KOMPLEKSNI BROJEVI

Kliknite ili Dodirnite primjer krugova u nastavku da biste pozvali TINACloud i odaberite Interaktivni DC način za analizu na mreži.
Nabavite jeftin pristup TINACloud uređivanju primjera ili stvaranju vlastitih krugova

MREŽE I TEKUĆE METODE POVRŠINE

NAČELA ALTERNATIVNE TEKUĆINE

U ovom i sljedećim poglavljima predstavit ćemo vrlo važnu temu: AC ili izmjenična struja. Naziv izmjenična struja nije vrlo precizan i normalno pokriva sklopove s sinusoidnim naponima i strujama; međutim, izmjenična struja također može značiti bilo koji proizvoljni valni oblik. Važnost izmjeničnog napona je da se takav napon koristi za glavni izvor električne energije u domovima i industriji diljem svijeta. To je također osnova mnogih elektroničkih, telekomunikacijskih i industrijskih aplikacija.

Kako bi se nosili s sinusoidnim valnim oblicima i s njima povezanim krugovima, koristit ćemo jednostavnu i elegantnu metodu nazvanu metoda fazora. Fazori se temelje na svojstvima kompleksnih brojeva, koji su idealni za predstavljanje sinusoidnih veličina. U ovom ćemo poglavlju sažeti glavne činjenice o složenim brojevima i njihovim operacijama. Također ćemo pokazati kako TINA-in Interpreter olakšava izračune sa složenim brojevima.

Kompleksni brojevi se sastoje od dva dijela, a stvarni dio (x), koji je pravi broj, i takozvani imaginarni dio (y), što je stvarni broj pomnožen s , imaginarne jedinice, Složen broj zstoga se može opisati kao:

z = x + jy

gdje .

Primjeri složenih brojeva:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Složeni brojevi izvorno su uvedeni u sedamnaestom stoljeću kako bi predstavljali korijene polinoma koji se ne mogu predstaviti samo stvarnim brojevima. Na primjer, korijeni jednadžbe x²+ 2x + 2 = 0 može se opisati samo kao i ili pomoću oznake , z₁= 1 + j i z₂= 1- j. Koristeći novu oznaku za istraživanje svojstava izraza, matematičari su uspjeli dokazati teoreme i riješiti probleme koje je do tada bilo teško, ako ne i nemoguće riješiti. To je dovelo do razrade složene algebre i složenih funkcija, koje se danas široko koriste u matematici i inženjerstvu.

Geometrijski prikaz složenih brojeva

Pravokutni oblik

Budući da se složeni broj uvijek može odvojiti na njegove stvarne i složene dijelove, možemo složeni broj predstaviti kao točku na dvodimenzionalnoj ravnini. Stvarni dio složenog broja jest projekcija točke na stvarnu os, a imaginarni dio broja projekcija na imaginarnu os. Kad je složen broj predstavljen kao zbroj stvarnih i imaginarnih dijelova, kažemo da je u pravokutan or algebarski oblik.

Sljedeća slika prikazuje složeni broj z = 2 + 4j

Polarni i eksponencijalni oblik

Kao što možete vidjeti na gornjoj slici, točka A mogla bi biti predstavljena i duljinom strelice, r (koja se također naziva apsolutna vrijednost, veličina ili amplituda) i njezin kut (ili faza), φ u odnosu na smjeru suprotnom od kazaljke na satu, do pozitivne vodoravne osi. Ovo je Polarni oblik složenog broja. Označava se kao r ∠ φ.

Sljedeći korak je vrlo važan. Složeni broj u polarnom obliku također se može upisati u eksponencijalan oblik:

Ovaj jednostavan izraz karakterističan je po tome što ima imaginarni broj u eksponentu, umjesto uobičajenog stvarnog broja. Ovaj složen eksponencijal ponaša se vrlo različito od eksponencijalne funkcije stvarnim argumentom. Dok e^x brzo raste u veličini za povećanje x> 0 i opadanje za x <0, funkcija ima istu veličinu (z = 1) za bilo koji φ. Nadalje, njegove složene vrijednosti leže na krugu jedinica.

Eulerova formula pruža ujedinjujuću vezu između pravokutnih, polarnih i eksponencijalnih oblika kompleksnih brojeva:

z = x + jy = re ^jφ = r (cos φ + j bez φ )

gdje

i φ = tan^-1(Y / x).

Za gore navedeni primjer, z = 2 + 4j:

φ = tan^-1(4 / 2) = 63.4 °

stoga .

Ili obrnuto:

Morat ćete biti spretni u korištenju oba oblika, ovisno o aplikaciji. Na primjer, zbrajanje ili oduzimanje očito je lakše napraviti kada su brojevi u pravokutnom obliku, dok je množenje i dijeljenje lakše kada su brojevi u eksponencijalnom obliku.

Operacije sa složenim brojevima

Operacije koje se mogu obaviti složenim brojevima slične su operacijama za stvarne brojeve. Pravila i neke nove definicije sažeto su u nastavku.

Rad s j

Operacije s j jednostavno slijediti iz definicije imaginarne jedinice,

Da biste mogli raditi brzo i točno, trebali biste zapamtiti ova pravila:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

Dokaz:

j² = -1 jednostavno slijedi iz definicije budući da

Za 1 /j, umnožavamo 1 /jby j / j = 1 i dobiti j/ (JJ) = j / (- 1) = -j.

Kompleksni konjugat

Kompleksni konjugat kompleksnog broja se lako izvodi i vrlo je važan. Da bismo dobili složeni konjugat kompleksnog broja u pravokutnom obliku, jednostavno promijenite znak imaginarnog dijela. Da biste to učinili za broj u eksponencijalnom obliku, promijenite znak kuta kompleksnog broja zadržavajući njegovu apsolutnu vrijednost istu.

Kompleksni konjugat kompleksnog broja z često označava z^*.

S obzirom na složeni broj z= A + jb, njegov kompleksni konjugat je z^*= a- jb.

If z je dano u eksponencijalnom obliku, njegov kompleksni konjugat je

Koristeći gore navedene definicije, lako je vidjeti da kompleksni broj pomnožen složenim konjugatom daje kvadrat apsolutne vrijednosti kompleksnog broja:

ZZ^* = r²= a^{2 +}b²

Također, dodavanjem ili oduzimanjem bilo kojeg kompleksnog broja i njegovog konjugata dobivamo sljedeće odnose:

z + z ^* = 2a

stoga

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

Slično:

z - z ^* =j2b

stoga

im (z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

Dokaz:

ili množenjem stvarnog i imaginarnog dijela i korištenja j²= -1

ZZ^* = (A + jb) (a - jb) = a²+a jb - a jb - jbjb = a²j2 = a^{2 +}b²

z + z^* = A + jb + a - jb = 2a

z - z^*= A + jb - a + jb =j2b

Brojčani primjeri:

U pravokutnom obliku:

z = + 3 j4

z^* = 3- j4

ZZ ^* = 9 + = 16 25

U polarnom obliku

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ∠ - 53.13 °

U eksponencijalnom obliku:

Zbrajanje i oduzimanje

Zbrajanje i oduzimanje složenih brojeva je jednostavno - stvarne i imaginarne dijelove trebamo samo dodavati. Na primjer, ako

z₁ = 3 - 4j i z₂= 2 + 3j

tada

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Očito bismo trebali koristiti pravokutni oblik za ove operacije. Ako su brojevi dani u eksponencijalnom ili polarnom obliku, prvo ih moramo transformirati u pravokutni oblik koristeći Eulerovu formulu, kao što je dan ranije.

Množenje

Postoje dvije metode množenja kompleksnih brojeva -

Množenje složenih brojeva u pravokutnom obliku

Da biste izveli operaciju, jednostavno množite stvarne i imaginarne dijelove jednog broja zauzvrat stvarnim i imaginarnim dijelovima drugog broja i koristite identitet j²= -1.

z₁z₂ = (a₁ + jb₁) (a₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - b₁b₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Kada su kompleksni brojevi dani numerički, nije potrebno koristiti gornju formulu. Na primjer, dopustite

z₁ = 3 - 4j i z₂= 2 + 3j

S izravnim množenjem komponenti:

z₁z₂ = 3 - 4j(2 + 3j) = 6-8j +9j + 12 = 18 + j

ili pomoću formule: z₁z₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ B₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Smatramo da je vjerojatnije da ćete pogriješiti ako koristite formulu nego ako izravno pomnožite komponente.

{Rješenje TINA-ovog tumača}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]

#Rješenje Pythona:
uvezi matematiku kao m
import cmath kao c

z1=kompleks('3-4j')
z2=kompleks('2+3j')
ispis(“z1*z2=”,z1*z2)

Množenje složenih brojeva u polarnom ili eksponencijalnom obliku

Da biste izvršili ovu operaciju, pomnožite apsolutne vrijednosti i dodajte kutove dva kompleksna broja. Neka:

Zatim pomoću pravila množenja eksponencijalnih funkcija:

ili u polarnom obliku

z₁ z₂ = r₁ r₂ ∠ φ₁+ φ₂

Napomena: Ovo smo već koristili kada smo izračunali ZZ ^*iznad. Budući da kut konjugata ima suprotan znak izvornog kuta, složen broj pomnožen s vlastitim veznikom uvijek je stvaran broj; naime, kvadrat njegove apsolutne vrijednosti: ZZ ^*= r²

Na primjer, neka:

z₁ = 5 ∠ 30 ° i z₂ = 4 ∠ -60 °

tada

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

ili u eksponencijalnom obliku

Množenje je očito jednostavnije kada su brojevi u polarnom ili eksponencijalnom obliku.

Međutim, ako su složeni brojevi navedeni u pravokutnom obliku, trebali biste razmotriti izvođenje množenja izravno kao što je prikazano gore, jer postoje dodatni koraci ako pretvorite brojeve u polarni oblik prije nego što ih množite. Drugi faktor koji treba razmotriti je da li želite da odgovori budu u pravokutnom obliku ili u polarnom / eksponencijalnom obliku. Na primjer, ako su dva broja u pravokutnom obliku, ali biste željeli da njihov proizvod bude u polarnom obliku, ima smisla odmah ih pretvoriti i potom množiti.

Podjela

Postoje dvije metode za dijeljenje kompleksnih brojeva -

Podjela složenih brojeva u pravokutnom obliku

Za izvođenje operacije pomnožite brojnik i nazivnik veznikom nazivnika. Nazivnik postaje stvarni broj, a dijeljenje se svodi na množenje dvaju složenih brojeva i dijeljenje na stvarni broj, kvadrat apsolutne vrijednosti nazivnika.

Na primjer neka:

z₁ = 3 - 4j i z₂= 2 + 3j

Provjerimo ovaj rezultat s TINA-inim Interpreterom:

{Rješenje TINA-ovog tumača}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]

#Rješenje Pythona:
uvezi matematiku kao m
import cmath kao c

z1=kompleks('3-4j')
z2=kompleks('2+3j')
ispis(“z1/z2=”,z1/z2)

Podjela kompleksnih brojeva u polarnom ili eksponencijalnom obliku

Za izvođenje operacije podijelite apsolutne vrijednosti (magnitude) i oduzmite kut imenitelja od kuta numeratora. Neka:

zatim pomoću pravila podjele eksponencijalnih funkcija

ili u polarnom obliku

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

Na primjer, neka:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° i z ₂ = 2 ∠ -60 °

tada

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

ili u eksponencijalnim i pravokutnim oblicima

Provjerimo ovaj rezultat s TINA-inim Interpreterom:

{Rješenje TINA-ovog tumača}
z1: = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]

#Rješenje Pythona:
uvezi matematiku kao m
import cmath kao c

z1=5*(c.exp(kompleks(0,m.radijani(30))))
z2=2*(c.exp(kompleks(0,m.radijani(-60))))
ispis(“z1/z2=”,z1/z2)

Podjela je očito jednostavnija kada su brojevi u polarnom ili eksponencijalnom obliku.

Međutim, ako su složeni brojevi navedeni u pravokutnom obliku, trebali biste razmotriti izvođenje dijeljenja izravno složenom metodom konjugata kao što je prikazano gore, jer postoje dodatni koraci ako pretvorite brojeve u polarni oblik prije nego što ih podijelite. Drugi faktor koji treba razmotriti je da li želite da odgovori budu u pravokutnom obliku ili u polarnom / eksponencijalnom obliku. Na primjer, ako su dva broja u pravokutnom obliku, ali želite da njihov kvocijent bude u polarnom obliku, ima smisla odmah ih pretvoriti, a zatim ih podijeliti.

Sada ilustrirajmo korištenje složenih brojeva pomoću više numeričkih problema. Kao i obično, naša rješenja provjeravat ćemo pomoću TINA-inog tumača. Interpreter radi s radijanima, ali ima standardne funkcije za pretvorbu radijana u stupnjeve ili obratno.

Primjer 1 Pronađite polarni prikaz:

z = 12 - j 48

ili 49.48 ∠ - 75.96 °

{Rješenje TINA-ovog tumača}
z: = 12-j * 48;
abs (z) = [49.4773]
luk (z) = [- 1.3258]
radtodeg (luk (z)) = [- 75.9638]

#Rješenje Pythona:
uvezi matematiku kao m
import cmath kao c

z=12-kompleks(48j)
ispis(“abs(z)=”,abs(z))
ispis(“luk(z)=”,c.faza(z))
print(“stupnjevi(luk(z))=”,m.stupnjevi(c.faza(z)))

Primjer 2 Pronađite pravokutni prikaz:

z = 25 e ^j¹²⁵ ^°

{Rješenje TINA-ovog tumača}
z: = 25 * exp (j * (degtorad (125)));
z = [- 14.3394 + 20.4788 * j]
Re (z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]

#Rješenje Pythona:
uvezi matematiku kao m
import cmath kao c

z=25*c.exp(kompleks(0,m.radijana(125)))
ispis(“z=”,z)
print(“real(z)=”,z.real)
print(“imag(z)=”,z.imag)

Primjer 3 Pronađite polarni prikaz sljedećih složenih brojeva:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

Apsolutne vrijednosti sva četiri broja su iste jer je apsolutna vrijednost neovisna o znakovima. Samo su kutovi različiti.

{Rješenje TINA-ovog tumača}
z1: = 12 + j * 48;
abs (z1) = [49.4773]
luk (z1) = [1.3258]
radtodeg (luk (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-j * 48;
abs (z2) = [49.4773]
luk (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (luk (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + j * 48;
abs (z3) = [49.4773]
luk (z3) = [1.8158]
radtodeg (luk (z3)) = [104.0362]

z4: = - * j-12 48:
abs (z4) = [49.4773]
luk (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (luk (z4)) = [- 104.0362]

#Rješenje Pythona:
uvezi matematiku kao m
import cmath kao c

z1=kompleks('12+48j')
ispis(“abs(z1)=”,abs(z1))
ispis(“luk(z1)=”,c.faza(z1))
print(“stupnjevi(luk(z1))=”,m.stupnjevi(c.faza(z1)))

z2=kompleks('12-48j')
ispis(“abs(z2)=”,abs(z2))
ispis(“luk(z2)=”,c.faza(z2))
print(“stupnjevi(luk(z2))=”,m.stupnjevi(c.faza(z2)))

z3=kompleks('-12+48j')
ispis(“abs(z3)=”,abs(z3))
ispis(“luk(z3)=”,c.faza(z3))
print(“stupnjevi(luk(z3))=”,m.stupnjevi(c.faza(z3)))

z4=kompleks('-12-48j')
ispis(“abs(z4)=”,abs(z4))
ispis(“luk(z4)=”,c.faza(z4))
print(“stupnjevi(luk(z4))=”,m.stupnjevi(c.faza(z4)))

TINA funkcija luka () određuje kut bilo kojeg složenog broja, automatski ga postavljajući pravilno u jedan od četiri kvadranta.

Budite oprezni, međutim, koristite tan^-1 funkcija za pronalaženje kuta, jer je ograničen na povratne kutove samo u prvom i četvrtom kvadrantu (–90 °φ<90 °).

Od z₁nalazi se u prvom kvadrantu koordinatnog sustava, izračun je:

α₁ = tan^-1(48 / 12) = tan^-1(4) = 75.96 °

Od z₄nalazi se u trećem kvadrantu koordinatnog sustava, tan^-1ne vraća kut ispravno. Izračun kuta je:

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° ili -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, što je isto kao što je izračunao TINA.

z₂nalazi se u četvrtom kvadrantu koordinatnog sustava Izračun kuta je:

α₂ = tan^-1(-48 / 12) = tan^-1(-4) = -75.96 °

z_3,međutim, nalazi se u 2nd kvadrantu koordinatnog sustava, tako tan^-1ne vraća kut ispravno. Izračun kuta je:

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Primjer 4 Imamo dva kompleksna broja: z₁= 4 - j 6 i z₂ = 5 e^j⁴⁵ ^° .

naći z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Prvo rješavamo problem pomoću TINA-inog tumača

{Rješenje TINA-ovog tumača}
z1: = 4-j * 6;
z2: = 5 * exp (j * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

Primijetite kako TINA bez napora rukuje s dva složena broja u različitim oblicima.

Rješenje je složenije bez prevoditelja. Kako bismo mogli usporediti različite metode množenja i dijeljenja prvo ćemo odrediti polarni oblik z₁ i pravokutni oblik z₂.

Zatim pronalazimo četiri rješenja koja najprije koriste najlakše oblike: pravokutna za zbrajanje i oduzimanje i eksponencijalna za množenje i dijeljenje: