NUMBERS COMPLEX

Klikoni ose Prekni qarqet Shembuj më poshtë për të thirrur TINACloud dhe zgjidhni modalitetin Interaktiv DC për të Analizuar ato në Internet.
Merrni një qasje me kosto të ulët në TINACloud për të redaktuar shembujt ose për të krijuar qarqet tuaja

METODAT E RREZIKSHME E MESH DHE LOOP

PARIMET E AKTORIT ALTERNATING

Në këtë dhe në kapitujt vijues, do të paraqesim një temë shumë të rëndësishme: AC, ose Alternating Current. Emri i rrymës së alternuar nuk është shumë i saktë dhe normalisht mbulon qarqet me tensione dhe rryma sinusoidale; megjithatë, rryma e alternuar mund të nënkuptojë çdo formë waveform aktuale arbitrare. Rëndësia e tensionit AC është se ky lloj i tensionit është përdorur për burimin kryesor të energjisë elektrike në shtëpi dhe industri në të gjithë botën. Është gjithashtu bazë për shumë aplikacione elektronike, telekomunikimi dhe industriale.

Për të trajtuar formën valë sinusoidale dhe qarqet që lidhen me to, ne do të përdorim një metodë të thjeshtë dhe elegante të quajtur metodë e phasors. Fazoret bazohen në vetitë e numrave kompleksë, të cilët janë ideale për përfaqësimin e sasive sinusoidale. Në këtë kapitull, ne do të përmbledhim faktet kryesore rreth numrave komplekse dhe veprimtarive të tyre. Ne gjithashtu do të tregojmë se si Interpretuesi i TINA e bën të lehtë për të bërë llogaritjet me numra kompleksë.

Numrat komplekse përbëhen nga dy pjesë, a pjesë e vërtetë (x), që është një numër i vërtetë dhe një i ashtuquajtur pjesë imagjinare (y), që është një numër i vërtetë i shumëzuar me , njësia imagjinare. Numri kompleks z, pra, mund të përshkruhet si:

z = x + jy

ku .

Shembuj të numrave kompleksë:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Numrat kompleks u prezantuan fillimisht në shekullin e shtatëmbëdhjetë për të përfaqësuar rrënjët e polinomeve të cilat nuk mund të përfaqësoheshin vetëm me numra realë. Për shembull, rrënjët e ekuacionit x²+ 2x + 2 = 0 mund të përshkruhet vetëm si , ose duke përdorur shënimin , z₁= 1 + j z₂= 1- j. Duke përdorur notacionin e ri për të hetuar vetitë e shprehjeve, matematikanët ishin në gjendje të provonin teorema dhe të zgjidhnin probleme të cilat deri atëherë kishin qenë të vështira nëse jo të pamundura për t'u zgjidhur. Kjo çoi në përpunimin e algjebrës komplekse dhe funksioneve komplekse, të cilat tani përdoren gjerësisht në matematikë dhe inxhinieri.

Përfaqësimi gjeometrik i numrave kompleks

Forma drejtkëndëshe

Për shkak se një numër kompleks gjithmonë mund të ndahet në pjesët e tij reale dhe komplekse, ne mund të përfaqësojmë një numër kompleks si një pikë në një aeroplan dy-dimensional. Pjesa e vërtetë e një numri kompleks është projeksioni i pikës mbi boshtin e vërtetë, dhe pjesa imagjinare e numrit është projeksioni mbi boshtin imagjinar. Kur një numër kompleks paraqitet si shuma e pjesëve reale dhe imagjinare, ne themi se është në drejtkëndor or formë algjebrike.

Figura e mëposhtme tregon numrin kompleks z = 2 + 4j

Forma polare dhe eksponenciale

Siç mund ta shihni nga figura më sipër, pika A mund të përfaqësohet edhe nga gjatësia e shigjetës, r (i quajtur gjithashtu vlera, madhësia ose amplituda absolute), dhe këndi (ose faza) e tij, φ relativ në drejtim të akrepave të sahatit drejt boshtit pozitiv horizontal. Kjo është polar formë e një numri kompleks. Shënohet si r φ.

