Kliknij lub dotknij poniższych obwodów, aby wywołać TINACloud i wybierz tryb Interaktywny DC, aby przeanalizować je online.
Uzyskaj niski koszt dostępu do TINACloud, aby edytować przykłady lub tworzyć własne obwody

Połączenia Twierdzenie Fouriera stwierdza, że ​​każdy okresowy przebieg może być syntetyzowany przez dodanie odpowiednio ważonych warunków sinus i cosinus dla różnych częstotliwości. Twierdzenie to jest dobrze omówione w innych podręcznikach, więc podsumujemy tylko wyniki i pokażemy kilka przykładów.

Niech naszą funkcją okresową będzie f (t) = f (t ±nT) gdzie T jest czasem jednego okresu, a n jest liczbą całkowitą.

w₀= 2p/ T podstawowa częstotliwość kątowa.

Przez Twierdzenie Fouriera, funkcję okresową można zapisać jako następującą sumę:

gdzie

A_n oraz b_n są Współczynniki Fouriera a suma to Seria Fouriera.

Kolejna forma, prawdopodobnie nieco bardziej praktyczna:

gdzie

A₀ = C₀ to wartość stała lub średnia, A₁, B₁ i C₁ są podstawowymi składnikami, a pozostałe są terminami harmonicznymi.

Chociaż do przybliżenia niektórych przebiegów może być wymaganych tylko kilka terminów, inne będą wymagać wielu terminów.

Zasadniczo im więcej określeń, tym lepsze przybliżenie, ale dla przebiegów zawierających kroki, takich jak impulsy prostokątne, Zjawisko Gibbsa wchodzi w grę. Wraz ze wzrostem liczby terminów przekroczenie koncentruje się w coraz krótszym okresie.

An nawet funkcja f (t) = f (-t) (symetria osi) wymaga tylko warunków cosinus.

An funkcja nieparzysta f (t) = - f (-t) (symetria punktowa) wymaga tylko wyrazów sinusoidalnych.

Przebieg z symetria lustrzana lub półfalowa ma jedynie nieparzysty harmoniczne w reprezentacji Fouriera.

Tutaj nie zajmiemy się rozszerzeniem serii Fouriera, ale wykorzystamy tylko określoną sumę sinusów i cosinusów jako wzbudzenie obwodu.

We wcześniejszych rozdziałach tej książki zajmowaliśmy się wzbudzeniem sinusoidalnym. Jeśli obwód jest liniowy, twierdzenie superpozycji jest ważny. W przypadku sieci z niesinusoidalnym wzbudzeniem okresowym superpozycja pozwala nam obliczyć prądy i napięcia dla każdego członu sinusoidy Fouriera pojedynczo. Kiedy wszystkie są obliczone, w końcu podsumowujemy składowe harmoniczne odpowiedzi.

Określenie różnych warunków okresowych napięć i prądów jest nieco skomplikowane i może powodować przeciążenie informacji. W praktyce chcielibyśmy po prostu dokonywać pomiarów. Możemy zmierzyć różne terminy harmoniczne za pomocą analizator harmonicznych, analizator widma, analizator fal lub analizator Fouriera. To wszystko skomplikowane i prawdopodobnie dostarczają więcej danych niż potrzeba. Czasami wystarczy opisać sygnał okresowy jedynie za pomocą jego średnich wartości. Ale istnieje kilka rodzajów średnich pomiarów.

ŚREDNI WARTOŚCI

Prosta średnia or DC termin był postrzegany w reprezentacji Fouriera jako A₀

Ta średnia może być mierzona za pomocą instrumentów takich jak Deprez Instrumenty DC.

Efektywna wartość or rms (średnia kwadratowa) ma następującą definicję:

Jest to najważniejsza wartość średnia, ponieważ ciepło rozpraszane w rezystorach jest proporcjonalne do wartości skutecznej. Wiele woltomierzy cyfrowych i niektórych analogowych może mierzyć efektywną wartość napięć i prądów.

Absolutna średnia

Ta średnia nie jest już ważna; wcześniejsze instrumenty mierzyły tę formę średniej.

Znając reprezentację Fouriera kształtu fali napięcia lub prądu, możemy również obliczyć średnie wartości w następujący sposób:

Prosta średnia or DC termin był postrzegany w reprezentacji Fouriera jako A₀ = C₀

Efektywna wartość or rms (pierwiastek średni kwadrat) po zintegrowaniu szeregu Fouriera napięcia:

Połączenia czynnik klirr jest bardzo ważnym stosunkiem średnich wartości:

Jest to stosunek wartości skutecznej składników wyższych harmonicznych do wartości skutecznej harmonicznej podstawowej:

Wydaje się, że jest tu sprzeczność - rozwiązujemy sieć w kategoriach składowych harmonicznych, ale mierzymy wielkości średnie.

Zilustrujmy tę metodę prostymi przykładami:

1 przykład

Znajdź funkcję czasu i wartość skuteczną (rms) napięcia v_C(T)

Spróbuj użyć twierdzenia o superpozycji, aby rozwiązać problem.

Pierwszym krokiem jest znalezienie funkcji przenoszenia jako funkcji częstotliwości. Dla uproszczenia użyj podstawienia: s = j w

Teraz podstaw wartości wartości i s = jk w₀gdzie k = 0; 1; 3 w tym przykładzie i w₀= 30 krad / s. W V, A, ohm, mJednostki F i Mrad / s:

Pomocne jest użycie tabeli do uporządkowania kroków rozwiązania numerycznego:

Możemy podsumować kroki rozwiązania superpozycji w innej tabeli. Jak już widzieliśmy, aby znaleźć złożoną wartość szczytową składnika, należy pomnożyć złożoną wartość szczytową składnika wzbudzenia przez wartość złożonej funkcji przenoszenia:

Na koniec możemy nadać funkcji czasu znając złożone wartości szczytowe składników:

v_C(t) = 100 + 110 cos (w₀t - 56.3°) + 6.51 cos (3w₀t - 167.5°) V

Wartość skuteczna (skuteczna) napięcia wynosi:

Jak widać, przyrząd pomiarowy TINA mierzy tę wartość skuteczną.

2 przykład

Znajdź funkcję czasu i efektywną wartość skuteczną (rms) aktualnego i (t)

Spróbuj rozwiązać problem za pomocą twierdzenia o superpozycji.

Teraz podstaw wartości liczbowe i s = jk w_0,gdzie k = 0; 1; 3 w tym przykładzie.

W V, A, ohm, mJednostki F i Mrad / s:

Pomocne jest użycie tabeli podczas rozwiązywania numerycznego:

Możemy podsumować etapy superpozycji w innej tabeli. Jak już widzieliśmy, aby znaleźć wartość szczytową składnika, należy pomnożyć złożoną wartość szczytową tego składnika wzbudzenia przez wartość funkcji przenoszenia zespolonego. Użyj złożonych wartości szczytowych składników wzbudzenia:

I wreszcie, znając złożone wartości szczytowe składników, możemy podać funkcję czasu:

i (t) = 32.4 cos (w₀t + 33.7°) + 5.85 cos (3w₀t - 77.5°) [ZA]

TWartość skuteczna prądu:

Często możesz wykonać kontrolę poczytalności dla części rozwiązania. Na przykład kondensator może mieć napięcie stałe, ale nie prąd stały.

3 przykład

Uzyskaj funkcję czasową napięcia V._ab if R₁= 12 ohm, R₂ = 14 omów, L = 25 mH i

Pierwszym krokiem jest znalezienie funkcji przesyłania:

Podstawianie wartości liczbowych w jednostkach V, A, om, mH, mF, kHz:

Scalanie dwóch tabel:

k V Sk		V abk
0 50		50
1 80		79.3 e-j66.3
2 30 ej60		29.7 e-j44.7

v_ab(t) = 50 + 79.3 cos (w₁t - 66.3°) + 29.7 cos (2w₁t - 44.7°) [V]

i wartość skuteczna: