KIRCHHOFFOVA ZÁKONY

Klikněte nebo klepněte na níže uvedené okruhy příkladů, abyste vyvolali TINACloud a vyberte režim Interaktivní DC pro analýzu online.
Získejte levný přístup k TINACloudu pro editaci příkladů nebo vytvoření vlastních okruhů

SUPERPOSITION THEOREM

NODE POTENCIÁLNÍ METODA

Mnoho obvodů je příliš složitých na to, aby bylo možné je vyřešit pomocí pravidel pro sériové nebo paralelní obvody nebo technik převodu na jednodušší obvody popsaných v předchozích kapitolách. Pro tyto obvody potřebujeme obecnější metody řešení. Nejobecnější metoda je dána Kirchhoffovými zákony, které umožňují výpočet všech obvodových napětí a proudů obvodů řešením soustavy lineárních rovnic.

Existují dva Kirchhoffovy zákony, zákon o napětí a proud zákon. Tyto dva zákony lze použít ke stanovení všech napětí a proudů obvodů.

Kirchhoffův zákon napětí (KVL) uvádí, že algebraický součet napětí stoupá a klesá napětí kolem smyčky musí být nula.

Smyčka ve výše uvedené definici znamená uzavřenou cestu v obvodu; to je cesta, která opouští uzel v jednom směru a vrací se do stejného uzlu z jiného směru.

V našich příkladech budeme používat smyčky ve směru hodinových ručiček; stejné výsledky však budou získány, pokud bude použit směr proti směru hodinových ručiček.

Abychom mohli KVL aplikovat bez chyby, musíme definovat tzv. Referenční směr. Referenční směr neznámého napětí ukazuje na znaménko + od - předpokládaného napětí. Představte si, že používáte voltmetr. Umístili byste voltmetrovou pozitivní sondu (obvykle červenou) na referenční komponentu + terminál. Pokud je skutečné napětí kladné, je ve stejném směru, jak jsme předpokládali, a naše řešení i voltmetr zobrazí kladnou hodnotu.

Při odvozování algebraického součtu napětí musíme těmto napětím přiřadit znaménko plus, pokud referenční směr souhlasí se směrem smyčky, a záporná znaménka v opačném případě.

Dalším způsobem, jak uvést Kirchhoffův zákon o napětí, je: použité napětí sériového obvodu se rovná součtu poklesů napětí v sériových prvcích.

Následující krátký příklad ukazuje použití Kirchhoffova zákona o napětí.

Najděte napětí na rezistoru R_2, vzhledem k tomu, že zdrojové napětí V_S = 100 V a že napětí přes odpor R₁je V₁ = 40 V.

Následující obrázek lze vytvořit pomocí TINA Pro verze 6 a vyšší, v níž jsou nástroje kreslení k dispozici v editoru schémat.

Řešení pomocí Kirchhoffova zákona o napětí: -V_S + V₁ + V₂= 0 nebo V_S = V₁ + V₂

proto: V₂ = V_S - V₁ = 100-40 = 60V

Všimněte si, že normálně neznáme napětí rezistorů (pokud je neměříme), a pro řešení musíme použít oba Kirchhoffovy zákony.

Kirchhoffův současný zákon (KCL) uvádí, že algebraický součet všech proudů vstupujících a opouštějících jakýkoli uzel v obvodu je nula.

V následujícím textu dáváme znaménka + proudům opouštějícím uzel a znaménko + proudům vstupujícím do uzlu.

Zde je základní příklad demonstrující Kirchhoffův současný zákon.

Najděte aktuální I₂ pokud je zdrojový proud I_S = 12 A, a já₁ = 8 A.

Použití Kirchhoffova současného zákona v uzlu v kroužku: -I_S + I₁ + I₂ = 0, tedy: I₂= I_S - Já₁ = 12 - 8 = 4 A, můžete kontrolovat pomocí TINA (další obrázek).

V dalším příkladu použijeme Kirchhoffovy zákony plus Ohmovy zákony pro výpočet proudu a napětí na odporech.

Na obrázku níže si všimnete Napěťová šipka nad rezistory. Toto je nová komponenta dostupná v Verze 6 TINA a funguje jako voltmetr. Pokud ji připojíte přes komponentu, šipka určuje referenční směr (pro srovnání s voltmetrem si představte umístění červené sondy za ocas šipky a černé sondy na špičce). Když spustíte analýzu stejnosměrného proudu, skutečné napětí na součásti se zobrazí na šipce.

Klikněte / klikněte na výše uvedený obvod a analyzujte on-line nebo klikněte na tento odkaz Uložit pod Windows

Abychom mohli začít používat Kirchhoffův současný zákon, vidíme, že proudy přes všechny komponenty jsou stejné, takže označme tento proud I.

Podle Kirchhoffova zákona o napětí: V_S = V₁+V₂+V₃

Nyní používám Ohmův zákon: V_S= I * R₁+ I * R₂+ I * R₃

A odtud proud obvodu:

I = V_S/ (R₁+R₂+R₃) = 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A

Nakonec napětí rezistorů:

V₁= I * R₁ = 2 * 10 = 20 V; V₂ = I * R₂ = 2 * 20 = 40 V; V₃ = I * R₃ = 2 * 30 = 60 V

Stejné výsledky budou vidět na šipkách napětí jednoduše spuštěním interaktivní analýzy TINA TINA.

V tomto dalším, složitějším obvodu používáme také Kirchhoffovy zákony a Ohmovy zákony, ale zjišťujeme, že nejvíce řešíme lineární soustavu rovnic.

Celkový počet nezávislých aplikací Kirchhoffových zákonů v obvodu je počet větví obvodu, zatímco celkový počet neznámých (proud a napětí každé větve) je dvojnásobek. Avšak také pomocí Ohmova zákona na každý odpor a jednoduchých rovnic definujících použité napětí a proudy, dostaneme systém rovnic, kde počet neznámých je stejný jako počet rovnic.

Najděte větvové proudy I1, I2, I3 v níže uvedeném obvodu.

Klikněte / klikněte na výše uvedený obvod a analyzujte on-line nebo klikněte na tento odkaz Uložit pod Windows

Soubor rovnic následuje:

Uzlová rovnice pro uzel v kroužku:

- I₁- I₂- Já₃ = 0

nebo násobením -1

I₁+ I₂+ I₃ = 0

Kruhové rovnice (ve směru hodinových ručiček) pro smyčku L1, obsahující V₁, R₁ a R₃

-V₁+I₁*R₁-I₃*R₃ = 0

a pro smyčku L2, obsahující V₂, R₂ a R₃

I₃*R₃ - Já₂*R₂ +V₂ = 0

Nahrazení hodnot komponenty:

I₁+ I₂+ I₃ = 0 -8 + 40 * I₁ - 40 * I₃ = 0 40 * I₃ –20 * I₂ + 16 = 0

Expresi I₁ pomocí nodální rovnice: I₁ = -I₂ - Já₃

pak jej nahraďte druhou rovnicí:

-V₁- (já₂ + I₃) * R₁ -I₃*R₃ = 0 or –8- (I₂ + I₃) * 40 - I₃* 40 = 0

Expresi I₂ a nahraďte ji do třetí rovnice, ze které již můžete vypočítat I₃:

I₂ = - (V₁ + I₃* (R₁+R₃)) / R₁ or I₂ = - (8 + I₃* 80) / 40

I₃*R₃ + R₂*(PROTI₁ + I₃* (R₁+R₃)) / R₁ +V₂ = 0 or I₃* 40 + 20 * (8 + I₃* 80) / 40 + 16 = 0

A: I₃ = - (V₂ + V₁*R₂/R₁) / (R₃+ (R₁+R₃) * R₂/R₁) or I₃ = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

Proto I₃ = - 0.25 A; I₂ = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 A a I₁ = - (0.3 - 0.25) = - 0.05 a

nebo: I₁ = -50 mA; I₂ = 300 mA; I₃ = -250 mA.

Nyní vyřešíme stejné rovnice s tlumočníkem TINA:

{Řešení od interpreta TINA}
Sys I1, I2, I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
end;
I1 = [- 50m]
I2 = [300m]
I3 = [- 250m]

#Řešení od Pythonu
import numpy jako np,sympy jako s
#Máme lineární systém
#rovnice, které chceme vyřešit:
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0

I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
sol = s.solve([
I1+I2+I3,
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
tisknout (sol)

A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])

b= np.array([0,V1,-V2])

x=np.linalg.solve(A,b)
#I1=x[0]
#I2=x[1]
#I3=x[2]
# I1
print(“I1= %.3f”%x[0])
# I2
print(“I2= %.3f”%x[1])
# I3
print(“I3= %.3f”%x[2])

Nakonec se podívejme výsledky pomocí TINA:

Dále analyzujme následující složitější obvod a určíme jeho odbočné proudy a napětí.

Klikněte / klikněte na výše uvedený obvod a analyzujte on-line nebo klikněte na tento odkaz Uložit pod Windows

Označme neznámá napětí a proudy přidáním šipek napětí a proudu ke komponentám a také ukážeme smyčky (L1, L2, L3) a uzly (N1, N2), kde použijeme Kirchhoffovy rovnice.

Klikněte / klikněte na výše uvedený obvod a analyzujte on-line nebo klikněte na tento odkaz Uložit pod Windows

Tady je sada Kirchhoffovy rovnice pro smyčky (ve směru hodinových ručiček) a uzly.

-I_L+ I_R1- Já_s= 0(pro N1)

- Já_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (pro N2)

-V_s1- V_R3+ V_Is+ V_L = 0 (pro L1)

-V_Is+ V_s2 +V_R2+V_R1 = 0 (pro L2)

-V_R2- V_s2+ V_s3 = 0 (pro L3)

Uplatnění Ohmova zákona:

V_L= I_L*R_L

V_R1=I_R1*R₁

V_R2 = I_R2*R₂

V_R3 = - I_L*R₃

Toto je 9 neznámých a 9 rovnic. Nejjednodušší způsob, jak to vyřešit, je použít TINA

tlumočník. Pokud jsme však nuceni používat ruční výpočty, všimneme si, že tuto množinu rovnic lze snadno redukovat na systém 5 neznámých tím, že se poslední 4 rovnice nahradí smyčkovými rovnicemi L1, L2, L3. Přidáním rovnic (L1) a (L2), můžeme odstranit V_Is, snížení problému na systém 4 rovnic pro 4 neznámé (I_L,I_R1 I_R2,I_s3). Když jsme tyto proudy našli, můžeme snadno určit V_L, V_R1, V_R2, a V_R3 pomocí posledních čtyř rovnic (Ohmův zákon).

Nahrazení V_L,V_R1,V_R2 ,V_R3 :

-I_L+ I_R1- Já_s= 0(pro N1)

- Já_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (pro N2)

-V_s1+ I_L*R₃+ V_Is+ I_L*R_L = 0 (pro L1)

-V_Is+ V_s2 + I_R2*R₂+ I_R1*R₁ = 0 (Pro L2)

- Já_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (pro L3)

Přidáme (L1) a (L2)

-I_L+ I_R1- Já_s= 0(pro N1)

- Já_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (pro N2)

-V_s1+ I_L*R₃+ I_L*R_L + V_s2 + I_R2*R₂+ I_R1*R₁ = 0 (L1) + (L2)

- Já_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (pro L3)

Po nahrazení hodnot složek přichází řešení těchto rovnic snadno.

-I_L+I_R1- 2 = 0 (pro N1)

-I_R1 + I_R2 + I_S3 = 0 (pro N2)

-120 - + I._L* 90 + I_L* 20 + 60 + I_R2* 40 + I_R1* 30 = 0 (L₁) + (L.₂)

-I_R2* 40 - 60 + 270 = 0 (pro L₃)

od L₃ I_R2 = 210 / 40 = 5.25 A (I)

od N₂ I_S3 - Já_R1 = - 5.25 (II)

od L₁+L₂ 110 I_L + 30 I_R1 = -150 (III)

a pro N₁ I_R1 - Já_L = 2 (IV)

Vynásobte (IV) podle –30 a přidejte k (III) 140 I_L = -210 proto I_L = - 1.5 A

Náhradník I_L do (IV) I_R1 = 2 + (-1.5) = 0.5 A

a já_R1 do (II) I_S3 = -5.25 + I_R1 = -4,75 A

A napětí: V_R1 = I_R1*R₁ = 15 V; V_R2 = I_R2*R₂ = 210 V;

V_R3 = - I_L*R₃= 135 V; V_L = I_L*R_L = - 30 V; V_Is = V_S1+V_R3-V_L = 285 V

{Řešení původních rovnic Tina Interpreter}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-Is + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-Vs1 + VR3 + Vis-VL = 0
-Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
VL = IL * RL
end;
IL = [- 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]
VIs = [285]
VL = [- 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]

#Řešení od Pythonu
#Axe=b
import numpy jako np,sympy jako s
#Symbolické řešení pomocí numpy.solve
#Rovnice:
#IL=-Je+IR1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-Vis-VL=0
#Vis=VR1+VR2+Vs2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#VL=IL*RL
#Vyřešit pro:
#IL,IR1,IR2,
#Is3,Vis,VL,
#VR1,VR3,VR2

IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
sol = s.solve([
-Je+IR1-IL,
IR2+Is3-IR1,
Vs1+VR3-Vis-VL,
VR1+VR2+Vs2-Vis,
VR2+Vs2-Vs3,
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
tisknout (sol)

#Další metoda k řešení pomocí numpy.linalg
A=np.array(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1],
[0,R1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,R2,0,0,0,0,0,-1],
[-R3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[RL,0,0,0,0,-1,0,0,0]])

b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])

x=np.linalg.solve(A,b)

#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] Vis=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
print(“IL= %.3f”%x[0])
print(“IR1= %.3f”%x[1])
print(“IR2= %.3f”%x[2])
print(“Is3= %.3f”%x[3])
print(“Vis= %.3f”%x[4])
print(“VL= %.3f”%x[5])
print(“VR1= %.3f”%x[6])
print(“VR2= %.3f”%x[8])
print(“VR3= %.3f”%x[7])

Řešení redukované množiny rovnic pomocí tlumočníka:

{Řešení sníženého sady rovnic Tina Interpreter}
Sys Il, Ir1, Ir2, Is3
-Il + Ir1-2 = 0
-Ir1 + Ir2 + Is3 = 0
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-40 * Ir2 + 210 = 0
end;
Il = [- 1.5]
Ir1 = [500m]
Ir2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]

Můžeme také zadat výrazy pro napětí a nechat je TINA interpretem spočítat je:

Il: = - 1.5;
Ir1: = 0.5;
Ir2: = 5.25;
Is3: = - 4.75;
Vl: = Il * RL;
Vr1: = Ir1 * R1
Vr2: = Ir2 * R2;
Vr3: = - Il * R3;
VIs = Vs1-Vl + Vr3;
Vl = [- 30]
Vr1 = [15]
Vr2 = [210]
Vr3 = [135]
VIs = [285]

Můžeme zkontrolovat výsledek pomocí TINA jednoduše zapnutím interaktivního režimu DC TINA nebo pomocí analýzy / analýzy DC / uzlových napětí

SUPERPOSITION THEOREM

NODE POTENCIÁLNÍ METODA