ili v_B(t) naponi, ali i ne samo suma njihovih naponskih napona. To je zbog fazne razlike. Raspravićemo kako izračunati rezultirajući napon (koji je Ö3 * 170 @ 294 u ovom slučaju) kasnije u ovom poglavlju, kao iu odvojenom Trofazni sistemi poglavlje.

Karakteristične vrijednosti sinusoidnih signala

Iako se AC signal neprekidno mijenja tokom svog perioda, lako je definirati nekoliko karakterističnih vrijednosti za usporedbu jednog vala s drugim: To su vrijednosti vrha, prosjeka i srednjeg kvadrata (rms).

Već smo dostigli najveću vrijednost V_M , što je jednostavno maksimalna vrijednost vremenske funkcije, amplituda sinusoidnog vala.

Ponekad se koristi vrednost od vrha do vrha (pp). Za sinusoidne napone i struje, vršna vrijednost je dvostruka vršna vrijednost.

The prosječna vrijednost sinusnog talasa je aritmetička sredina vrijednosti pozitivnog polu-ciklusa. Takođe se zove apsolutni prosjek budući da je isti kao i prosjek apsolutne vrijednosti valnog oblika. U praksi, mi nailazimo na ovaj talasni oblik ispravljanje sinusni talas sa krugom koji se zove ispravljač punog vala.

Može se pokazati da je apsolutni prosjek sinusoidnog vala:

V_AV= 2 / π V_M UM 0.637 V_M

Imajte na umu da je prosek celog ciklusa nula.
RMS ili efektivna vrijednost sinusnog napona ili struje odgovara ekvivalentnoj DC vrijednosti koja proizvodi istu snagu grijanja. Na primer, napon sa efektivnom vrednošću 120 V proizvodi istu snagu grejanja i osvetljenja u sijalici kao i 120 V iz izvora istosmjernog napona. Može se pokazati da je efektivna ili efektivna vrednost sinusnog talasa:

V_rms = V_M/ UM2 N 0.707 V_M

Ove vrijednosti se mogu izračunati na isti način za napone i struje.

RMS vrijednost je vrlo važna u praksi. Osim ako nije drugačije naznačeno, napon AC napona (npr. 110V ili 220V) su dani u rms vrijednostima. Većina merača AC su kalibrisani u rms i ukazuju na efektivni nivo.

primjer 1 Nađite vršnu vrijednost sinusnog napona u električnoj mreži sa 220 V rms vrijednosti.

V_M = 220 / 0.707 = 311.17 V

primjer 2 Nađite vršnu vrijednost sinusnog napona u električnoj mreži sa 110 V rms vrijednosti.

V_M = 110 / 0.707 = 155.58 V

primjer 3 Pronađite (apsolutni) prosjek sinusoidalnog napona ako je njegova efektivna vrijednost 220 V.

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 311.17 = 198.26 V

primjer 4 Nađite apsolutni prosjek sinusnog napona ako je njegova efektivna vrijednost 110 V.

Vrhunac napona iz primjera 2 is155.58 V i stoga:

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 155.58 = 99.13 V

primjer 5 Pronađite odnos između apsolutnog prosjeka (V_a) i rms (V) vrijednosti za sinusoidni valni oblik.

V / V_a = 0.707 / 0.637 = 1.11

Imajte na umu da ne možete dodati prosječne vrijednosti u strujnom krugu izmjenične struje jer to dovodi do nepravilnog rezultata.

PHASORS

Kao što smo već vidjeli u prethodnom odjeljku, često je potrebno u AC krugovima dodati sinusoidne napone i struje iste frekvencije. Iako je moguće dodavati signale numerički koristeći TINA, ili primjenom trigonometrijskih odnosa, prikladnije je koristiti tzv. phasor način. Fazor je kompleksan broj koji predstavlja amplitudu i fazu sinusoidnog signala. Važno je napomenuti da phasor ne predstavlja frekvenciju, koja mora biti ista za sve faze.

Fazor se može tretirati kao kompleksan broj ili grafički predstavljen kao planarna strelica u kompleksnoj ravni. Grafički prikaz se naziva fazorski dijagram. Koristeći fazorske dijagrame, možete dodati ili oduzeti fazore u kompleksnoj ravnini pomoću pravila trokuta ili paralelograma.

Postoje dva oblika kompleksnih brojeva: pravokutni i polar.

Pravokutni prikaz je u formi + jb, gdje j = Ö-1 je imaginarna jedinica.

Polarna reprezentacija je u obliku Ae^j ^j , gdje je A apsolutna vrijednost (amplituda) i f je kut fazora od pozitivne stvarne osi, u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Koristićemo odvažan slova za složene količine.

Sada ćemo vidjeti kako izvesti odgovarajuću fazor iz vremenske funkcije.

Prvo pretpostavimo da su svi naponi u krugu izraženi u obliku kosinusnih funkcija. (Svi naponi se mogu pretvoriti u taj oblik.) Zatim phasor odgovara naponu v (t) = V_M cos ( w t+f) je: V_M= V_Me ^jf, koji se također naziva kompleksna vršna vrijednost.

Na primjer, razmotrite napon: v (t) = 10 cos ( w t + 30°)

Odgovarajući phasor je: V

Na isti način možemo izračunati vremensku funkciju iz fazora. Prvo napišemo phasor u polarnom obliku, npr V_M= V_Me ^j^ri onda je odgovarajuća funkcija vremena

v (t) = V_M (cos (wt+r).

Na primer, razmotrite fazor V_M= 10 - j20 V

Dovođenje u polarni oblik:

Stoga je vremenska funkcija: v (t) = 22.36 cos (wt - 63.5^°) V

Fazori se često koriste za definisanje kompleksne efektivne ili efektivne vrijednosti napona i struja u izmjeničnim krugovima. S obzirom na v (t) = V_Mcos (wt+r) = 10cos (wt + 30°)

Numerički:

v (t) = 10 * cos (wt-30°)

Kompleksna efektivna (rms) vrijednost: V = 0.707 * 10 * e^{- j30}^°= 7.07 e^{- j30}^° = 6.13 - j 3.535

Obrnuto: ako je kompleksna efektivna vrijednost napona:

V = - 10 + j 20 = 22.36 e^{j 116.5}^°

zatim kompleksna vršna vrijednost:

i funkcija vremena: v (t) = 31.63 cos ( wt + 116.5° ) V

Kratko opravdanje gore navedenih tehnika je kako slijedi. Dano vreme
V_M (cos ( w t+r), definišemo kompleksna funkcija vremena kao:

v (t) = V_M e^j^r e ^j^wt = V_Me ^j^wt = V_M (cos (r) + j grijeh (r)) e ^j^wt

gdje V_M =V_M e^j ^r ^t = V_M (cos (r) + j grijeh (r)) je samo faza koja je gore predstavljena.

Na primjer, kompleksna vremenska funkcija v (t) = 10 cos (wt + 30°)

v (t) = V_Me ^j^wt = 10 e^j30 e ^j^wt = 10e ^j^wt (cos (30) +) j sin (30)) = e ^j^wt (8.66 +j5)

Uvođenjem kompleksne vremenske funkcije, imamo predstavu i sa stvarnim dijelom i sa imaginarnim dijelom. Uvek možemo oporaviti originalnu realnu funkciju vremena uzimajući pravi deo našeg rezultata: v (t) = Re {v(t)}

Međutim, kompleksna funkcija vremena ima veliku prednost da, budući da sve kompleksne funkcije vremena u izmjeničnim krugovima izmjenične struje imaju isti e^j^w^tmultiplikator, možemo to faktorisati i samo raditi sa fazorima. Štaviše, u praksi ne koristimo e^j^w^tdio uopće - samo transformacije iz vremenskih funkcija u fazore i natrag.

Da bismo pokazali prednost korišćenja faza, pogledajmo sledeći primer.

primjer 6 Pronađite sumu i razliku napona:

v₁ = 100 cos (314 * t) i v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Prvo napišite fazore oba napona:

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

Otuda:

V_dodati = V_1M + V_2M = 135.35 - j 35.35 = 139.89 e^{- j 14.63}^°

V_Sub = V_1M - V_2M = 64.65 + j35.35 = 73.68 i ^{j 28.67}^°

a zatim funkcije vremena:

v_dodati(t) = 139.89 * cos (wt - 14.63°)

v_Sub(t) = 73.68 * cos (wt + 28.67°)

Kao što pokazuje ovaj jednostavan primjer, metoda phasors.je izuzetno moćan alat za rješavanje AC problema.

Rešimo problem koristeći alate u TINA-inom prevodiocu.

{Rješenje TINA-ovog tumača}
{kalkulacija v1 + v2}
v1: = 100
v2: = 50 * exp (-pi / 4 * j)
v2 = [35.3553-35.3553 * j]
v1add: = v1 + v2
v1add = [135.3553-35.3553 * j]
abs (v1add) = [139.8966]
radtodeg (arc (v1add)) = [- 14.6388]

{kalkulacija v1-v2}
v1sub: = v1-v2
v1sub = [64.6447 + 35.3553 * j]
abs (v1sub) = [73.6813]
radtodeg (arc (v1sub)) = [28.6751]

#Python rješenje!
#izračun v1+v2
uvezi matematiku kao m
import cmath kao c
v1=100
v2=50*c.exp(kompleks(0,-c.pi/4))
print(“v2=”,v2)
vadd=v1+v2
print(“vadd=”,vadd)
print(“abs(vadd)=”,abs(vadd))
print(“stepeni(arc(vadd))=”,m.degrees(c.phase(vadd)))
#izračun v1-v2
vsub=v1-v2
print(“vsub=”,vsub)
print(“abs(vsub)=”,abs(vsub))
print(“stepeni(arc(vsub))=”,m.degrees(c.phase(vsub)))

Rezultati amplitude i faze potvrđuju ručne izračune.

Sada ćemo provjeriti rezultat pomoću TINA AC analize.

Pre izvođenja analize, pobrinimo se da Osnovna funkcija za AC ia set to cosine u Opcije urednika iz menija View / Option. Objasnićemo ulogu ovog parametra na primjer 8.

Krugovi i rezultati:

Kliknite / dodirnite gornji krug da biste analizirali on-line ili kliknite na ovaj link da biste sačuvali u Windowsima

Rezultat je opet isti. Evo grafova vremenske funkcije:

primjer 7 Pronađite sumu i razliku napona:

v₁ = 100 sin (314 * t) i v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Ovaj primjer otvara novo pitanje. Do sada smo tražili da sve funkcije vremena budu date kao kosinusne funkcije. Šta da radimo sa vremenskom funkcijom datom kao sinus? Rješenje je transformirati sinusnu funkciju u kosinusnu funkciju. Koristeći trigonometrijski odnos sin (x) = cos (x-p/ 2) = cos (x-90°), naš primjer se može preformulisati na sljedeći način:

v₁ = 100 cos (314t - 90°) i v₂ = 50 cos (314 * t - 45°)

Sada su fazori napona:

V_1M = 100 e ^{- j 90}^°= -100 j V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

Otuda:

V _dodati = V_1M + V_2M = 35.53 - j 135.35

V _Sub = V_1M - V_2M = - 35.53 - j 64.47

a zatim funkcije vremena:

v_dodati(t) = 139.8966 cos (wt-75.36°)

v_Sub(t) = 73.68 cos (wt-118.68°)

Rešimo problem koristeći alate u TINA-inom prevodiocu.

{Rješenje TINA-ovog tumača}
{kalkulacija v1 + v2}
v1: = - 100 * j
v2: = 50 * exp (-pi / 4 * j)
v2 = [35.3553 - 35.3553 * j]
v1add: = v1 + v2
v1add = [35.3553-135.3553 * j]
abs (v1add) = [139.8966]
radtodeg (arc (v1add)) = [- 75.3612]

{kalkulacija v1-v2}
v1sub: = v1-v2
v1sub = [- 35.3553 - 64.6447 * j]
abs (v1sub) = [73.6813]
radtodeg (arc (v1sub)) = [- 118.6751]

Provjerimo rezultat TINA-inom AC analizom

Kliknite / dodirnite gornji krug da biste analizirali on-line ili kliknite na ovaj link da biste sačuvali u Windowsima

primjer 8

Pronađite sumu i razliku napona:

v₁ = 100 sin (314 * t) i v₂ = 50 sin (314 * t-45°)

Ovaj primjer otvara još jedno pitanje. Šta ako su svi naponi dati kao sinusni talasi i mi takođe želimo da vidimo rezultat kao sinusni talas? Mogli bismo naravno pretvoriti oba napona u kosinusne funkcije, izračunati odgovor i zatim rezultat pretvoriti u sinusnu funkciju - ali to nije potrebno. Možemo stvoriti fazore od sinusnih valova na isti način kao što smo to napravili od kosinusnih valova, a zatim jednostavno koristiti njihovu amplitudu i faze kao amplitudu i fazu sinusnih valova u rezultatu.

Ovo će očigledno dati isti rezultat kao i transformaciju sinusnih talasa u kosinusne talase. Kao što smo mogli vidjeti u prethodnom primjeru, ovo je ekvivalentno množenju s -j a zatim pomoću cos (x) = sin (x-90°) odnos za transformaciju natrag u sinusni val. Ovo je ekvivalentno množenju sa j. Drugim riječima, jer -j × j = 1, mogli bismo koristiti faze izvedene direktno iz amplitude i faze sinusnih valova da bi predstavili funkciju i zatim se direktno vratili na njih. Takođe, razmišljajući na isti način o kompleksnim vremenskim funkcijama, mogli bismo uzeti u obzir sinusne talase kao imaginarne delove kompleksnih vremenskih funkcija i dopuniti ih kosinusnom funkcijom da bismo stvorili punu kompleksnu funkciju vremena.

Pogledajmo rješenje za ovaj primjer koristeći sinusne funkcije kao bazu fazora (transformiranje grijeha ( w t) na realnu jedinicu (1)).

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

Otuda:

V _dodati = V_1M + V_2M = 135.53 - j 35.35

V _Sub = V_1M - V_2M = 64.47+ j 35.35

Imajte na umu da su phasori potpuno isti kao u primjeru 6, ali ne i vremenskim funkcijama:

v₃(t) = 139.9sin (wt - 14.64°)

v₄(t) = 73.68sin (wt + 28.68°)

Kao što vidite, vrlo je lako dobiti rezultat pomoću sinusnih funkcija, posebno kada su naši početni podaci sinusni valovi. Mnogi udžbenici radije koriste sinusni talas kao osnovnu funkciju fazora. U praksi možete koristiti bilo koji način, ali nemojte ih miješati.

Kada stvarate faze, veoma je važno da se sve funkcije vremena prvo pretvore u sinus ili kosinus. Ako ste počeli sa sinus funkcijama, vaša rješenja bi trebala biti predstavljena sine funkcijama kada se vraćate iz phasora u vremenske funkcije. Isto važi i ako počnete sa kosinusnim funkcijama.

Hajde da rešimo isti problem koristeći TINA-in interaktivni režim. Budući da želimo da koristimo sinusne funkcije kao osnovu za kreiranje faza, uverite se da Osnovna funkcija za AC je postavljeno na sine u Opcije urednika iz menija View / Option.