Klikněte nebo klepněte na níže uvedené okruhy příkladů, abyste vyvolali TINACloud a vyberte režim Interaktivní DC pro analýzu online. Získejte levný přístup k TINACloudu pro editaci příkladů nebo vytvoření vlastních okruhů
Jak jsme již viděli, obvody se sinusovým buzením lze vyřešit pomocí komplexní impedance pro prvky a komplexní vrchol or komplexní efektivní hodnoty pro proudy a napětí. Pomocí verze Kirchhoffových zákonů s komplexními hodnotami lze k řešení střídavých obvodů podobným způsobem jako u stejnosměrných obvodů použít techniky uzlové a síťové analýzy. V této kapitole si to ukážeme na příkladech Kirchhoffových zákonů.
Příklad 1
Najděte amplitudu a fázový úhel proudu ivs(t) if
vS(t) = VSM cos 2pft; i (t) = ISM cos 2pft; VSM = 10 V; JáSM = 1 A; f = 10 kHz;
Celkem máme 10 neznámých napětí a proudů, jmenovitě: i, iC1,R,L,C2, vC1, vR, vL, vC2 a vIS. (Pokud použijeme složité špičkové nebo efektivní hodnoty pro napětí a proudy, máme celkem 20 reálných rovnic!)
Rovnice:
Rovnice smyčky nebo sítě: pro M1 - VSM +VC1M+VRM = 0
M2 - VRM + VLM = 0
M3 - VLM + VC2M = 0
M4 - VC2M + VIsM = 0
Ohmovy zákony VRM = R *IRM
VLM = j*w* L *ILM
IC1M = j*w*C1*VC1M
IC2M = j*w*C2*VC2M
Nodální rovnice pro N1 - IC1M - ISM + IRM + ILM +IC2M = 0
pro sériové prvky I = IC1MPři řešení soustavy rovnic najdete neznámý proud:
ivs (t) = 1.81 cos (wt + 79.96°) A
Řešení tak velkého systému složitých rovnic je velmi komplikované, takže jsme to podrobně neukazovali. Každá složitá rovnice vede ke dvěma reálným rovnicím, takže řešení ukážeme pouze pomocí hodnot vypočítaných pomocí tlumočníka TINA.
Řešení využívající tlumočníka TINA:
om: = 20000 * pi;
Vs: = 10;
Is: = 1;
Sys Ic1, Ir, IL, Ic2, Vc1, Vr, VL, Vc2, Vis, Ivs
Vs=Vc1+Vr {M1}
Vr=VL {M2}
Vr=Vc2 {M3}
Vc2=Vis {M4}
Ivs=Ir+IL+Ic2-Is {N1}
{Ohmova pravidla}
Ic1 = j * om * C1 * Vc1
Vr = R * Ir
VL = j * om * L * IL
Ic2 = j * om * C2 * Vc2
Ivs = Ic1
end;
Ivs = [3.1531E-1 + 1.7812E0 * j]
abs (Ivs) = [1.8089]
fiIvs: = 180 * oblouk (Ivs) / pi
fiIvs = [79.9613]
import sympy as s
importovat cmath jako c
cp= lambda Z : „{:.4f}“.format(Z)
om = 20000 x c.pi
Vs = 10
je=1
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=s.symbols('Ic1 Ir IL Ic2 Vc1 Vr VL Vc2 Vis Ivs')
A=[s.Eq(Vcl+Vr,Vs),s.Eq(VL,Vr),s.Eq(Vc1,Vr),s.Eq(Vis,Vc2), #M2, M1, M2, M3
s.Eq(Ir+IL+Ic2-Is,Ivs), #N1
s.Eq(1j*om*C1*Vc1,Ic1),s.Eq(R*Ir,Vr),s.Eq(1j*om*L*IL,VL),s.Eq(1j*om*C2*Vc2,Ic2),s.Eq(Ic1,Ivs)] #Ohm’s rules
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs)))[0]]
tisk (Ivs)
print(“abs(Ivs)=”,cp(abs(Ivs)))
print(“180*c.phase(Ivs)/c.pi=”,cp(180*c.phase(Ivs)/c.pi))
Řešení pomocí TINA:
Chcete-li tento problém vyřešit ručně, pracujte se složitými impedancemi. Například R, L a C2 jsou zapojeny paralelně, takže můžete obvod zjednodušit výpočtem jejich paralelního ekvivalentu. || znamená rovnoběžný ekvivalent impedancí:
Numericky:
Zjednodušený obvod využívající impedanci:
Rovnice v uspořádané podobě: I + IG1 = IZ
VS = VC1 +VZ
VZ = Z · IZ
I = j w C1· VC1
Existují čtyři neznámé- I; IZ; VC1; VZ - a máme čtyři rovnice, takže řešení je možné.
Expresní I po nahrazení jiných neznámých z rovnic:
Numericky
Podle výsledku tlumočníka TINA.
om: = 20000 * pi;
Vs: = 10;
Is: = 1;
Z: = replus (R, replus (j * om * L, 1 / j / om / C2));
Z = [2.1046E0-2.4685E0 * j]
sys já
I = j * om * C1 * (Vs-Z * (I + Is))
end;
I = [3.1531E-1 + 1.7812E0 * j]
abs (I) = [1.8089]
180 * oblouk (I) / pi = [79.9613]
import sympy as s
importovat cmath jako c
Replus= lambda R1, R2: R1*R2/(R1+R2)
om = 20000 x c.pi
Vs = 10
je=1
Z=Replus(R,Replus(1j*om*L,1/1j/om/C2))
print('Z=',cp(Z))
I=s.symbols('I')
A=[s.Eq(1j*om*C1*(Vs-Z*(I+Is)),I),]
I=[komplex(Z) pro Z v n-tice(s.linsolve(A,I))[0]][0]
print(“I=”,cp(I))
print(“abs(I)=”,cp(abs(I)))
print(“180*c.fáze(I)/c.pi=”,cp(180*c.fáze(I)/c.pi))
Časová funkce proudu je tedy:
i (t) = 1.81 cos (wt + 80°) A
Aktuální pravidlo Kirchhoffa můžete zkontrolovat pomocí fázorových diagramů. Obrázek níže byl vyvinut kontrolou uzlové rovnice v iZ = i + iG1 formulář. První diagram ukazuje fázory přidané pravidlem rovnoběžníku, druhý ilustruje trojúhelníkové pravidlo přidání fázoru.
Nyní si ukážeme KVR pomocí funkce fázového diagramu TINA. Protože zdrojové napětí je v rovnici záporné, připojili jsme voltmetr „dozadu“. Fázorový diagram ilustruje původní podobu Kirchhoffova pravidla napětí.
První fázorový diagram používá pravidlo rovnoběžníku, zatímco druhý používá trojúhelníkové pravidlo.
Pro ilustraci KVR ve tvaru VC1 + VZ - VS = 0, opět jsme připojili voltmetr ke zdroji napětí zpět. Vidíte, že fázorový trojúhelník je zavřený.
Příklad 2
Zjistěte napětí a proudy všech součástí, pokud:
vS(t) = 10 cos wt V, iS(t) = 5 cos (w t + 30 °) mA;
C1 = 100 nF, C2 = 50 nF, R1 = R2 = 4 k; L = 0.2 H, f = 10 kHz.
Nechť neznámými jsou komplexní špičkové hodnoty napětí a proudů „pasivních“ prvků, jakož i proud zdroje napětí (iVS ) a napětí zdroje proudu (vIS ). Dohromady existuje dvanáct komplexních neznámých. Máme tři nezávislé uzly, čtyři nezávislé smyčky (označené jako MI) a pět pasivních prvků, které lze charakterizovat pěti „Ohmovými zákony“ - celkem existuje 3 + 4 + 5 = 12 rovnic:
Uzlové rovnice pro N1 IVsM = IR1M + IC2M
pro N2 IR1M = ILM + IC1M
pro N3 IC2M + ILM + IC1M +IsM = IR2M
Smyčkové rovnice pro M1 VSM = VC2M + VR2M
pro M2 VSM = VC1M + VR1M+ VR2M
pro M3 VLM = VC1M
pro M4 VR2M = VIsM
Ohmovy zákony VR1M = R1*IR1M
VR2M = R2*IR2M
IC1m = j *w*C1*VC1M
IC2m = j *w*C2*VC2M
VLM = j *w* L * ILM
Nezapomeňte, že jakákoli složitá rovnice může vést ke dvěma reálným rovnicím, takže Kirchhoffova metoda vyžaduje mnoho výpočtů. Je mnohem jednodušší řešit časové funkce napětí a proudů pomocí systému diferenciálních rovnic (zde se o tom nehovorí). Nejprve ukážeme výsledky vypočítané tlumočníkem TINA:
f: = 10000;
Vs: = 10;
s: = 0.005 * exp (j * pi / 6);
om: = 2 * pi * f;
sys ir1, ir2, ic1, ic2, iL, vr1, vr2, vc1, vc2, vL, vis, ivs
ivs=ir1+ic2 {1}
ir1=iL+ic1 {2}
ic2+iL+ic1+Is=ir2 {3}
Vs=vc2+vr2 {4}
Vs=vr1+vr2+vc1 {5}
vc1=vL {6}
vr2=vis {7}
vr1=ir1*R1 {8}
vr2=ir2*R2 {9}
ic1=j*om*C1*vc1 {10}
ic2=j*om*C2*vc2 {11}
vL=j*om*L*iL {12}
end;
abs (vr1) = [970.1563m]
abs (vr2) = [10.8726]
abs (ic1) = [245.6503u]
abs (ic2) = [3.0503m]
abs (vc1) = [39.0965m]
abs (vc2) = [970.9437m]
abs (iL) = [3.1112u]
abs (vL) = [39.0965m]
abs (ivs) = [3.0697m]
180 + radtodeg (oblouk (ivs)) = [58.2734]
abs (vis) = [10.8726]
radtodeg (oblouk (vis)) = [- 2.3393]
radtodeg (oblouk (vr1)) = [155.1092]
radtodeg (oblouk (vr2)) = [- 2.3393]
radtodeg (oblouk (ic1)) = [155.1092]
radtodeg (oblouk (ic2)) = [- 117.1985]
radtodeg (oblouk (vc2)) = [152.8015]
radtodeg (oblouk (vc1)) = [65.1092]
radtodeg (oblouk (iL)) = [- 24.8908]
radtodeg (oblouk (vL)) = [65.1092]
import sympy as s
importovat matematiku jako m
importovat cmath jako c
cp= lambda Z : „{:.4f}“.format(Z)
f = 10000
Vs = 10
S=0.005*c.exp(1j*c.pi/6)
om=2*c.pi*f
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=s.symbols('ir1 ir2 ic1 ic2 iL vr1 vr2 vc1 vc2 vL vis ivs')
A=[s.Eq(ir1+ic2,ivs), #1
s.Eq(iL+ic1,ir1), #2
s.Eq(ic2+iL+ic1+Is,ir2), #3
s.Eq(vc2+vr2,Vs), #4
s.Eq(vrl+vr1+vcl,Vs), #2
s.Eq(vL,vcl), #1
s.Eq(vis,vr2), #7
s.Eq(irl*Rl,vrl), #1
s.Eq(irl*Rl,vrl), #2
s.Eq(1j*om*C1*vc1,ic1), #10
s.Eq(1j*om*C2*vc2,ic2), #11
s.Eq(1j*om*L*iL,vL)] #12
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs)))[0]]
print(“abs(vr1)=”,cp(abs(vr1)))
print(“abs(vr2)=”,cp(abs(vr2)))
print(“abs(ic1)=”,cp(abs(ic1)))
print(“abs(ic2)=”,cp(abs(ic2)))
print(“abs(vc1)=”,cp(abs(vc1)))
print(“abs(vc2)=”,cp(abs(vc2)))
print(“abs(iL)=”,cp(abs(iL)))
print(“abs(vL)=”,cp(abs(vL)))
print(“abs(ivs)=”,cp(abs(ivs)))
print(“180+degrees(phase(ivs))=”,cp(180+m.degrees(c.phase(ivs))))
print(“abs(vis)=”,cp(abs(vis)))
print(“stupně(fáze(vis))=”,cp(m.stupně(c.fáze(vis))))
print(“stupně(fáze(vr1))=”,cp(m.stupně(c.fáze(vr1))))
print(“stupně(fáze(vr2))=”,cp(m.stupně(c.fáze(vr2))))
print(“stupně(fáze(ic1))=”,cp(m.stupně(c.fáze(ic1))))
print(“stupně(fáze(ic2))=”,cp(m.stupně(c.fáze(ic2))))
print(“stupně(fáze(vc2))=”,cp(m.stupně(c.fáze(vc2))))
print(“stupně(fáze(vc1))=”,cp(m.stupně(c.fáze(vc1))))
print(“stupně(fáze(iL))=”,cp(m.stupně(c.fáze(iL))))
print(“stupně(fáze(vL))=”,cp(m.stupně(c.fáze(vL))))
Nyní se pokuste zjednodušit rovnice ručně pomocí substituce. První náhrada ekv. 9. do ekv. 5.
VS = VC2 + R2 IR2 A.)
pak eq.8 a eq.9. do eq 5.
VS = VC1 + R2 IR2 + R1 IR1 b.)
pak eq 12., eq. 10. a jáL z ekv. 2 do eq.6.
VC1 = VL = jwLIL = jwL (jáR1 - JáC1) = jwLIR1 - jwL jwC1 VC1
Expresní VC1
C.)
Expresní VC2 od ekv. 4. a ekv. a nahradit ekv. 5, ekv. 8. a VC1:
d.)
Substituujte rovnice 2, 10, 11 a d.) Do rovnice 3. a vyjádřit jáR2
IR2 = IC2 + IR1 + IS = jwC2 VC2 + IR1 + IS
E.)
Nyní nahraďte d.) A e.) Do ekv. 4 a vyjádřete IR1
Numericky:
Časová funkce iR1 je následující:
iR1(t) = 0.242 cos (wt + 155.5°) mA
Naměřená napětí: 
English
English
German
French
Spanish
Portuguese
Russian
Chinese (Simplified)
Chinese (Traditional)
Japanese
Korean
Hungarian