Überlagerung in Wechselstromkreisen

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SPANNUNG UND AKTUELLE ABTEILUNG

THÉVENIN- UND NORTON-GLEICHSTELLUNGSKREISE

Wir haben bereits den Überlagerungssatz für Gleichstromkreise untersucht. In diesem Kapitel zeigen wir die Anwendung für Wechselstromkreise.

DasÜberlagerungssatz gibt an, dass in einer linearen Schaltung mit mehreren Quellen der Strom und die Spannung für jedes Element in der Schaltung die Summe der Ströme und Spannungen sind, die von jeder Quelle erzeugt werden, die unabhängig wirkt. Der Satz gilt für jede lineare Schaltung. Der beste Weg, die Überlagerung mit Wechselstromkreisen zu verwenden, besteht darin, den komplexen Effektiv- oder Spitzenwert des Beitrags jeder einzeln angelegten Quelle zu berechnen und dann die komplexen Werte zu addieren. Dies ist viel einfacher als die Überlagerung mit Zeitfunktionen, bei denen die einzelnen Zeitfunktionen hinzugefügt werden müssen.

Um den Beitrag jeder Quelle unabhängig zu berechnen, müssen alle anderen Quellen entfernt und ersetzt werden, ohne das Endergebnis zu beeinflussen.

Beim Entfernen einer Spannungsquelle muss deren Spannung auf Null gesetzt werden, was dem Ersetzen der Spannungsquelle durch einen Kurzschluss entspricht.

Beim Entfernen einer Stromquelle muss ihr Strom auf Null gesetzt werden, was dem Ersetzen der Stromquelle durch einen offenen Stromkreis entspricht.

Lassen Sie uns nun ein Beispiel untersuchen.

In der unten gezeigten Schaltung

R_i = 100 Ohm, R₁= 20 Ohm, R₂ = 12 Ohm, L = 10 uH, C = 0.3 nF, v_S(t) = 50cos (wt) V, ich_S(t) = 1cos (wt + 30 °) A, f = 400 kHz.

Beachten Sie, dass beide Quellen dieselbe Frequenz haben: Wir werden in diesem Kapitel nur mit Quellen arbeiten, die alle dieselbe Frequenz haben. Andernfalls muss die Überlagerung anders gehandhabt werden.

Finde die Ströme i (t) und i₁(t) Verwenden des Überlagerungssatzes.

Klicken Sie auf die Schaltung oben, um die Online-Analyse durchzuführen, oder klicken Sie auf diesen Link, um unter Windows zu speichern

Verwenden wir parallel TINA- und Handberechnungen, um das Problem zu lösen.

Ersetzen Sie zuerst die Stromquelle durch einen offenen Stromkreis und berechnen Sie die komplexen Zeiger I ', I1' aufgrund des beitrags erst ab VS.

Die Ströme sind in diesem Fall gleich:

I'= I₁'= V_S/ (R_i + R₁ + j* w* L) = 50 / (120+j2* p* * 4 10⁵* 10^-5) = 0.3992-j0.0836

I'= 0.408 e^j^11.83^°A

Ersetzen Sie als nächstes einen Kurzschluss für die Spannungsquelle und berechnen Sie die komplexen Zeiger Ich ”, I1” aufgrund des beitrags erst ab IST.

In diesem Fall können wir die aktuelle Divisionsformel verwenden:

I ”= -0.091 - j 0.246 A

und

I₁^" = 0.7749 + j 0.2545 A

Die Summe der beiden Schritte:

I = I'+ I”= 0.3082 - j 0.3286 = 0.451 e^{- j46.9} ^°A

I₁ = I₁^" + I₁'= 1.174 + j 0.1709 = 1.1865 e^j^8.28 ^°A

Diese Ergebnisse stimmen gut mit den von TINA berechneten Werten überein:

Die Zeitfunktionen der Ströme:

i (t) = 0.451 cos ( w × t - 46.9 ° )A

i₁(t) = 1.1865 cos ( w × t + 8.3 ° )A

In ähnlicher Weise stimmen auch die Ergebnisse des Dolmetschers von TINA überein:

{Lösung durch den TINA-Dolmetscher}
f: = 400000;
Vs: = 50;
IG: = 1 * exp (j * pi / 6);
om: = 2 * pi * f;
sys I, I1
I + IG = I1
Vs = I * Ri + I1 * (R1 + j * om * L)
end;
I = [308.093m-329.2401m * j]
abs (I) = [450.9106m]
Radtodeg (Bogen (I)) = [- 46.9004]
abs (I1) = [1.1865]
Radtodeg (Bogen (I1)) = [8.2749]

#Lösung von Python!
Mathe als m importieren
cmath als c importieren
#Vereinfachen wir den Ausdruck von Komplexen
#Zahlen für mehr Transparenz:
cp= lambda Z : „{:.4f}“.format(Z)
f = 400000
Vs=50
IG=1*c.exp(complex(1j)*c.pi/6)
om=2*c.pi*f
#Wir haben ein [lineares System] von Gleichungen
#dass wir nach I, I1 lösen wollen:
#I+IG=I1
#Vs=I*Ri+I1*(R1+j*om*L)
numpy als n importieren
#Schreiben Sie die Matrix der Koeffizienten auf:
A=n.array([[-1,1],[Ri,complex(R1+1j*om*L)]])
#Schreiben Sie die Matrix der Konstanten auf:
b=n.array([IG,Vs])
x=n.linalg.solve(A,b)
I,I1=x
print(“I=",cp(I))
print(“abs(I)= %.4f”%abs(I))
print(“degrees(arc(I))= %.4f”%m.degrees(c.phase(I)))
print(“abs(I1)= %.4f”%abs(I1))
print(“degrees(arc(I1))= %.4f”%m.degrees(c.phase(I1)))

Wie wir im DC-Kapitel über Überlagerung gesagt haben, wird es mit dem Überlagerungssatz für Schaltungen, die mehr als zwei Quellen enthalten, ziemlich kompliziert. Während der Überlagerungssatz zur Lösung einfacher praktischer Probleme nützlich sein kann, liegt seine Hauptanwendung in der Theorie der Schaltungsanalyse, wo er zum Beweis anderer Sätze verwendet wird.

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