Hapi tjetër është shumë i rëndësishëm. Gjithashtu mund të shkruhet një numër kompleks në formë polare tregues Forma:

Kjo shprehje e thjeshtë është dalluese në atë që ka një numër imagjinar në eksponent në vend të numrit real të zakonshëm. Ky eksponencial i ndërlikuar sillet shumë ndryshe nga funksioni eksponencial me një argument të vërtetë. Ndërsa e^x rritet me shpejtësi në madhësi për rritje x> 0 dhe zvogëlohet për x <0, funksioni ka të njëjtën madhësi (z = 1) për çdo φ. Për më tepër, vlerat e tij komplekse shtrihen në rrethin e njësisë.

Formula e Eulerit siguron një lidhje unifikuese midis formave drejtkëndëshe, polare dhe eksponenciale të numrave kompleksë:

z = x + jy = ri ^jφ = r (cos φ + j pa φ )

φ = tan^-1(V / x).

Për shembullin tonë më lart, z = 2 + 4j:

φ = tan^-1(4 / 2) = 63.4 °

prandaj .

Ose anasjelltas:

Ju do të duhet të jeni të aftë në përdorimin e të dy formave, në varësi të aplikacionit. Për shembull, shtimi ose zbritja është dukshëm më e lehtë për t'u bërë kur numrat janë në formë drejtkëndëshe, ndërsa shumëzimi dhe pjesëtimi janë më të lehta për tu bërë kur numrat janë në formë eksponenciale.

Operacione me numra kompleksë

Operacionet që mund të bëhen me numra komplekse janë të ngjashme me ato për numrat realë. Rregullat dhe disa përkufizime të reja janë përmbledhur më poshtë.

Operacionet me j

Operacionet me j thjesht ndiqni nga përkufizimi i njësisë imagjinare,

Për të qenë në gjendje të punoni me shpejtësi dhe me saktësi, duhet t'i mbani mend këto rregulla:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

dëshmi:

j² = -1 thjesht ndjek nga përkufizimi i , pasi që

Për 1 /j, ne shumezojme 1 /jby j / j = 1 dhe merrni j/ (JJ) = j / (- 1) = -j.

Konjuguar komplekse

Konjugata komplekse e një numri kompleks rrjedh lehtë dhe është mjaft i rëndësishëm. Për të marrë konjugimin kompleks të një numri kompleks në formë drejtkëndëshe, thjesht ndryshoni shenjën e pjesës imagjinare. Për ta bërë këtë për një numër në formë eksponenciale, ndryshoni shenjën e këndit të numrit kompleks duke e mbajtur vlerën absolute të njëjtë.

Konjugimi kompleks i një numri kompleks z shpesh shënohet me z^*.

Duke pasur parasysh numrin kompleks z= A + jb, konjugimi i tij kompleks është z^*= a- jb.

If z është dhënë në formë eksponenciale, , konjugata e saj komplekse është

Duke përdorur përkufizimet e mësipërme, është e lehtë të shihet se një numër kompleks i shumëzuar me konjuktin e tij kompleks jep katrorin e vlerës absolute të numrit kompleks:

zz^* = r²= a^{2 +}b²

Gjithashtu, duke shtuar ose zbritur çdo numër kompleks dhe konjugimin e tij, marrim marrëdhëniet e mëposhtme:

z + z ^* = 2a

prandaj

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

Në mënyrë të ngjashme:

z - z ^* =j2b

prandaj

Une jam(z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

dëshmi:

ose duke shumëzuar pjesët reale dhe imagjinare dhe duke përdorur j²= -1

zz^* = (A + jb) (a - jb) = a²+a jb - a jb - jbjb = a²j2 = a^{2 +}b²

z + z^* = A + jb + a - jb = 2a

z - z^*= A + jb - a + jb =j2b

Shembuj numerikë:

Në formë drejtkëndëshe:

z = 3 + j4

z^* = 3- j4

zz ^* = 9 + 16 = 25

Në formë polare

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ∠- 53.13 °

Në formë eksponenciale:

Shtesa dhe zbritje

Shtimi dhe zbritja e numrave komplekse është e drejtpërdrejtë - duhet të shtojmë veçmas pjesët reale dhe imagjinare. Për shembull, nëse

z₁ = 3 - 4j z₂= 2 + 3j

pastaj

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Natyrisht, duhet të përdorim formën drejtkëndëshe për këto operacione. Nëse numrat janë dhënë në formë eksponenciale ose polare, duhet t'i transformojmë ato së pari në formë drejtkëndëshe duke përdorur formulën e Eulerit, siç është dhënë më herët.

Shumëzim

Ekzistojnë dy metoda për shumëzimin e numrave kompleksë–

Shumëzimi i numrave kompleks të dhënë në formë drejtkëndëshe

Për të realizuar operacionin, thjesht shumëzoni pjesët reale dhe imagjinare të një numri nga ana tjetër nga pjesët reale dhe imagjinare të numrit tjetër dhe përdorni identitetin j²= -1.

z₁z₂ = (a₁ + jb₁) (a₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - b₁b₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Kur numrat kompleks jepen në mënyrë numerike, nuk është e nevojshme të përdoret formula e mësipërme. Për shembull, le

z₁ = 3 - 4j z₂= 2 + 3j

Me shumëzimin e drejtpërdrejtë të komponentëve:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6-8j +9j + 12 = 18 + j

ose duke përdorur formulën: z₁z₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂b₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Ne mendojmë se ju keni më shumë gjasa të bëni një gabim nëse përdorni formulën sesa nëse shumëfishoni elementët direkt.

{Zgjidhje nga Interpretuesi i TINA}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]

#Zgjidhje nga Python:
importoni matematikën si m
importo cmath si c

z1=komplekse('3-4j')
z2=komplekse('2+3j')
print(“z1*z2=”,z1*z2)

Shumëzimi i numrave kompleks të dhënë në formë polare ose eksponenciale

Për të kryer këtë operacion, shumohen vlerat absolute dhe shtohen këndet e dy numrave kompleksë. le:

Pastaj duke përdorur rregullin e shumëzimit të funksioneve eksponenciale:

ose në formë polare

z₁ z₂ = r₁ r₂ Φ₁+ φ₂

Shënim: Ne kemi përdorur tashmë këtë rregull kur llogaritet zz ^*më sipër. Meqenëse këndi i konjugatit ka shenjën e kundërt të këndit origjinal, një numër kompleks i shumëzuar me konjugatin e vet është gjithmonë një numër real; përkatësisht, sheshi i vlerës së tij absolute: zz ^*= r²

Për shembull, le të:

z₁ = 5 ∠ 30 ° dhe z₂ = 4 ∠ -60 °

pastaj

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

ose në formë eksponenciale

Shumëzimi është padyshim më i thjeshtë kur numrat janë në formë polare ose eksponenciale.

Sidoqoftë, nëse numrat komplekse janë dhënë në formë drejtkëndëshe, duhet të konsideroni kryerjen e shumëzimit direkt siç tregohet më sipër, pasi që ka hapa shtesë nëse i ktheni numrat në formë polare përpara se t'i shumoni ato. Një faktor tjetër për tu marrë parasysh është nëse doni që përgjigjet të jenë në formë drejtkëndëshe ose në formë polare / eksponenciale. Për shembull, nëse të dy numrat janë në formë drejtkëndëshe, por ju dëshironi që produkti i tyre në formë polare, ka kuptim t'i konvertoni ato menjëherë dhe pastaj t'i shumëzoni ato.

ndarje

Ekzistojnë dy metoda për ndarjen e numrave kompleksë–

Ndarja e numrave kompleks të dhënë në formë drejtkëndëshe

Për të realizuar operacionin, shumëzoni numrin dhe emëruesin me lidhësin e emëruesit. Emëruesi bëhet një numër real dhe pjesëtimi zvogëlohet në shumëzimin e dy numrave komplekse dhe një ndarje me një numër real, katrorin e vlerës absolute të emëruesit.

Për shembull le të:

z₁ = 3 - 4j z₂= 2 + 3j

Le të kontrollojmë këtë rezultat me përkthyesin e TINA-s:

{Zgjidhje nga Interpretuesi i TINA}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]

#Zgjidhje nga Python:
importoni matematikën si m
importo cmath si c

z1=komplekse('3-4j')
z2=komplekse('2+3j')
print(“z1/z2=”,z1/z2)

Ndarja e numrave kompleks të dhënë në formë polare ose eksponenciale

Për të kryer operacionin, ndani vlerat absolute (madhësi) dhe hiqni këndin e emëruesit nga këndi i numeratorit. le:

pastaj duke përdorur rregullin e ndarjes së funksioneve eksponenciale

ose në formë polare

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

Për shembull, le të:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° dhe z ₂ = 2 ∠ -60 °

pastaj

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

ose në forma eksponenciale dhe drejtkëndëshe

Le të kontrollojmë këtë rezultat me përkthyesin e TINA-s:

{Zgjidhje nga Interpretuesi i TINA}
z1: = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]

#Zgjidhje nga Python:
importoni matematikën si m
importo cmath si c

z1=5*(c.exp(kompleks(0,m.radians(30))))
z2=2*(c.exp(kompleks(0,m.radians(-60))))
print(“z1/z2=”,z1/z2)

Ndarja është dukshëm më e thjeshtë kur numrat janë në formë polare ose eksponenciale.

Sidoqoftë, nëse numrat komplekse janë dhënë në formë drejtkëndëshe, duhet të konsideroni kryerjen e ndarjes direkt duke përdorur metodën komplekse të konjuguar siç tregohet më lart, pasi që ka hapa shtesë nëse i ktheni numrat në formë polare para se t'i ndani ato. Një faktor tjetër për tu marrë parasysh është nëse doni që përgjigjet të jenë në formë drejtkëndëshe ose në formë polare / eksponenciale. Për shembull, nëse të dy numrat janë në formë drejtkëndëshe, por dëshironi që pjesët e tyre në formë polare, ka kuptim t'i konvertoni ato menjëherë dhe pastaj t'i ndani ato.

Tani le të ilustrojmë përdorimin e numrave kompleks nga problemet më numerike. Si zakonisht, ne do të kontrollojmë zgjidhjet tona duke përdorur përkthyesin e TINA-s. Përkthyesi punon me radianë, por ka funksione standarde për konvertimin e radianëve në gradë ose anasjelltas.

Shembull 1 Gjej përfaqësimin polar:

z = 12 - j 48

ose 49.48 ∠ - 75.96 °

{Zgjidhje nga Interpretuesi i TINA}
z: = 12-j * 48;
abs (z) = [49.4773]
hark (z) = [- 1.3258]
radtodeg (hark (z)) = [- 75.9638]

#Zgjidhje nga Python:
importoni matematikën si m
importo cmath si c

z=12-kompleks (48j)
print("abs(z)=",abs(z))
print("hark(z)=",c.fazë(z))
print("gradë(hark(z))=",m.gradë(c.fazë(z)))

Shembull 2 Gjeni përfaqësimin drejtkëndor:

z = 25 e ^j¹²⁵ ^°

{Zgjidhje nga Interpretuesi i TINA}
z: = 25 * exp (j * (degtorad (125)));
z = [- 14.3394 + 20.4788 * j]
Re (z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]

#Zgjidhje nga Python:
importoni matematikën si m
importo cmath si c

z=25*c.exp(komplekse(0,m.radians(125)))
print (“z=”,z)
print("real(z)=",z.real)
print(“imag(z)=”,z.imag)

Shembull 3 Gjeni përfaqësimin polar të numrave kompleksë të mëposhtëm:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

Vlerat absolute të të katër numrave janë të njëjta sepse vlera absolute është e pavarur nga shenjat. Vetëm këndet janë të ndryshme.

{Zgjidhje nga Interpretuesi i TINA}
z1: = 12 + j * 48;
abs (z1) = [49.4773]
hark (z1) = [1.3258]
radtodeg (hark (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-j * 48;
abs (z2) = [49.4773]
hark (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (hark (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + j * 48;
abs (z3) = [49.4773]
hark (z3) = [1.8158]
radtodeg (hark (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-j * 48:
abs (z4) = [49.4773]
hark (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (hark (z4)) = [- 104.0362]

#Zgjidhje nga Python:
importoni matematikën si m
importo cmath si c

z1=komplekse('12+48j')
print("abs(z1)=",abs(z1))
print("hark(z1)=",c.fazë(z1))
print(“gradë(hark(z1))=”,m.gradë(c.fazë(z1)))

z2=komplekse('12-48j')
print("abs(z2)=",abs(z2))
print("hark(z2)=",c.fazë(z2))
print(“gradë(hark(z2))=”,m.gradë(c.fazë(z2)))

z3=komplekse('-12+48j')
print("abs(z3)=",abs(z3))
print("hark(z3)=",c.fazë(z3))
print(“gradë(hark(z3))=”,m.gradë(c.fazë(z3)))

z4=komplekse('-12-48j')
print("abs(z4)=",abs(z4))
print("hark(z4)=",c.fazë(z4))
print(“gradë(hark(z4))=”,m.gradë(c.fazë(z4)))

Funksioni () i harkut TINA përcakton këndin e çdo numri kompleks, duke e vendosur automatikisht atë në mënyrë korrekte në njërën nga katër kuadratet.

Kini kujdes, megjithatë, duke përdorur tan^-1 funksioni për të gjetur këndin, pasi që është i kufizuar në kthimin e këndeve vetëm në kuadrantin e parë dhe të katërt (–90 °φ<90 °)

Që prej z₁është vendosur në kuadratin e parë të sistemit të koordinatave, llogaritja është:

α₁ = tan^-1(48 / 12) = tan^-1(4) = 75.96 °

Që prej z₄është e vendosur në kuadrin e tretë të sistemit të koordinatave, tan^-1nuk e kthen këndin si duhet. Llogaritja e këndit është:

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° ose -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, e cila është e njëjtë me atë të llogaritur nga TINA.

z₂është e vendosur në kuadrin e katërt të sistemit të koordinatave. Kalkulimi i këndit është:

α₂ = tan^-1(-48 / 12) = tan^-1(-4) = -75.96 °

z_3,megjithatë, është në kuadrin 2nd të sistemit të koordinatave, kështu që tan^-1nuk e kthen saktë këndin. Llogaritja e këndit është:

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Shembull 4 Ne kemi dy numra kompleks: z₁= 4 - j 6 dhe z₂ = 5 e^j⁴⁵ ^° .

Gjej z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Së pari ne zgjidhim problemin duke përdorur përkthyesin e TINA-s

{Zgjidhje nga Interpretuesi i TINA}
z1: = 4-j * 6;
z2: = 5 * exp (j * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

Vini re se si TINA trajton me lehtësi dy numrat e ndërlikuar të dhënë në forma të ndryshme.

Zgjidhja është më e ndërlikuar pa përkthyesin. Kështu që ne të mund të krahasojmë metodat e ndryshme të shumëzimit dhe ndarjes, së pari do të përcaktojmë formën polare të z₁ dhe forma drejtkëndëshe e z₂.

Tjetra, ne i gjejmë katër zgjidhjet duke përdorur format më të lehta së pari: drejtkëndëshe për shtesë dhe zbritje, dhe eksponenciale për shumëzim dhe ndarje: