RESONANTE SCHALTUNGEN

Ein typischer Serienresonanzkreis ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Die Gesamtimpedanz:

In vielen Fällen stellt R den Verlustwiderstand des Induktors dar, was im Fall von Luftkernspulen einfach den Widerstand der Wicklung bedeutet. Die mit dem Kondensator verbundenen Widerstände sind oft vernachlässigbar.

Die Impedanzen des Kondensators und des Induktors sind imaginär und haben ein entgegengesetztes Vorzeichen. Bei der Frequenz w₀ L = 1 /w₀In C ist der gesamte Imaginärteil Null und daher ist die Gesamtimpedanz R mit einem Minimum an der w₀Frequenz. Diese Frequenz wird als bezeichnet Serienresonanzfrequenz.

Die typische Impedanzkennlinie der Schaltung ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Von dem w₀L = 1 /w₀Cequation, die Winkelfrequenz der Serienresonanz: oder für die Frequenz in Hz:

f₀

Dies ist die sogenannte Thomson-Formel.

Wenn R im Vergleich zu X klein ist_L, X_C Reaktanz um die Resonanzfrequenz, ändert sich die Impedanz stark an der SerienresonanzfrequenzIn diesem Fall sagen wir, dass die Schaltung gut ist Selektivität.

Die Selektivität kann mit dem gemessen werden Qualitätsfaktor Q Wenn die Winkelfrequenz in der Formel gleich der Winkelfrequenz der Resonanz ist, erhalten wir die resonanter Qualitätsfaktor Da ist ein allgemeinere Definition des Qualitätsfaktors:

Das Spannung über der Induktivität oder dem Kondensator kann viel höher sein als der Spannung der gesamten Schaltung. Bei der Resonanzfrequenz beträgt die Gesamtimpedanz des Stromkreises:

Z = R

Unter der Annahme, dass der Strom durch den Stromkreis I ist, beträgt die Gesamtspannung im Stromkreis 1

V_bis= I * R

Allerdings die Spannung an der Induktivität und dem Kondensator

Deshalb

Dies bedeutet, dass bei der Resonanzfrequenz die Spannungen an der Induktivität und dem Kondensator Q sind₀ mal größer als die Gesamtspannung des Resonanzkreises.

Der typische Lauf des V_L, V_C Die Spannungen sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Lassen Sie uns dies anhand eines konkreten Beispiels demonstrieren.

Beispiel 1

Finden Sie die Resonanzfrequenz (f₀) und den Resonanzqualitätsfaktor (Q₀) in der nachfolgenden Reihenschaltung, wenn C = 200 nF, L = 0.2 H, R = 200 Ohm und R = 5 Ohm. Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm und den Frequenzgang der Spannungen.

Für R = 200 Ohm

Dies ist ein ziemlich niedriger Wert für praktische Resonanzkreise, die normalerweise Qualitätsfaktoren über 100 aufweisen. Wir haben einen niedrigen Wert verwendet, um die Funktionsweise in einem Zeigerdiagramm einfacher zu demonstrieren.

Der Strom bei der Resonanzfrequenz I = V_s/ R = 5m>

Die Spannungen bei einem Strom von 5mA: V_R = V_s = 1 V

Inzwischen: V_L = V_C = Ich *w₀L = 5 * 10^{-3 *}5000 * 0.2 = 5V

Lassen Sie uns nun das Zeigerdiagramm sehen, indem Sie es über das AC-Analyse-Menü von TINA aufrufen.

Wir haben das Auto-Label-Werkzeug des Diagrammfensters verwendet, um das Bild mit Anmerkungen zu versehen.

Das Zeigerdiagramm zeigt deutlich, wie sich die Spannungen von Kondensator und Induktor bei der Resonanzfrequenz gegenseitig aufheben.

Nun wollen wir V sehen_Lund V_Cgegen die Frequenz.

Beachten Sie, dass V_L beginnt mit der Spannung von Null (weil ihre Reaktanz bei der Frequenz von Null Null ist), während V_C startet von 1 V (weil seine Reaktanz bei der Frequenz Null unendlich ist). Ebenso V_L neigt zu 1V und V_Cbis 0V bei hohen Frequenzen.

Nun ist der Qualitätsfaktor für R = 5 Ohm viel größer:

Dies ist ein relativ hoher Qualitätsfaktor, der den praktisch erreichbaren Werten nahe kommt.

Der Strom bei der Resonanzfrequenz I = V_s/ R = 0.2A

Inzwischen: V_L = V_C = Ich *w₀L = 0.2 * 5000 * 0.2 = 200

Wieder entspricht das Verhältnis der Spannungen dem Qualitätsfaktor!

Zeichnen wir nun nur V._L und V_C Spannungen gegen Frequenz. Auf dem Zeigerdiagramm ist V._R wäre im Vergleich zu V zu klein_Lund V_C

Wie wir sehen können, ist die Kurve sehr scharf und wir mussten 10,000 Punkte zeichnen, um den Maximalwert genau zu erhalten. Unter Verwendung einer schmaleren Bandbreite auf der linearen Skala auf der Frequenzachse erhalten wir die detailliertere Kurve unten.

Lassen Sie uns abschließend die Impedanzcharakteristik der Schaltung betrachten: für verschiedene Qualitätsfaktoren.

Die folgende Abbildung wurde mit TINA erstellt, indem der Spannungsgenerator durch einen Impedanzmesser ersetzt wurde. Richten Sie außerdem eine Parameterschrittliste für R = 5, 200 und 1000 Ohm ein. Um die Parameterstufe einzurichten, wählen Sie im Menü Analyse die Option Steuerobjekt, bewegen Sie den Cursor (der sich in ein Widerstandssymbol geändert hat) auf den Widerstand im Schaltplan und klicken Sie mit der linken Maustaste. Um eine logarithmische Skala auf der Impedanzachse festzulegen, haben wir auf die vertikale Achse doppelklicken und die Skalierung auf Logarithmisch und die Grenzwerte auf 1 und 10k festgelegt.

PARALLE RESONANZ

Der reine Parallelschwingkreis ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Wenn wir den Verlustwiderstand des Induktors vernachlässigen, repräsentiert R den Leckwiderstand des Kondensators. Wie wir weiter unten sehen werden, kann der Verlustwiderstand des Induktors jedoch in diesen Widerstand umgewandelt werden.

Die Gesamtzulassung:

Die Admittanzen (als Suszeptanzen bezeichnet) des Kondensators und der Induktivität sind imaginär und haben ein entgegengesetztes Vorzeichen. Bei der Frequenz w₀C = 1 /w₀Der gesamte Imaginärteil ist Null, daher beträgt die Gesamtaufnahme 1 / R - sein Minimalwert und der Die Gesamtimpedanz hat ihren maximalen Wert. Diese Frequenz wird als bezeichnet Parallelresonanzfrequenz.

Die Gesamtimpedanzcharakteristik des reinen Parallelschwingkreises ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Beachten Sie, dass sich die Impedanz ändert sehr schnell um die Resonanzfrequenz, obwohl wir eine logarithmische Impedanzachse für eine bessere Auflösung verwendet haben. Die gleiche Kurve mit einer linearen Impedanzachse ist unten gezeigt. Beachten Sie, dass sich bei dieser Achse die Impedanz in der Nähe der Resonanz noch schneller zu ändern scheint.

Die Suszeptanzen von Induktivität und Kapazität sind gleich, haben jedoch bei Resonanz ein entgegengesetztes Vorzeichen: B._L = B_C, 1 /w₀L = w₀C, daher die Winkelfrequenz der Parallelresonanz:

wieder bestimmt durch die Thomson-Formel.

Auflösen der Resonanzfrequenz in Hz:

Bei dieser Frequenz ist die Admittanz Y = 1 / R = G und ist auf ihrem Minimum (dh die Impedanz ist maximal). Das Strömungen Durch die Induktivität und die Kapazität kann dann viel höher sein Strom der gesamten Schaltung. Wenn R relativ groß ist, ändern sich die Spannung und die Admittanz stark um die Resonanzfrequenz. In diesem Fall sagen wir, dass die Schaltung gut ist Selektivität.

Selektivität kann mit dem gemessen werden Qualitätsfaktor Q

Wenn die Winkelfrequenz der Winkelfrequenz der Resonanz entspricht, erhalten wir die resonanter Qualitätsfaktor

Es gibt auch eine allgemeinere Definition des Qualitätsfaktors:

Eine weitere wichtige Eigenschaft des Parallelschwingkreises ist dessen Bandbreite. Die Bandbreite ist der Unterschied zwischen den beiden Grenzfrequenzen wo die Impedanz von ihrem Maximalwert auf abfällt das Maximum.

Es kann gezeigt werden, dass das Δf Die Bandbreite wird durch die folgende einfache Formel bestimmt:

Diese Formel gilt auch für Serienresonanzkreise.

Lassen Sie uns die Theorie anhand einiger Beispiele demonstrieren.

Beispiel 2

Bestimmen Sie die Resonanzfrequenz und den Resonanzgütefaktor eines reinen Parallelschwingkreises mit R = 5 kohm, L = 0.2 H, C = 200 nF.

Die resonanzfrequenz:

und der resonante Qualitätsfaktor:

Dieser Qualitätsfaktor ist übrigens gleich I_L /I_R bei der Resonanzfrequenz.

Nun lassen Sie uns das Impedanzdiagramm der Schaltung zeichnen:

Am einfachsten ist es, die Stromquelle durch ein Impedanzmessgerät zu ersetzen und eine AC-Transfer-Analyse durchzuführen.

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Die obige "reine" Parallelschaltung war sehr einfach zu untersuchen, da alle Komponenten parallel waren. Dies ist besonders wichtig, wenn der Stromkreis mit anderen Teilen verbunden ist.

In dieser Schaltung wurde jedoch der Serienverlustwiderstand der Spule nicht berücksichtigt.

Lassen Sie uns nun den folgenden sogenannten "echten Parallelresonanzkreis" mit dem Serienverlustwiderstand der vorhandenen Spule untersuchen und lernen, wie wir ihn in einen "reinen" Parallelkreis umwandeln können.

Die äquivalente Impedanz:

Untersuchen wir diese Impedanz bei der Resonanzfrequenz, bei der 1-w₀²LC = 0

Wir gehen auch davon aus, dass der Qualitätsfaktor Q_o = w_oL / R_L>> 1.

Da bei Resonanzfrequenzw₀L = 1 /w₀C

Z_eq=Q_o² R_L

Denn im reinen Parallelschwingkreis liegt die Resonanzfrequenz Z_eq = R, der reale Parallelresonanzkreis kann durch einen reinen Parallelresonanzkreis ersetzt werden, wobei:

R = Q_o² R_L

Beispiel 3

Vergleichen Sie die Impedanzdiagramme einer reellen Parallelschaltung und deren äquivalenten reinen Parallelschwingkreis.

Die resonante (Thomson) Frequenz:

Das Impedanzdiagramm ist das folgende:

Der äquivalente Parallelwiderstand: R_eq = Q_o² R_L = 625 Ohm

Die äquivalente Parallelschaltung:

Das Impedanzdiagramm:

Wenn wir schließlich Kopieren und Einfügen verwenden, um beide Kurven in einem Diagramm anzuzeigen, erhalten wir das folgende Bild, in dem die beiden Kurven zusammenfallen.

Der berechnete Wert:

Z_max = 625 Ohm. Die Impedanzgrenzen, die die Grenzfrequenzen definieren, sind:

Der Unterschied der AB-Cursor beträgt 63.44 Hz, was sehr gut mit dem theoretischen Ergebnis von 63.8 Hz übereinstimmt, selbst wenn die Ungenauigkeit des grafischen Verfahrens berücksichtigt wird.