Ligjet e KIRCHHOFF-it

Klikoni ose Prekni qarqet Shembuj më poshtë për të thirrur TINACloud dhe zgjidhni modalitetin Interaktiv DC për të Analizuar ato në Internet.
Merrni një qasje me kosto të ulët në TINACloud për të redaktuar shembujt ose për të krijuar qarqet tuaja

Teorema e mbizotërimit

METODA POTENCIALE NODE

Shumë qarqe janë shumë komplekse për tu zgjidhur duke përdorur rregullat për seritë ose qarqet paralele ose teknikat për shndërrim në qarqe më të thjeshta të përshkruara në kapitujt e mëparshëm. Për këto qarqe kemi nevojë për metoda më të përgjithshme zgjidhjeje. Metoda më e përgjithshme është dhënë nga ligjet e Kirchhoff, të cilat lejojnë llogaritjen e të gjitha tensioneve të qarkut dhe rrymave të qarqeve nga një zgjidhje e një sistemi të ekuacioneve lineare.

Ka dy Ligje Kirchhoff, ligji i tensionit dhe aktuale Ligji. Këto dy ligje mund të përdoren për të përcaktuar të gjitha tensionet dhe rrymat e qarqeve.

Ligji i tensionit të Kirchhoff (KVL) thotë se shuma algjebrike e tensionit rritet dhe rënia e tensionit rreth një lak duhet të jetë zero.

Një lak në përkufizimin e mësipërm do të thotë një shteg i mbyllur në qark; domethënë një shteg që lë një nyje në një drejtim dhe kthehet në të njëjtën nyje nga një drejtim tjetër.

Në shembujt tanë, ne do të përdorim drejtimin në drejtim të akrepave të orës për sythe; megjithatë, të njëjtat rezultate do të merren nëse përdoret drejtimi i akrepave të sahatit.

Për të aplikuar KVL pa gabime, duhet të përcaktojmë të ashtuquajturin drejtim të referencës. Drejtimi i referencës së tensioneve të panjohura tregon nga + në - shenja e tensioneve të supozuara. Imagjinoni të përdorni një voltmetër. Ju do të vendosni sondën pozitive të voltmetrit (zakonisht të kuq) në terminalin e referencës së komponentit. Nëse voltazhi i vërtetë është pozitiv, ai është në të njëjtin drejtim siç supozuam, dhe zgjidhja jonë dhe voltmetri do të tregojnë një vlerë pozitive.

Kur marrim shumën algjebrike të tensioneve, ne duhet të caktojmë një shenjë plus në ato voltazhe kur drejtimi i referencës pajtohet me drejtimin e lakut, dhe shenjat negative në rastin e kundërt.

Një mënyrë tjetër për të shprehur ligjin e tensionit të Kirchhoff është: voltazhi i aplikuar i një qarku të serisë është i barabartë me shumën e rënies së tensionit nëpër elementët e serisë.

Shembulli i shkurtër i mëposhtëm tregon përdorimin e ligjit të tensionit të Kirchhoff.

Gjeni tensionin në të gjithë rezistorin R_2, duke pasur parasysh se tensioni i burimit, V_S = 100 V dhe se tensioni në të gjithë rezistorin R₁eshte V₁ = 40 V.

Shifra më poshtë mund të krijohet me TINA Pro Versionin 6 dhe më lart, në të cilin mjetet e vizatimit janë në dispozicion në redaktorin skematik.

Zgjidhja duke përdorur ligjin e tensionit të Kirchhoff: -V_S + V₁ + V₂= 0, ose V_S = V₁ + V₂

prandaj: V₂ = V_S - V₁ = 100-40 = 60V

Vini re se normalisht ne nuk i dimë tensionet e rezistorëve (përveç nëse i matim ato), dhe duhet të përdorim të dy ligjet e Kirchhoff për zgjidhjen.

Ligji aktual i Kirchhoff (KCL) thotë se shuma algjebrike e të gjithë rrymave që hyjnë dhe lënë ndonjë nyje në një qark është zero.

Në vijim, ne u japim një shenjë + rrymave që lënë një nyje dhe një - shenjë - rrymave që hyjnë në një nyje.

Këtu është një shembull themelor që tregon ligjin aktual të Kirchhoff.

Gjej aktuale I₂ nëse burimi aktual I_S = 12 A, edhe une₁ = 8 A.

Duke përdorur ligjin aktual të Kirchhoff në nyjen e rrethuar: -I_S + Unë₁ + Unë₂ = 0, kështu që: I₂= I_S - Unë₁ = 12 - 8 = 4 A, si ju mund të kontrolloni duke përdorur TINA (figura tjetër).

Në shembullin tjetër, ne do të përdorim të dy ligjet e Kirchhoff plus ligjin e Ohm për të llogaritur rrymën dhe tensionin në të gjithë rezistorët.

Në figurën më poshtë, do të shënoni Shigjeta e tensionit mbi resistors. Ky është një komponent i ri në dispozicion Versioni 6 i TINA dhe funksionon si voltmetër. Nëse e lidhni atë përmes një përbërësi, shigjeta përcakton drejtimin e referencës (për ta krahasuar me një voltmetër, imagjinoni ta vendosni sondën e kuqe në bishtin e shigjetës dhe sondën e zezë në majë). Kur bëni analiza DC, voltazhi aktual në përbërës do të shfaqet në shigjetë.

Klikoni / prekni qarkun e mësipërm për të analizuar në internet ose klikoni këtë link për të ruajtur nën Windows

Për të filluar përdorimin e ligjit aktual të Kirchhoff, shohim që rrymat nëpër të gjithë komponentët janë të njëjta, kështu që le të tregojmë atë rrymë nga unë.

Sipas ligjit të tensionit të Kirchhoff: V_S = V₁+V₂+V₃

Tani duke përdorur ligjin e Ohm: V_S= I * R₁+ I * R₂+ I * R₃

Dhe nga këtu rryma e qarkut:

I = V_S/ (R₁+R₂+R₃) = 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A

Më në fund voltazhet e rezistorëve:

V₁= I * R₁ = 2 * 10 = 20 V; V₂ = I * R₂ = 2 * 20 = 40 V; V₃ = I * R₃ = 2 * 30 = 60 V

Të njëjtat rezultate do të shihen në Shigjetat e Tensionit duke ekzekutuar thjesht analizën interaktive të TINA të TINA-s.

Në këtë qark tjetër, më komplekse, ne përdorim gjithashtu të dy ligjet e Kirchhoff dhe ligjin e Ohm, por zbulojmë se ne zgjidhim më shumë një sistem linear ekuacionesh.

Numri i përgjithshëm i aplikimeve të pavarura të ligjeve të Kirchhoff në një qark është numri i degëve të qarkut, ndërsa numri i përgjithshëm i të panjohurve (rryma dhe voltazhi i secilës degë) është dyfishi i asaj. Sidoqoftë, duke përdorur gjithashtu ligjin e Ohmit në secilin rezistues dhe ekuacionet e thjeshta që përcaktojnë tensionet dhe rrymat e aplikuar, marrim një sistem ekuacioni ku numri i të panjohurave është i njëjtë me numrin e ekuacioneve.

Gjeni rrymat e degës I1, I2, I3 në qark më poshtë.

Klikoni / prekni qarkun e mësipërm për të analizuar në internet ose klikoni këtë link për të ruajtur nën Windows

Grupi i ekuacioneve vijon:

Ekuacioni nodal për nyjen e rrethuar:

- I₁- I₂- Unë₃ = 0

ose shumëzuar me -1

I₁+ I₂+ Unë₃ = 0

Ekuacionet e lakut (duke përdorur drejtimin e akrepave të orës) për lakin L1, që përmban V₁, R₁ dhe R₃

-V₁+I₁*R₁-I₃*R₃ = 0

dhe për lakin L2, që përmban V₂, R₂ dhe R₃

I₃*R₃ - Unë₂*R₂ +V₂ = 0

Zëvendësimi i vlerave të komponentit:

I₁+ Unë₂+ Unë₃ = 0 -8 + 40 * I₁ - 40 * I₃ = 0 40 * I₃ -20 * I₂ + 16 = 0

Shprehni I₁ duke përdorur ekuacionin nodal: I₁ = -I₂ - Unë₃

pastaj e zëvendësoni atë në ekuacionin e dytë:

-V₁- (Unë₂ + Unë₃) * R₁ -I₃*R₃ = 0 or -8- (I₂ + Unë₃) * 40 - I₃* 40 = 0

Shprehni I₂ dhe zëvendësojeni atë në ekuacionin e tretë, nga i cili tashmë mund të llogaritni I₃:

I₂ = - (V₁ + Unë₃* (R₁+R₃)) / R₁ or I₂ = - (8 + I₃* 80) / 40

I₃*R₃ + R₂* (V₁ + Unë₃* (R₁+R₃)) / R₁ +V₂ = 0 or I₃* 40 + 20 * (8 + I₃* 80) / 40 + 16 = 0

Dhe: I₃ = - (V₂ + V₁*R₂/R₁) / (R₃+ (R₁+R₃) * R₂/R₁) or I₃ = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

Prandaj I₃ = - 0.25 A; I₂ = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 A I₁ = - (0.3-0.25) = - 0.05 A

Ose: I₁ = -50 mA; I₂ = 300 mA; I₃ = -250 mA.

Tani le të zgjidhim të njëjtat ekuacione me përkthyesin e TINA:

{Zgjidhje nga Interpretuesi i TINA}
Sys I1, I2, I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
fund;
I1 = [- 50m]
I2 = [300m]
I3 = [- 250m]

#Zgjidhje nga Python
importoni numpy si np, sympy si s
#Kemi një sistem linear të
#ekuacionet që duam të zgjidhim:
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0

I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
sol = s.zgjidh([
I1+I2+I3,
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
print(sol)

A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])

b= np.array ([0,V1,-V2])

x=np.linalg.zgjidh(A,b)
#I1=x[0]
#I2=x[1]
#I3=x[2]
#I1
print(“I1= %.3f”%x[0])
#I2
print(“I2= %.3f”%x[1])
#I3
print(“I3= %.3f”%x[2])

Së fundi, le të kontrollojmë rezultatet duke përdorur TINA:

Tjetra, le të analizojmë qarkun vijues edhe më kompleks dhe të përcaktojmë rrymat dhe voltazhet e degës së tij.

Klikoni / prekni qarkun e mësipërm për të analizuar në internet ose klikoni këtë link për të ruajtur nën Windows

Le të tregojmë tensionet dhe rrymat e panjohura duke shtuar shigjetat e tensionit dhe rrymës në përbërës, dhe gjithashtu të tregojmë sythe (L1, L2, L3) dhe nyjet (N1, N2) ku do të përdorim ekuacionet e Kirchhoff.

Klikoni / prekni qarkun e mësipërm për të analizuar në internet ose klikoni këtë link për të ruajtur nën Windows

Këtu është grupi i Ekuacionet Kirchhoff për sythe (duke përdorur drejtimin e akrepave të orës) dhe nyjet.

-I_L+ Unë_R1- Unë_s= 0(për N1)

- Unë_R1+ Unë_R2+ Unë_s3 = 0 (për N2)

-V_s1- V_R3+ V_Is+ V_L = 0 (për L1)

-V_Is+ V_s2 +V_R2+V_R1 = 0 (për L2)

-V_R2- V_s2+ V_s3 = 0 (për L3)

Aplikimi i ligjit të Ohm:

V_L= I_L*R_L

V_R1=I_R1*R₁

V_R2 = I_R2*R₂

V_R3 = - Unë_L*R₃

Kjo është 9 e panjohur dhe 9 ekuacione. Mënyra më e lehtë për të zgjidhur këtë është përdorimi i TINA

përkthyes. Sidoqoftë, nëse shtypemi për të përdorur llogaritjet e duarve, vërejmë se ky grup ekuacionesh mund të reduktohet lehtësisht në një sistem prej 5 të panjohurve duke zëvendësuar 4 ekuacionet e fundit në ekuacionet e lakut L1, L2, L3. Gjithashtu, duke shtuar ekuacionet (L1) dhe (L2), ne mund të eliminojmë V_Is, duke zvogëluar problemin në një sistem të ekuacioneve 4 për panjohura 4 (I_L,I_R1 I_R2,I_s3). Kur kemi gjetur këto rryma, ne lehtë mund të përcaktojmë V_L, V_R1, V_R2, dhe V_R3 duke përdorur katër ekuacionet e fundit (ligji ohm).

Zëvendësuesi V_L,V_R1,V_R2 ,V_R3 :

-I_L+ Unë_R1- Unë_s= 0(për N1)

- Unë_R1+ Unë_R2+ Unë_s3 = 0 (për N2)

-V_s1+ Unë_L*R₃+ V_Is+ Unë_L*R_L = 0 (për L1)

-V_Is+ V_s2 + Unë_R2*R₂+ Unë_R1*R₁ = 0 (Për L2)

- Unë_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (për L3)

Shtimi i (L1) dhe (L2) marrim

-I_L+ Unë_R1- Unë_s= 0(për N1)

- Unë_R1+ Unë_R2+ Unë_s3 = 0 (për N2)

-V_s1+ Unë_L*R₃+ Unë_L*R_L + V_s2 + Unë_R2*R₂+ Unë_R1*R₁ = 0 (L1) + (L2)

- Unë_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (për L3)

Pas zëvendësimit të vlerave të përbërësit, zgjidhja për këto ekuacione vjen menjëherë.

-I_L+I_R1- 2 = 0 (për N1)

-I_R1 + Unë_R2 + Unë_S3 = 0 (për N2)

-120 - + I_L* 90 + I_L* 20 + 60 + I_R2* 40 + I_R1* 30 = 0 (L₁) + (L.₂)

-I_R2* 40 - 60 + 270 = 0 (për L₃)

nga L₃ I_R2 = 210 / 40 = 5.25 A (I)

nga N₂ I_S3 - Unë_R1 = - 5.25 (II)

nga L₁+L₂ 110 I_L + 30 I_R1 = -150 (III)

dhe për N₁ I_R1 - Unë_L = 2 (IV)

Multiply (IV) nga -30 dhe shtoni në (III) 140 I_L = -210 prandaj I_L = - 1.5 A

Zëvendësoj I_L në (IV) I_R1 = 2 + (-1.5) = 0.5 A

edhe une_R1 në (II) I_S3 = -5.25 + I_R1 = -4,75 A

Dhe tensionet: V_R1 = I_R1*R₁ = 15 V; V_R2 = I_R2*R₂ = 210 V;

V_R3 = - Unë_L*R₃= 135 V; V_L = I_L*R_L = - 30 V; V_Is = V_S1+V_R3-V_L = 285 V

{Zgjidhja e ekuacioneve origjinale nga Interpretuesi i TINA}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-A + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-Vs1 + VR3 + Vis-VL = 0
Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
VL = IL * RL
fund;
IL = [- 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]
Kundrejt = [285]
VL = [- 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]

#Zgjidhje nga Python
#Ax=b
importoni numpy si np, sympy si s
#Zgjidhje simbolike duke përdorur numpy.zgjidh
#Ekuacionet:
#IL=-Është+IR1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-Vis-VL=0
#Vis=VR1+VR2+Vs2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#VL=IL*RL
#Zgjidhni për:
#IL,IR1,IR2,
#Is3,Vis,VL,
#VR1,VR3,VR2

IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
sol = s.zgjidh([
-Is+IR1-IL,
IR2+Is3-IR1,
Vs1+VR3-Vis-VL,
VR1+VR2+Vs2-Vis,
VR2+Vs2-Vs3,
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
print(sol)

#Një metodë tjetër për të zgjidhur duke përdorur numpy.linalg
A=np.array(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1],
[0,R1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,R2,0,0,0,0,0,-1],
[-R3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[RL,0,0,0,0,-1,0,0,0]])

b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])

x=np.linalg.zgjidh(A,b)

#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] Vis=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
print(“IL= %.3f”%x[0])
print("IR1= %.3f"%x[1])
print("IR2= %.3f"%x[2])
print("Is3= %.3f"%x[3])
print("Vis= %.3f"%x[4])
print(“VL= %.3f”%x[5])
print("VR1= %.3f"%x[6])
print("VR2= %.3f"%x[8])
print("VR3= %.3f"%x[7])

Zgjidhja e grupit të reduktuar të ekuacioneve duke përdorur përkthyesin:

{Zgjidhja e grupit të zvogëluar të ekuacioneve nga Interpretuesi i TINA}
Sys Il, Ir1, Ir2, Is3
-Il + Ir1-2 = 0
-Ir1 + Ir2 + Is3 = 0
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-40 * Ir2 + 210 = 0
fund;
Il = [- 1.5]
Ir1 = [500m]
Ir2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]

Ne gjithashtu mund të futim shprehje për tensionet dhe duhet që T interpretuesi i TINA-së t’i llogarisë ato:

Il: = - 1.5;
Ir1: = 0.5;
Ir2: = 5.25;
Is3: = - 4.75;
Vl: = Il * RL;
Vr1: = Ir1 * R1
Vr2: = Ir2 * R2;
Vr3: = - Il * R3;
Kundrejt: = Vs1-Vl + Vr3;
Vl = [- 30]
Vr1 = [15]
Vr2 = [210]
Vr3 = [135]
Kundrejt = [285]

Ne mund ta kontrollojmë rezultatin me TINA thjesht duke aktivizuar modalitetin DC interaktiv të TINA-s ose duke përdorur Analiza / DC Analiza / voltazhet nodale

Teorema e mbizotërimit

METODA POTENCIALE NODE