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Wie wir im vorherigen Kapitel gesehen haben, können Impedanz und Admittanz nach denselben Regeln wie für Gleichstromkreise manipuliert werden. In diesem Kapitel werden wir diese Regeln demonstrieren, indem wir die Gesamtimpedanz oder die äquivalente Impedanz für Serien-, Parallel- und Serien-Parallel-Wechselstromkreise berechnen.
Beispiel 1
Finden Sie die äquivalente Impedanz der folgenden Schaltung:
R = 12 Ohm, L = 10 mH, f = 159 Hz
Die Elemente sind in Reihe geschaltet, daher erkennen wir, dass ihre komplexen Impedanzen hinzugefügt werden sollten:
Zeq = ZR + ZL = R + j w L = 12 + j* 2 *p* 159 * 0.01 = (12 + j 9.99) Ohm = 15.6 ej39.8° Ohm.
Yeq = 1 /Zeq = 0.064 e- j 39.8° S = 0.0492 - j 0.0409 S
Wir können dieses Ergebnis mit Impedanzmessern und dem Zeigerdiagramm in veranschaulichen
TINA v6. Da das Impedanzmessgerät von TINA ein aktives Gerät ist und wir zwei davon verwenden werden, müssen wir die Schaltung so anordnen, dass sich die Messgeräte nicht gegenseitig beeinflussen.
Wir haben eine weitere Schaltung nur zur Messung der Teilimpedanzen erstellt. In dieser Schaltung „sehen“ die beiden Meter nicht die Impedanz des anderen.
Das Analyse / AC-Analyse / Zeigerdiagramm Der Befehl zeichnet die drei Zeiger in einem Diagramm. Wir haben das benutzt Auto-Aufkleber Befehl zum Hinzufügen der Werte und der Line Befehl des Diagrammeditors zum Hinzufügen der gestrichelten Hilfslinien für die Parallelogrammregel.
Die Schaltung zur Messung der Impedanzen der Teile
Zeigerdiagramm, das den Aufbau von Z zeigteq mit der Parallelogrammregel
Wie das Diagramm zeigt, beträgt die Gesamtimpedanz Zeq, kann als ein komplexer resultierender Vektor betrachtet werden, der mit dem Parallelogrammregel von den komplexen Impedanzen ZR und ZL.
Beispiel 2
Finden Sie die äquivalente Impedanz und Admittanz dieser Parallelschaltung:
R = 20 Ohm, C = 5 mF, f = 20 kHz
Der Eintritt:
Die Impedanz mit der Zbis= Z1 Z2 / (Z1 + Z2 ) Formel für parallele Impedanzen:
TINA kann dieses Problem auch mit dem Interpreter lösen:
om: = 2 * pi * 20000;
Z: = Replus (R, (1 / j / om / C))
Z = [125.8545m-1.5815 * j]
Y: = 1 / R + j * om * C;
Y = [50m + 628.3185m * j]
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#Definieren Sie zuerst Replus mit Lambda:
Replus= Lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
#Vereinfachen wir den Ausdruck von Komplexen
#Zahlen für mehr Transparenz:
cp= lambda Z : „{:.4f}“.format(Z)
om=2*c.pi*20000
Z=Replus(R,1/complex(0,1/om/C))
print(“Z=",cp(Z))
Y=komplex(1/R,om*C)
print(“Y=",cp(Y))
Beispiel 3
Finden Sie die äquivalente Impedanz dieser Parallelschaltung. Es werden dieselben Elemente wie in Beispiel 1 verwendet:
R = 12 Ohm und L = 10 mH bei f = 159 Hz Frequenz.
Bei Parallelschaltungen ist es oft einfacher, zuerst die Admittanz zu berechnen:
Yeq = YR + YL = 1 / R + 1 / (j*2*p*f * L) = 1 / 12 - j / 10 = 0.0833 - j 0.1 = 0.13 e-j 50° S
Zeq = 1 / Yeq = 7.68 e j 50° Ohm.
TINA kann dieses Problem auch mit dem Interpreter lösen:
f: = 159;
om: = 2 * pi * f;
Zeq: = Replus (R, j * om * L);
Zeq = [4.9124 + 5.9006 * j]
Mathe als m importieren
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#Definieren Sie zuerst Replus mit Lambda:
Replus= Lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
#Vereinfachen wir den Ausdruck von Komplexen
#Zahlen für mehr Transparenz:
cp= lambda Z : „{:.4f}“.format(Z)
f = 159
om=2*c.pi*f
Zeq=Replus(R,complex(1j*om*L))
print(“Zeq=",cp(Zeq))
Beispiel 4
Finden Sie die Impedanz einer Reihenschaltung mit R = 10 Ohm, C = 4 mF und L = 0.3 mH bei einer Winkelfrequenz w = 50 krad / s (f= w / 2p = 7.957 kHz).
Z = R + j w L - j / wC = 10 + j 5*104 * 3 * 10-4 - j / (5 * 104 * 4 * 10-6 ) = 10 + j 15 - j 5
Z = (10 + j 10) Ohm = 14.14 undj 45° Ohm.
Die Schaltung zur Messung der Impedanzen der Teile
Das von TINA erzeugte Zeigerdiagramm
Beginnen wir mit dem obigen Zeigerdiagramm und verwenden wir das Dreieck oder die geometrische Konstruktionsregel, um die äquivalente Impedanz zu ermitteln. Wir beginnen damit, den Schwanz von zu bewegen ZR an die Spitze von ZL. Dann bewegen wir den Schwanz von ZC an die Spitze von ZR. Nun das Ergebnis Zeq schließt das Polygon genau ab dem Ende des ersten ZR Zeiger und endet an der Spitze von ZC.
Das Zeigerdiagramm zeigt die geometrische Konstruktion von Zeq
om: = 50k;
ZR: = R;
ZL: = om * L;
ZC: = 1 / om / C;
Z: = ZR + j · ZL - j · ZC;
Z = [10 + 10 * j]
abs (Z) = [14.1421]
Radtodeg (Bogen (Z)) = [45]
{andere Weise}
Zeq: = R + j * om * L + 1 / j / om / C;
Zeq = [10 + 10 * j]
Abs (Zeq) = [14.1421]
fi: = Bogen (Z) · 180 / pi;
fi = [45]
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#Vereinfachen wir den Ausdruck von Komplexen
#Zahlen für mehr Transparenz:
cp= lambda Z : „{:.4f}“.format(Z)
om=50000
ZR=R
ZL=om*L
ZC=1/om/C
Z=ZR+1j*ZL-1j*ZC
print(“Z=",cp(Z))
print(“abs(Z)= %.4f”%abs(Z))
print(“degrees(arc(Z))= %.4f”%m.degrees(c.phase(Z)))
#andere Weise
Zeq=R+1j*om*L+1/1j/om/C
print(“Zeq=",cp(Zeq))
print(“abs(Zeq)= %.4f”%abs(Zeq))
fi=c.phase(Z)*180/c.pi
print(“fi=",cp(fi))
Überprüfen Sie Ihre Berechnungen mit TINAs Analysemenü Knotenspannungen berechnen. Wenn Sie auf das Impedanzmessgerät klicken, zeigt TINA sowohl die Impedanz als auch die Admittanz an und gibt die Ergebnisse in algebraischer und exponentieller Form an.
Da die Impedanz der Schaltung wie eine Induktivität eine positive Phase hat, können wir sie eine nennen induktive Schaltung- Zumindest bei dieser Frequenz!
Beispiel 5
Suchen Sie ein einfacheres Seriennetzwerk, das die Serienschaltung von Beispiel 4 (bei der angegebenen Frequenz) ersetzen könnte.
Wir haben in Beispiel 4 festgestellt, dass das Netzwerk ist induktiv, so können wir es durch einen 4 Ohm Widerstand und eine 10 Ohm induktive Reaktanz in Reihe ersetzen:
XL = 10 = w* L = 50 * 103 L
® L = 0.2 mH
Vergessen Sie nicht, dass diese Äquivalenz nur für gilt, da die induktive Reaktanz von der Frequenz abhängt dank One Frequenz.
Beispiel 6
Ermitteln Sie die Impedanz von drei parallel geschalteten Komponenten: R = 4 Ohm, C = 4 mF und L = 0.3 mH bei einer Winkelfrequenz w = 50 krad / s (f = w / 2p = 7.947 kHz).
Da dies eine Parallelschaltung ist, lösen wir zunächst die Zulassung:
1/Z = 1 / R + 1 / j w L + jwC = 0.25 - j / 15 +j0.2 = 0.25 +j 0.1333
Z = 1 / (0.25 + j 0.133) = (0.25 - j 0.133) / 0.0802 = 3.11 - j 1.65 = 3.5238 e-j 28.1° Ohm.
om: = 50k;
ZR: = R;
ZL: = om * L;
ZC: = 1 / om / C;
Z: = 1 / (1 / R + 1 / j / ZL-1 / j / ZC);
Z = [3.1142-1.6609 * j]
abs (Z) = [3.5294]
fi: = radtodeg (Bogen (Z));
fi = [- 28.0725]
Mathe als m importieren
cmath als c importieren
#Vereinfachen wir den Ausdruck von Komplexen
#Zahlen für mehr Transparenz:
cp= lambda Z : „{:.4f}“.format(Z)
#Replus mit Lambda definieren:
Replus= Lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om=50000
ZR=R
ZL=om*L
ZC=1/om/C
Z=1/(1/R+1/1j/ZL-1/1j/ZC)
print(“Z=",cp(Z))
print(“abs(Z)= %.4f”%abs(Z))
fi=m.Grad(c.Phase(Z))
print(“fi= %.4f”%fi)
#ein anderer Weg
Zeq=Replus(R,Replus(1j*om*L,1/1j/om/C))
print(“Zeq=",cp(Zeq))
print(“abs(Zeq)= %.4f”%abs(Zeq))
print(“degrees(arc(Zeq))= %.4f”%m.degrees(c.phase(Zeq)))
Der Interpreter berechnet die Phase im Bogenmaß. Wenn Sie eine Phase in Grad wünschen, können Sie von Bogenmaß in Grad umrechnen, indem Sie mit 180 multiplizieren und durch dividieren p. In diesem letzten Beispiel sehen Sie einen einfacheren Weg: Verwenden Sie die in den Interpreter integrierte Funktion radtodeg. Es gibt auch eine Umkehrfunktion, degtorad. Beachten Sie, dass die Impedanz dieses Netzwerks wie ein Kondensator eine negative Phase hat. Wir sagen also, dass es sich bei dieser Frequenz um eine handelt kapazitive Schaltung.
In Beispiel 4 haben wir drei passive Komponenten in Reihe geschaltet, während wir in diesem Beispiel dieselben drei Elemente parallel geschaltet haben. Ein Vergleich der bei derselben Frequenz berechneten äquivalenten Impedanzen zeigt, dass sie völlig unterschiedlich sind, selbst wenn sie induktiv oder kapazitiv sind.
Beispiel 7
Suchen Sie ein einfaches Seriennetzwerk, das die Parallelschaltung von Beispiel 6 (bei der angegebenen Frequenz) ersetzen könnte.
Dieses Netzwerk ist aufgrund der negativen Phase kapazitiv, daher versuchen wir, es durch eine Reihenschaltung eines Widerstands und eines Kondensators zu ersetzen:
Zeq = (3.11 - j 1.66) Ohm = Re -j / wCe
Re = 3.11 Ohm w* C = 1 / 1.66 = 0.6024
daher
Re = 3.11 Ohm
C = 12.048 mF
In beiden Beispielen können Sie natürlich die Parallelschaltung durch eine einfachere Parallelschaltung ersetzen
Beispiel 8
Finden Sie die äquivalente Impedanz der folgenden komplizierteren Schaltung bei der Frequenz f = 50 Hz:
om: = 2 * pi * 50;
Z1: = R3 + j * om * L3;
Z2: = Replus (R2,1 / j / om / C);
Zeq: = R1 + Replus (Z1, Z2);
Zeq = [55.469-34.4532 * j]
abs (Zeq) = [65.2981]
Radtodeg (Bogen (Zeq)) = [- 31.8455]
Mathe als m importieren
cmath als c importieren
#Vereinfachen wir den Ausdruck von Komplexen
#Zahlen für mehr Transparenz:
cp= lambda Z : „{:.4f}“.format(Z)
#Replus mit Lambda definieren:
Replus= Lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om=2*c.pi*50
Z1=R3+1j*om*L3
Z2=Replus(R2,1/1j/om/C)
Zeq=R1+Replus(Z1,Z2)
print(“Zeq=",cp(Zeq))
print(“abs(Zeq)= %.4f”%abs(Zeq))
print(“degrees(arc(Zeq))= %.4f”%m.degrees(c.phase(Zeq)))
Wir brauchen eine Strategie, bevor wir beginnen. Zuerst reduzieren wir C und R2 auf eine äquivalente Impedanz, Z.RC. Dann zu sehen, dass ZRC parallel zu den in Reihe geschalteten L3 und R3 werden wir die äquivalente Impedanz ihrer Parallelschaltung Z berechnen2. Schließlich berechnen wir Zeq als die Summe von Z1 und Z2.
Hier ist die Berechnung von Z.RC:
Hier ist die Berechnung von Z.2:
Und schließlich:
Zeq = Z1 + Z2 = (55.47 - j 34.45) Ohm = 65.3 e-j31.8° Ohm
nach dem Ergebnis von TINA.
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