RESONANT CIRCUITS

En typisk serie resonanskrets visas i figuren nedan.

Den totala impedansen:

I många fall representerar R förlustmotståndet för induktorn, vilket i fallet med luftkärnspolar helt enkelt betyder lindningens motstånd. Motstånden förknippade med kondensatorn är ofta försumbara.

Impedanserna för kondensatorn och induktorn är imaginära och har motsatt tecken. Vid frekvensen w₀ L = 1 /w₀C, den totala imaginära delen är noll och därför är den totala impedansen R, med ett minimum vid w₀frekvens. Denna frekvens kallas serieresonansfrekvens.

Den typiska impedansegenskapen hos kretsen visas i figuren nedan.

Från w₀L = 1 /w₀Cequation, vinkelfrekvensen för seriens resonans: eller för frekvensen i Hz:

f₀

Detta är den så kallade Thomson formel.

Om R är liten jämfört med X_L, X_C reaktans kring resonansfrekvensen, förändras impedansen kraftigt vid serie resonansfrekvensI det här fallet säger vi att kretsen har bra selektivitet.

Selektiviteten kan mätas av kvalitetsfaktor Q Om vinkelfrekvensen i formeln är lika med resonansvinkelfrekvensen, får vi resonanskvalitetsfaktor Det finns en mer generell definition av kvalitetsfaktorn:

Smakämnen spänning över induktorn eller kondensatorn kan vara mycket högre än den spänning av den totala kretsen. Vid resonansfrekvensen är kretsens totala impedans:

Z = R

Antag att strömmen genom kretsen är jag, den totala spänningen på kretsen är

V_totalt= I * R

Emellertid spänningen på induktorn och kondensatorn

Därför

Det betyder att vid resonansfrekvensen är spänningarna på induktorn och kondensatorn Q₀ gånger större än resonanskretsens totala spänning.

Den typiska körningen av V_L, V_C spänningar visas i figuren nedan.

Låt oss demonstrera detta via ett konkret exempel.

Exempelvis 1

Hitta frekvensen av resonans (f₀) och den resonanta kvalitetsfaktorn (Q₀) i seriekretsen nedan, om C = 200nF, L = 0.2H, R = 200 ohm, och R = 5 ohm. Rita fasdiagrammet och frekvenssvaret för spänningarna.

För R = 200 ohm

Detta är ett ganska lågt värde för praktiska resonanskretsar, som normalt har kvalitetsfaktorer över 100. Vi har använt ett lågt värde för att lättare demonstrera operationen på ett fasdiagram.

Strömmen vid resonansfrekvensen I = V_s/ R = 5m>

Spänningarna vid strömmen av 5mA: V_R = V_s = 1 V

under tiden: V_L = V_C = Jag *w₀L = 5 * 10^{-3 *}5000 * 0.2 = 5V

Låt oss nu se fasdiagrammet genom att anropa det från AC-menyn i TINA.

Vi använde verktyget Auto Label i diagramfönstret för att kommentera bilden.

Fasordiagrammet visar fint hur spänningarna i kondensatorn och induktorn avbryter varandra vid resonansfrekvensen.

Låt oss nu se V_Loch V_Cmot frekvens.

Observera att V_L startar från nollspänning (eftersom dess reaktans är noll vid nollfrekvens) medan V_C startar från 1 V (eftersom dess reaktans är oändlig vid nollfrekvens). På samma sätt V_L tenderar att 1V och V_Ctill 0V vid höga frekvenser.

Nu för R = 5 ohm är kvalitetsfaktorn mycket större:

Detta är en relativt hög kvalitetsfaktor, nära de praktiskt uppnåliga värdena.

Strömmen vid resonansfrekvensen I = V_s/ R = 0.2A

under tiden: V_L = V_C = Jag *w₀L = 0.2 * 5000 * 0.2 = 200

Återigen är förhållandet mellan spänningarna lika med kvalitetsfaktorn!

Låt oss nu rita bara V_L och V_C spänningar kontra frekvens. På fasdiagrammet, V_R skulle vara för liten jämfört med V_Loch V_C

Som vi kan se är kurvan mycket skarp och vi behövde plotta 10,000 XNUMX poäng för att få maximalt värde exakt. Med hjälp av en smalare bandbredd på den linjära skalan på frekvensaxeln får vi den mer detaljerade kurvan nedan.

Låt oss slutligen se impedanskaraktäristiken för kretsen: för olika kvalitetsfaktorer.

Figuren nedan skapades med TINA genom att ersätta spänningsgeneratorn med en impedansmätare. Sätt också upp en parametersteglista för R = 5, 200 och 1000 ohm. För att ställa in parametersteg, välj Control Object från analysmenyn, flytta markören (som har ändrats till en motståndssymbol) till motståndet på schemat och klicka med vänster musknapp. För att ställa in en logaritmisk skala på Impedansaxeln har vi dubbelklickat på den vertikala axeln och ställt in Skala till Logaritmisk och gränserna till 1 och 10k.

PARALLE RESONANCE

Den rena parallella resonanskretsen visas i figuren nedan.

Om vi ​​försummar induktorns förlustmotstånd representerar R kondensatorns läckmotstånd. Som vi ser nedan kan emellertid induktorns förlustmotstånd omvandlas till detta motstånd.

Total inträde:

Tillträdena (kallade mottagningar) av kondensatorn och induktorn är imaginära och har motsatt tecken. Vid frekvensen w₀C = 1 /w₀Den totala imaginära delen är noll, så den totala tillträdet är 1 / R - dess minimivärde och total impedans har sitt maximala värde. Denna frekvens kallas parallell resonansfrekvens.

Den totala impedansegenskapen hos den rena parallella resonanskretsen visas i figuren nedan:

Observera att impedansen ändras väldigt snabbt runt resonansfrekvensen, även om vi använde en logaritmisk impedansaxel för bättre upplösning. Samma kurva med en linjär impedansaxel visas nedan. Observera att med denna axel verkar impedansen förändras ännu snabbare nära resonans.

Sanctanserna för induktans och kapacitans är lika men med motsatt tecken vid resonans: B_L = B_C, 1 /w₀L = w₀C, därav vinkelfrekvensen för den parallella resonansen:

bestämd igen av Thomson formel.

Lösning för resonansfrekvensen i Hz:

Vid denna frekvens är tillträde Y = 1 / R = G och är vid sitt minimum (dvs. impedansen är maximal). De strömmar genom induktansen och kapacitansen kan vara mycket högre än den ström av den totala kretsen. Om R är relativt stor förändras spänningen och tillträdet kraftigt runt resonansfrekvensen. I detta fall säger vi att kretsen har bra selektivitet.

Selektivitet kan mätas av kvalitetsfaktor Q

När vinkelfrekvensen motsvarar vinkelfrekvensen för resonans får vi resonanskvalitetsfaktor

Det finns också en mer generell definition av kvalitetsfaktorn:

En annan viktig egenskap hos parallellresonanskretsen är dess bandbredd. Bandbredden är skillnaden mellan de två cutoff frekvenser, där impedansen sjunker från sitt maximala värde till maximalt.

Det kan visas att Δf bandbredd bestäms av följande enkla formel:

Denna formel är också tillämplig för serie resonanskretsar.

Låt oss visa teorin genom några exempel.

Exempelvis 2

Hitta resonansfrekvensen och resonanskvalitetsfaktorn för en ren parallellresonanskrets där R = 5 kohm, L = 0.2 H, C = 200 nF.

Resonansfrekvensen:

och resonanskvalitetsfaktorn:

För övrigt är denna kvalitetsfaktor lika med jag_L /I_R vid resonansfrekvensen.

Låt oss nu rita kretsens impedansschema:

Det enklaste sättet är att ersätta den aktuella källan med en impedansmätare och köra en AC-överföringsanalys.

<

Den "rena" parallella kretsen ovan var mycket lätt att undersöka eftersom alla komponenter var parallella. Detta är särskilt viktigt när kretsen är ansluten till andra delar.

I denna krets beaktades emellertid inte spolens förlustmotstånd.

Låt oss nu undersöka följande så kallade "riktiga parallella resonanskrets", med seriens förlustmotstånd hos spolen närvarande och lära oss hur vi kan förvandla den till en "ren" parallellkrets.

Den ekvivalenta impedansen:

Låt oss undersöka denna impedans vid resonansfrekvensen där 1-w₀²LC = 0

Vi kommer också att anta att kvalitetsfaktorn Q_o = w_oL / R_L>> 1.

Sedan vid resonansfrekvensw₀L = 1 /w₀C

Z_eq=Q_o² R_L

Eftersom i den rena parallella resonanskretsen vid resonansfrekvensen Z_eq = R, den verkliga parallella resonanskretsen kan ersättas med en ren parallell resonanskrets, där:

R = Q_o² R_L

Exempelvis 3

Jämför impedansdiagrammen för en riktig parallell och dess ekvivalenta rena parallella resonanskrets.

Resonans (Thomson) frekvens:

Impedansdiagrammet är följande:

Det ekvivalenta parallella motståndet: R_eq = Q_o² R_L = 625 ohm

Den ekvivalenta parallella kretsen:

Impedansdiagrammet:

Slutligen, om vi använder kopiera och klistra in för att se båda kurvorna på ett diagram, får vi följande bild där de två kurvorna sammanfaller.

Det beräknade värdet:

Z_max = 625 ohm. Impedansgränserna som definierar cutofffrekvenserna är:

Skillnaden mellan AB-markörerna är 63.44 Hz, vilket är i mycket bra överensstämmelse med det teoretiska 63.8 Hz-resultatet, även med hänsyn till felaktigheten i den grafiska proceduren.